话题交流

话题：“兔的只数是鸭的几分之几”该怎么教？

【话题缘起】

梁平县小学数学李小元名师工作室在开展的“分数的认识”教材解读研修活动中，对教材做了纵向梳理、横向对比后，成员们对两种不同版本《求一个数是另一个数的几分之几》这一内容的不同编排展开了讨论。

小学数学五年级下册（西师2011版）第21页例3《求一个数是另一个数的几分之几》

小学数学五年级下册（人教2011版）第50页例3《求一个数是另一个数的几分之几》

经过成员们激烈的讨论，针对“兔的只数是鸭的几分之几该怎么教？”这一话题持有两种不同的观点：

观点一：借助“倍”的迁移，教学“一个数是另一个数的几分之几”，重在建构计算方法？

观点二：借助分数的意义，教学“一个数是另一个数的几分之几”，先得出结果，再根据分数与除法的关系列出除法算式，重在分数意义的再认识与再理解？

【思维碰撞】

高 晏：我觉得这节课重在分数意义的教学。是对第一课时分数的意义教学的补充。是从第一课时的部分量和总量的关系延伸到了部分量和部分量的关系。

诸志丽：我觉得应重视商的意义的理解，因为学了分数的意义后学生已经能直接说出结果了，所以可以先得出结果，再根据分数与除法的关系列出除法算式，重在分数意义的新认识。的确，根据结果列出除法算式，有些牵强，感觉很别扭。

蒋小英：其实在今天讨论之前，我从没认真思考过这个问题，我以往的教学都是从“倍”的知识引入，利用谁是谁的几倍用除法计算自然引出谁是谁的几分之几也用除法计算，这样说来我以前只重在构建计算方法上，忽略了对这个商的意义的理解。

郑 洁：其实我还是比较赞同蒋老师的方法，从“倍”的认识引入，轻松自然，而且构建了计算方法，就是构建了解决这类问题的一个数学模型。但是，现在感觉学生不会判断单位“1”的量、分率对应的量，六年级教学分数应用题时得另起炉灶，这里还得重视分数意义的理解。

罗廷蓉：我觉得两种观点都正确，分数意义的理解重要，计算方法的构建也很重要呀，怎样把两者结合起来才是最重要的。

蒋文玲：从旧知“倍”类推出算式及结果这比较符合孩子的逻辑起点和认知规律，但有了算式和结果之后，可以引导孩子从前一节课刚学习的分数与除法的关系来理解结果，也可以引导孩子从“份”数意义层面去理解，我个人更倾向于后者。

蒋俊华：不管怎样教，最后都需要“2÷3”来解决问题，教学中可以把“2只兔是3只鸭的几分之几？”转化成“2只兔对应2只鸭，相当3只鸭的三分之二。”这里的“转化”很重要，沟通联系、建立对应，都需要转化。

邓步梅：对，这样一说就很好理解了，也就是把部分量与部分量之间的关系转化到前面学的部分量与总量之间的关系。但这个转化应该用示意图或线段图来支撑，否则学生难以理解。

吴成友：分数在这之前是“份”的“定义”，而本例是“商”的“定义”，“商”定义是分数的本质，所以按新人教版教材的逻辑，这不但要重视分数商的意义教学，还要注重分数的几种意义的沟通。

【我们的思考】

通过交流，老师们澄清了教育教学中的疑惑，对以后的教学都有了一定的思路。最后经过名师工作室主持人李小元的点拨，他建议对这节内容的教学作如下教学调整：

总共用4课时完成此内容

（一）从意义出发讲两节课，第一节讲部分占整体的几分之几？（即部分量与总量之间的关系）。重点教学单位“1”、分数的份数意义和分数单位。借用张齐华的《分数的意义》一课中单位“1”教学思路，突出量是客观的，数是选择计数单位后得出的主观结果，进而构建单位和单位“1”的概念。借用华应龙的《分数的再认识》中分数单位的教学思路开展数学活动，把单位“1”先平均分，得到分数单位后再累积分数单位得到分数，突出分数单位的认识，明白结果怎么来的。

第二节讲不同量之间的关系，如：甲是乙的几分之几？（不给出算式）。对比人教2005版和2011版数学教材可以发现，2005版只在练习题中出现此内容，而2011版教材用一个例题来教学，可见其重视程度。对比人教版、西师版、苏教版中此内容可以发现，西师新旧版都没有用示意图，人教旧版也没有，而人教新版用了圆圈示意图来表示鸡和鸭的只数，苏教新旧版都利用图形作支撑来理解把谁当作单位“1”，把单位“1”平均分成几份，与之对应的量相当于其中的几份，从而借用分数份数的意义建立起一个数是另一个数的几分之几。因此，我们建议用西师版教学时一定加入示意图，帮助学生理解一个数是另一个数的几分之几的结果的意义，学会确定单位“1”的方法，为六年级用分数乘除法解决问题打好基础。

（二）第三节讲分数与除法之间的关系，教学教材例2。“把一个数平均分成几份，求每份是多少”，借用平均分建立除法算式，用分数的份数意义得结果，进而建立分数与除法的关系。

（三）第四节沟通归纳方法：谁是谁的几倍、谁是谁的几点几倍、谁是谁的几分之几都用除法计算，教学教材例3。其结果用第二节课之方法，借助示意图分析得出，既重视算法，又重视意义建构。

这样,既认识了分数的份数定义、商的定义，同时又为分数比的意义找好基础，还沟通了分数与除法的关系，归纳了两个数的倍数关系的表达形式和计算方法。

此次交流真是让成员们有了“山穷水尽疑无路，柳岸花明又一村”的感觉，最后成员们达成了共识，在以后的教学中都会这样去尝试。

（蒋小英  整理）

 

 

 

 

 

教材解读

北师大版“分数的认识”教材纵向梳理与教学思考

第三小组成员      陈奉江

2016年3月，在李小元名师工作室的工作安排下，我做了北师大版小学数学教材（三下）分数部分的纵向梳理和教学分享。

在北师大版小学数学教材中，分数共分两个部分，第一部分是三年级下册第五单元“认识分数”，第二部分是五年级上册第三单元“分数”。三年级上册第五单元“认识分数”是学生认识自然数后对于数的认识的又一次充实。在本单元，分数被作为整体的一个部分来认识，这种认识又与平均分的经验分不开。其实，学生正式学习分数以前，“二分之一”“三分之一”等已经出现在他们的口头语言中，只是还不曾想过要用什么符号来表示它们。

一、教材内容分析

1.分一分（一）

教材从我们熟悉的情境出发：将一个苹果平均分给两个人，每人分到半个苹果。让学生讨论用什么方式来表示“一半”呢？在这个过程中，一方面学生能感觉到不能用以前学的自然数来表示今天的“一半”；另一方面让学生大胆的猜想与创造，可以用很多方式来表示“一半”。有了这个基础，才引入“一半可以用1/2来表示”，在多种表示方式的对比中，体会用1/2表示一半的优越性，同时也让学生明白分数产生的必要性；进一步让学生在“涂一涂”“折一折”“说一说”等活动中，理解简单的分数所表示的具体意义，认识分数各部分的名称，并初步掌握简单分数的写法和读法。

2.分一分（二）

该内容是对分数意义认识的进一步发展。分数表示的是整体的一个部分，而这个整体的内涵是丰富的。它可以是由许多事物组成的集合，从而体现分数更深层的意义“表示部分与整体之间的数量关系”，从而运用分数可以描述现实世界的许多现象。教材56页的“试一试”，就是要让学生体验到这一点；第57页第3道思考题还结合具体情境，让学生进一步在“这堆铅笔”这个整体的背景下体会分数“表示部分与整体之间的数量关系”的相对性，从而帮助学生初步建立起分数的概念。

3.比大小

由于分数具有“部分与整体”的相对性，所以比较两个分数大小就有一个必要的前提，即这两个分数所表示的必须是同一（或相同）整体的两个部分。因此要借助直观的图形来比较分数的大小；同时这种直观的比较方式，不但符合中低年级学生的认知水平（仅比较两个分母都不大于10的分数的大小）；而且还充分体现了数与形的结合策略，目的要让每个学生都能经历和体验。

4.吃西瓜

教材通过小熊吃西瓜的情境图，来引导学生学习同分母的简单分数的加减算法。通过借助图形去理解抽象的分数加减的算法过程。从而使学生达到从“具体—抽象”的目的。

二、教材编排特点

在“认识分数”一单元中，教材从人们熟知的现实分“半个苹果”到形象化“半个图形”，最后抽象出分数二分之一，让学生在丰富的现实背景中理解分数的意义，并经历了从“形象--表象--抽象”的过程。其编排特点有以下三点：

1、在情境中学习和理解分数

分数概念是学生初次接触的重要基础知识，学生建立这个概念需要一个较长的过程。教材中创设了具体生动的问题情境，从而激法学生已有的生活经验，并利用实物操作、直观图形等手段，帮助学生逐步理解分数的意义。

2、较多的操作、思考与交流的素材

数学教学是数学活动的教学，是学生观察、猜测、实验、操作、独立思考与合作交流的过程。教材在编排的过程中为学生提供大量的学习素材，这样不但可以激发学生的学习兴趣，还能使学生在自主的数学活动中理解数学、体验数学。

3、算理在问题解决中抽象出来

在解决实际问题的过程中学习分数加减计算，有助于学生理解分数加减的实际意义，体会学习它的必要性。在教学分数加减算法时，教材借助图形的直观性，将算理和算法清晰的展现在学生面前，使之更容易理解和掌握。

 

把握教材内容本质，助教学过程更优化

                  ——以“分数的意义”第一课时教材对比解析为例

梁平县西苑小学      高 晏

专家指出：教师如何理解教材，从一定程度上决定了教材在教学中的价值与功能。进行教材对比解析，了解不同版本的编排特征，更能帮助教师在教学过程中选择适合自己的教学素材，让教学过程更优化。

下面，结合“分数的意义”第一课时就人民教育出版社2011教材（以下简称人教版）与西南师范大学出版社2013教材（以下简称西师版）作具体的对比分析。

一、呈现方式

（一）教材原样展示

下图为人教版2011教材五年级下册第四单元《分数的意义》第一课时新授内容截图。

下图为西师版2013教材五年级下册第二单元《分数的意义》第一课时新授内容截图。

 

 

 

 

 

两个版本上都是用彩色图文结合的方式呈现出来，西师版的卡通形象更为可爱，较人教版更贴近小孩子的认知心理，让孩子喜欢。

（二）例题内容梳理

根据以上图片不难得知，两个版本的教学内容都设计在五年级下册的单元开篇之题，但单元与所用页码均不同。见右图的教学内容对比梳理：

人教版、西师版 “分数的意义”都是本单元的学习重点。在三年级“分数的初步认识”基础上，引入两个新概念：单位“1”与分数单位。人教版中“分数的产生”、“数学文化”两板块则是从分数的现实来源和数学内部来源两方面来帮助学生对分数认识的深化。西师版中配置了“单元主题图”，是对本章学习内容的一个提示，为学习新知奠基；而且“分数的意义”编排只有一个例题，仅占教材的一页，但容量并不比其它版本少。

二、素材选择

在小学数学里，认识分数是小学生数概念的一次重要扩展。无论是内容的编排上还是素材的选择上两个版本都各有风格。

（一）人教版教材分数意义的教学内容编排呈螺旋上升模式

1.分数的产生。教材设计了两幅插图，从历史的角度和现实生活中等分量的需要出发，呈现分数的现实来源，让学生了解分数产生的背景和过程。使学生感受到在进行测量或分物时，往往不能刚好得到整数的结果，这时就需要用分数来表示，有了分数，这些结果就能准确地表示出来。教材通过测量与分物的实例，引入分数的编排目的，就是为了使学生感悟到分数是适应现实需要而产生的，从而提高学习的积极性，并受到历史唯物主义观点的教育。

2. 分数的意义。（1）教材首先提出问题：你能举例说明1/4的含义吗？然后通过插图，从两方面说明，1/4可以是一个物体，也可以是一些物体。在此基础上，教材分两个层次加以概括指出：“一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。”； “一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位‘1’”。（2）第62页的“做一做”，要求学生看图写出这堆糖的若干份之几。既是对上页分数意义描述的具体化和巩固，又能为学习分数单位提供具体的实例。紧接着教材给出了什么是分数单位的描述，并要求学生说出“做一做”中几个分数的分数单位。教材还采用“你知道吗”的形式，介绍了3000多年前对于分数的表示方法或记号，可以让学生体会分数表示方法的多样性及其历史面目，开拓学生的知识面。

（二）西师版教材分数意义的第一课时内容编排紧凑

1. 单元主题图。内容为一个看世界地图的情境图，用我国的相关信息与世界进行比较，不但让学生感受到分数在生活中的广泛应用，还带给学生一些信息，通过这些信息学生可以对我国国情作些了解，培养学生热爱祖国的积极情感。图中出现的分数和学生原识的分数相比，最大变化就是单位“1”不只是一个物体，而是由许多物体组成的一个整体。让学生初步感知新学知识与原来知识的联系和区别，为新课的学习奠基，教材通过这样的编排方式，强化单元知识的整体性和系统性。

2.分数的意义。对于分数意义的概念教学教材上安排了例1。从分月饼的“分”字入手来引导学生理解分数的意义。教材把分1个月饼和分1盒月饼对比安排，通过这样的对比应用，用学生原有的经验来推动新的学习。这里分1个月饼是学生原有认知基础，重点引导学生理解把1个月饼看作一个整体，和把8个月饼看作一个整体，从而初步认识许多物体组成一个整体的现象，并通过对比得出单位“1”的概念。接着安排了“试一试”的操作素材，让学生动手体会单位“1”并揭示分数的意义。教材还通过 “说一说”以及“课堂活动”一系列动口活动，不但巩固了单位“1”和分数单位，还培养了学生的语言能力、操作能力和思维能力。

两个版本都选择了生活中常见的素材，使学生更容易接受，学习新知识的同时既能激趣，又不为所影响。但两个版本上关于单位“1”和分数意义的描述顺序和选词有区别。人教版中先提出“把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示”，再指出“这个整体可以用自然数1来表示，通常叫做单位‘1’”。据查阅，2013年的新版人教版上依然是分数在前单位“1”其后的顺序描述的；西师版却先出示“一个物体或多个物体看成的整体，叫做单位‘1’”，再揭示“把单位‘1’平均分成若干份，表示其中一份或几份的数叫做分数”。总之，在这部分内容的教学上单位“1”都应该建立在对一个物体和一个整体的感知上教学，分数的意义教学始终要建构在单位“1”的本质意义之上。                           

三、练习设计        

（一）习题设计展示         

下图是人 教版的练习题截图         

 

 

 

 

 

 

 

下图是西师版的练习题截图

 

 

 

 

 

 

（二）习题对比分析

1.人教版的练习非常有层次性，特别注重学生的认知规律。第1-4题是借助直观开展练习，巩固分数的概念。第5-7题是联系实际问题使学生初步了解分数在现实生活中的应用。第8、9题，使学生看到，随着分母的增大，几分之一所表示的苹果个数，从1/2的6个到1/12的1个，相应地在减少。

2.西师版的练习题相比人教版显得灵活些，有跳跃感，更尊重学生的主体思维。第1-6题是搭配例1的教学而设计的。第1-3题是借助直观开展练习，巩固分数的意义，加深对意义的理解。第4-6题借助具体事件强化对单位“1”、分数的意义、分数单位的理解。

四、教学思考

两个版本都有自己的编排优势。我认为，教学时尽可能选择适合自己、适合学生的素材，教学是双边活动，选择以及使用上应该从学生的认知规律、认知水平、认知心理的角度去考虑。在分数意义这一章节上，分数意义的教学是这个单元的重难点，必须从分数的初步认识这一直观感知上升到分数意义的抽象理解。那么，我们在教学时，都可以先从感知单位“1”入手，从一个物体到一个整体，从自然数1到单位“1”，再通过单位“1”的构建和具体的分数去揭示分数的意义，以及分数单位。这个过程中一定要多借助直观感与描述性，层次分明，凸显重点，最后要能概括出三层意思： ①把一个或一些物体看作一个整体，用自然数1表示，叫做单位“1”；②把单位“1”平均分成若干份；③取这样的一份或几份，用分数表示。

新的课程标准的实施给教师的教学提出了更多的要求，为了成功地优化教学过程，教师需对教材进行全面而深刻的分析。以上内容仅仅是我结合人教版与西师版的一个点的对比解析，不能以点带面，只是希望这一举动能引起教师的思考与行动，让我们在自己的教学工作中逐步具有问题意识，提升自身思考力，获得专业成长。