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基于数学文化的思考
本刊记者(以下简称“记”)：关注您最近发表的几篇教学案例，发现都有意识地将数中历史与数学教学密切联系在一起。这一探索的灵感来自哪里?
蔡宏圣(以下简称“蔡”)：综观数学教育改革的历史，每一次变革都和人们对数学性质的新认识联系在一起---从数学历史的视角探索数学教育，应该说源白“数学是人类的文化”这一新的邵念。数学中的大部分知识在学牛以后的下作、学习中并没有直接的作用，但数学学习所积淀的文化涵养却能受用终生。所以说，文化性是数学内在的学科特质。数学文化表现在数学的起源、发展、完善和应用的过程中，其核心价值体现在对于人的观念、思想和思维方式的影响，对于人的思维训练的功能，丰富的教化功能，以及对于人的创造精神的培养等等。
记：数学文化具有丰富的内涵，立足于数学教学本身思考数学文化是很有意义的探索。于是，您选择数学史作为抓手．将数学文化的传承熔实在课堂教学的过程中。是这样吗？
蔡：是的。作为数学教师。其所有关于数学本身的思考和探索，一般都指向于数学教育。数学文化不能只是…种理念．要走进我们广大一线教师的课堂。就自己的实践体会来说，将数学史和课堂教学有机融合就足一条可能的途径。
之于课堂教学的价值
记：众所周知．课堂教学中教师、学生、教学内容是不可缺火的三个基本要素．其他的诸如教学方法、教学手段等课堂教学的构成要素，都派生于这二个基本要素问的互动，那数学史对于课堂教学的价值如何体现？
蔡：数学史对于课堂教学的价值不仅仅体现在教学内容上，对于教师和学生都是有价值的。课改实验走过的历程说明了课堂教学中教师的作用不可或缺。香港学者黄毅英等人的研究表明，一线教师更倾向于把数学看成是一个与逻辑有关的、有严谨体系的、关于图形和数量的精确运算的一门学科。其实，数学的抽象、周密和严谨，缘于公理化的要求。数学家在传播数学思想的时候。有个习惯，或者说在数学圈子的共识：要以充分一般的方式陈述结果，必须建立起一套有关定义和抽象概念的完整体系。对此，荷兰数学教育家儿赖登塔尔曾经这样说：“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来．一个问题被解决后，相应地发展为种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。”这一观点可以从丰富的数学史中找到例证。例如数学史认为，人类使用十进制乃是“一种生理上的凑巧”。在数概念的发展过程中，人类首先用实物计数，再过渡到屈指计数。这期间，当意识到—个人的全部手指用完后，可以放一块石子，于是就解放了全部手指可以继续计数，“满十-进一”的思想也就萌芽了。类似的史料在初等数学的发展过程中不在少数，一个数学知识最原始的部分，既不神秘也不严谨，没有一点形式逻辑的印记，认识的提升恰恰带有浓重的按照生活事理逻辑自然衍生的痕迹，例如用算筹的不同颜色来区别正负数；源于连续量的分割，所以叫分数；最初的计量单位都和人身体上的器官有关，等等。
记：这也就是数学哲学所揭示的。数学具有两重性，即数学内容的形式性和数学发现的经验性。认识到这一点。对教师的教学有怎样的价值?
蔡：首先。教师认识到数学在其诞生之初。带有鲜明的生活常识的痕迹，认识过程充满了曲折、猜测、直观，乃至错误和不可思议，并不是—副冰冷的面孔：那么，教师在教学设计时．就会在数学的具体源头和抽象形式之间来回穿行，关注学生生活经验的现实。寻找数学知识的逻辑源头，顿悟其间的数学过程和思想方法。这样，数学教学就可能顺应生活事理的逻辑走向．使学生的学习可以像呼吸一样自然和朴素。
记：有过这样的教学实践吗?
蔡：教学《乘法的初步认识》，我充分利用学生的已有经验，让学生尝试把相同数的连加算式写得更简单。学生在算式十加上“……”或“等等”的写法，自然和真实地体会到好的写法应该清楚地表示出“一个加数”和“有几个加数”。这样．学生对乘法
的意义就有了一定的理解，乘法算式的写法也就水到渠成了。所以说，一个认真研读数学史的教师，就可以自我调适建立在经验层面上零散的、片面的数学观念。数学史起码提供了这样的视角，让我们看到了数学的深刻和抽象实际上孕育在具体和直观中，也许在课堂中我们看不到品性的、事实性的数学史实。但却能影响着一个教师的数学教育思想。
记：对于教师来说，数学史是调适数学观念的重要基础。那么，对于学生来说，数学史的价值怎么看？
蔡：教学设计需要研究学生。数学教学设计，要细腻地、科学地对学生在数学学习中的思维活动做深入的了解和分析，大致把握学生在数学学习中可能出现的困难。应该说教学经验和访淡调查也能获取学生如何学习的大致情况，但我认为数学史在其中的独特价值是不可替代的。其中的依据是，德国生物学家海克尔(E. Haeckel，1848～1919)提出的一个生物发生学的定律：一个个体的发育史会重蹈其种族的发展史。运用在数学学习中，就是学生学习数学的认知过程与数学业的发展过程相似，特别是历史上数学家们所遇到的困难，正是学生们遇到的学习障碍，因而，匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚((G.Polya，1887—198'o)指出：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。”
记：这样的观点．能体现在教学中吗?
蔡：应该可以尝试。我在《认识负数》的备课中，就首先琢磨这个问题：人类在最初认识负数的时候，有哪些困难，使用负数到接纳负数，是两个不同的认识阶段。那接纳负数，意味着在理性认识上要建构起哪些认识?实际上，教师们都有这样的体会，很多知识的难点，当自身的认识完成跨越之后，回过头来看往往认为那是理所当然的事情。
记：历史上数学家们在认识负数的过程中，留下的困惑和挫折有哪些?
蔡：在数学史上，把负数称为“荒谬的数”“虚假的数”的人不在少数，其中不乏当时的大数学家。比如，德国数学家斯蒂菲尔(M．Stilel，1487—1567)在《整数赞术》中称从零中减去一个大于零的数，得到的数“小于一无所有”，是“荒谬的数”。请注意，他在这里认为负数荒谬的原因是“小于一无所有”。换言之，其内在的逻辑是1表示一件物体，2表示两件物体……0表示什么都没有，“什么都没有”就到尽头了，而负数比。还要小。比“什么都没有”还要少，这怎么可能呢，可见构建负数的理性认识，困难之处不在于概念本身的高度抽象性，而在于如何跨越和扩展已有的认识。也就是怎么把负数和0的意义沟通起来！可见，认识负数的教学，一定要在具体经验的层面上引导学生体会负数和0的关系，抓住了这一点，负数的意义才能和学生认知结构小已有的数系沟通起来，才能达到数学理解的层次。因此，关注数学史中人类认识的挫折和失败，可以据此琢磨人类认识提升所纤历的阶段，为准确把握学生学习的思维历程提供另一种叫可能。
记：数学史对于数学教学内容的价值何在？
蔡：前面说到，课堂中学生所接触到的数学知识体系，是经过精心组织的公理化的结果，已经和其历史过程割裂开来。一个数学概念仅仅看它的最终形式化表述，普通人很难深入把握其确切的本质意义。抽象的数学概念只有放在历史背景上，和抽象活动的历史过程结合起来，才能变简练为丰富、变艰涩为生动，才能较完整地呈现出其经验性和演绎性二重统一的本质，进而才更容易被学生调动相关经验积累束支撑其建构概念。因而，英国数学家阿蒂亚爵士说，一个新思想最有意义的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最原始的定义，以及最初的一些结果。最重要的信息却常常包括在容易的部分，甚至在几个简单且深刻的观察之上[例如，《用字母表示数》在与教材配套的教师教学用书中，对其重要作用表述为“这是人类认识的一次飞跃”，但教师实际上很难理解其真正的意义。反而有教师认为，用字母表示数是因为不知道这个数是多少。原来在小学数学知识体系中，字母的运用主要是在解方程中用来表示未知量。可见，脱离了某知识的历史背景，就看不清它的来龙去脉，自然也就无从体会其数学本质。而放在历史的长河中，才体会到方程的解答最早是古阿拉伯数学家花拉于米用文辞叙述的，之后是古希腊数学家丢番图用字母的缩写表示的，直到17世纪才由法国数学家韦达不仅用字母表示未知量，而且用字母表示系数，从而实现了人类认识的跨越，打开了近代代数学的大门。换言之，用字母表示数的实质是符号化，绝不是用字母替代某数量。由此，教学《用字母表示数》的要义显然在于让学生理解，一个已知的量为什么还要用字母表示，理解了这一点才能使学生的认识实现由具体向形式化的飞跃。实际上，不仅仅是“用字母表示数”，数学中战略性概念的建构，其背后都闪烁着数学思想的熠熠光芒，都是数学认识上的一次重大突破，脱离了历史背景，要深刻把握其内涵都不是易事。
融于课堂教学的策略
记：在当前的课堂教学中，数学史常常作为一种时髦的装饰，在教学结束时作为资料介绍给学生，与学生认识数学的过程联系并不十分紧密。对此，您怎么看？
蔡：很多教师都在积极尝试将数学史和课堂教学联系起来，特别是一些公开课。这是一种很好的尝试。同时，我认为这也是数学史与课堂教学有机融合必须经历的一个阶段。但文化中最核心的部分是人观念层面上的东西，因此数学史的运用要直抵人的思想、观念，要将数学史有机融人课堂教学。
记：怎样才能将数学史内在于课堂教学的要素中，成为数学课程的组成部分．使数学课堂折射出数学的深刻和历史的厚重?
蔡：当然首先要能够了解甚至研读数学史。
记：很多优秀的数学教师也在读数举史，但实际教学却达不到“融合”的境界。您觉得问题出在哪里？
蔡：问题在于没有认识到数学史和数学教育终究是两个不同研究指向的学科。数学史追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对于人类文明所带来的影响。简而言之，数学史就是研究数学的历史。这就决定了数学史对于数学教育来说，还只是重新应用和思维加工的材料。读了数学史，并不必然地给数学教育带来有益的启示，而能否实现数学史到数学教育的跨越，就取决于教师在研读数学史中的“再创造”程度。
记：如何实现“再创造”?
蔡：首要的一点是要确立为了数学教学的价值取向。同样研究数学史，为了历史和为了教学是两种完全不同的价值取向。我们现在所看到的绝大多数数学史，立论之基是为了历史．所以更关注史实的真伪，研究的内容更多的是数学发展史上重要的数学事件、数学人物。而为了教学的数学史研读，应站在历史的高度，厘清知识的来龙去脉、数学
思想的演进走向，更好地把握所教数学知识的本质。所以，为了教学的数学史研读，是立足于现实中的“人”而去关注历史中的“人”和“事”。具体地讲，要特别注意：通过历史上不同数学事件的比较，提炼数学思想发展的规律，不断优化自己的数学观念；要透过相关知识历史演进的脉络，提炼出人类认识逐步提升的顺序；要善于抓住历史的表象，立足于认识论的角度多些追问，以及透过历史上人类认识曾经走过的弯路、遭遇的挫折和困惑．提炼出人类认识的障碍；要立足于“给孩子们正确的数学观念和良好的学习情感”的视角，捕捉有教育意义的历史故事和历史事件。
此外，数学教师读数学史所依据的材料不是原始的数学史料和文物，而是各种版次的数学史著作。因此，研读方法上要围绕同一个事件，研读不同版本的数学史，从不同的数学史著作中丰富此数学事件的内涵，更要参考数学史上数学家的传记等资料，通过历史上典型个体的思维过程的详细记述．用多种资料相互考证和补充，从而“复原”古人的数学思想方法和思维提升历程。
记：但很多老师感叹，可以读的数学史太少了!
蔡：因为小学数学中的绝大多数知识点，按照数学史界的说法，大都是数学的萌芽期(公元前600年以前)和初等数学时期(公元前600年到17世纪中叶)的内容，由于时间久远。流传下来的数学原始文物有限，因此有关的研究不够深入。其二，许多知识点形成的专题史往往被纯数学史家所忽略，因为它们在数学发展过程小的地位有限，吸引不了数学史家们去研究它们，所以很少完整地见到一般的数学通史著作。为此，在缺乏资料的情况下，不妨运用“逻辑推演”的方式对某知识发展的历史过程作出解释。
记：“逻辑推演”?
蔡：是的。在考古研究中，依据掌握的史料，给出合理的逻辑解释是常用的方法。很多历史人物的头像和历史风貌就是通过这样的方法复原出来的。这种方法用在这里，一方面可以站在现代数学的高度．对古人数学思考和方法的走向进行数理分析。以合情推理把残缺的历史资料统合起来；另一方面，可以依据数学发生发展的规律，大致勾勒知识形成过程的轨迹。《乘法的初步认识》的案例中，逐步把连加算式写简便的过程，根本无法从数学史中获取．但依据萌芽时期的数学源于生活常识、生活中“写简单”的事理，做出了那样的猜测，进而设计在教学中。当然，这种“逻辑推演”出的历史过程，对于数学史来说可能没有多大意义，但对于数学教学来说却足有启示的。例如，人类在认识负数
中的认知障碍，没有原始的历史文献来说明就是因为囿于0的基本意义。从数举家们认为负数“荒谬”的说法中，结合人认知过程中的负迁移之说，我们才大致作出了这样的判断。
记：数学史与课堂教学的融合还要考虑哪些具体的教学现实呢?
蔡：从数学史中汲取的教学素材和启示．只不过提供了教学的另—种可能，能否成为现实的课堂．还应该结合教学的现实状况——相关内容的数学本质、学生可能的接受水平等。将数学史融入课堂教学，不是完全再现历史进程．而足再现数学发展进程中的经典瞬间．让学生接受数学思想的洗礼。这一点非常重要!为此，弗赖登塔尔说；“孩子应庄重复人类的学习过程，但升非按照它的实际发生过程，而是假定人们在过去就知道更多的我们现在所知道的东西，那情况会怎么发生。”因此，这其中重要的是符号化而不是符号本身．是语言描述而不是语言本身，是定义化而不是定义本身．如此等等。也就是说，重要的是让学生经历数学创造发展的过程，接受数学思想的洗礼，不能苛求学生提出和现行数学知识体系中完全一样的数学知识、定义本身。就像在《乘法的初步认识》加扣，学生只要体会到新写法要写清楚“相同加数”和“加数的个数”就是难能可贵的，而不必苛求学生提出“乘法”的名称和“乘号”的符号。
就自己的体会而言，数学史也只有和教学现实融合在一起，才能明晰课堂教学的整体思路，不然教学就会迷失在浩瀚的数学史料中，失去应有的教学目标。例如教学《用字母表示数》，考察数学史知道了代数学发展经历了“文辞代数、缩写代数、符号代数”三个历史阶段，而且对于符号意义上用字母表示数的价值，也只有在另两个历史时期的比照中才能体会得更加真切，那怎么浅显地让学生感受到这一点呢?我仔细分析了学生已有的字母运用的各种经验，发现他们以往的经验主要是用字母来表示特定的意义，例如CCTV用来表示中央电视台，S表示面积，ml表示毫升等，而且还有一种固有的认识，往往认为不知道一个数量到底是多少才用字母替代。由此，《用字母表示数》的教学思路就很清晰了，通过教学要让学生认识到现在可以用字母表示一定范围里变化着的数，而且不是因为未知才用字母表示，而是这样的数太多了，所以才用字母来概括这些数。
记：数学史就其本质而言是人类数学思想的发展史，而数学教学的高境界是数学思想的感悟和熏陶，因而，数学教学无疑能从数学史中汲取更丰富的养分，使数学教学变得更加深刻和丰富。非常高兴
和蔡老师的这次对话，使我们对数学史和数学教学的融合有了很多新的认识。
(涉及“对话”的具体课例可查阅以下资料：《江苏教育》～2004年第l期B版《文化视野中的小学数学教育实践与思考》；《课程·教材·教法》～2007早第8期《和谐——小学数学教学设计的新视角》；《人民教育》2008年第6期《捕捉数学史中的教育基因》；《小学数学教师》～2008年第7，8期《负数“教学的重构：数学史的视角》。)
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