加载中…【代数杂谈】一元数、二元数、四元数与它们的矩阵表示
(2014-07-21 11:47:33)
标签：
数学代数四元数复数矩阵 |
分类： 有时讲理 |
如果说，不同的数学对象在特殊情况下，有完全对应一致的性质，那就可以视它们为“同一样东西”。譬如，数与矩阵。
不过——我说的可不是“行列式是一个数”那个意思啊。我的意思是，你有时候确实可以将数字和矩阵看成同一事物的不同记法。
从实数说起吧，也即一元数。
对每个实数，都能对应到一个一阶矩阵；它们分别在各自的运算域里有完全相同的性质。有的人会直接把一阶单位阵理解成一个数，其实也不无道理。
若我们星球的智慧生命，最初偏好用表格来进行思考（而非数手指），也许最先通用的“数”就是一阶方阵了。
然后是二元数，也即通常我们说的复数。
对复数，首先零元0和单位元1还是对应到通常理解的矩阵零元（二阶零矩阵）和单位元（二阶单位阵）。
单位元1与虚数单位i对应的二阶方阵分别是
1
i
有了 1 与 i
对应的矩阵，就可以构造任意复数的矩阵表示了。实际上，任意一个复数都具有如下的矩阵表法：
x+iy
http://s12/mw690/002WpQCAgy6KCimrUAr7b&690
其中x是实部、y是虚部，它们都是普通实数。可验证，这个二阶矩阵组成的加法乘法运算环，在代数上是完全等价于复数加法乘法运算环的。
其中x是实部、y是虚部，它们都是普通实数。可验证，这个二阶矩阵组成的加法乘法运算环，在代数上是完全等价于复数加法乘法运算环的。
——给个特例来show一下矩阵模拟复数的效果：
此式对应于
(1+2i) + i × (2-4i) =
5+4i
觉得不相信这是一般性性质的同学，可以用代数验证一下它是否符合复数运算环的所有特点。下面看看更高一级数环的矩阵表示。
轮到四元数，即哈密顿数。
四元数不再构成一个域，因为它是不可交换的；它是非交换的除环——体（skew
field）。因为它具有除环的所有特性（……它就是除环啊），因此它也可以有矩阵表示法。不过这回是四阶实数矩阵。
四元数的各单位分量，记作1、i、j、k；这四个分量单位对应的实数矩阵依次为
1
http://s4/mw690/002WpQCAgy6KCkONHIT23&690
i
k
上面的四个四阶实数矩阵，对应符合四元数的四个分量单位的基本运算律
也即可以说，这四个四阶实数矩阵为生成元而生成的环，和四元数（哈密顿数）环有着一样的代数性质。
其实它们还可以从矩阵分块的角度，被视为是二阶方阵——方阵的元素是前文提到的“复数”（嘛，这里的复数具体是数字还是矩阵，其实都一样的啦）。
1
k
以这四个矩阵为环的生成元，四元数的矩阵表示具有统一形式：
a+bi+cj+dk
实数形式
复数形式
大家可以试着验证一下，具有这个形式的四阶实数矩阵（或者具有这个形式的二阶复数矩阵）环，是否确实等价于四元数环。这里我就不像讨论复数的时候那样，再多作验证了。
最后，很自然会有在想：再往上一级的八元数（八程数）是不是还会有这种矩阵形式的表示呢？
据我所知，没有的了。八元数的矩阵表示是没有像一元数、二元数和四元数这样完全等价的表示法的。
究其原因，我认为是因为八程数不再是环——它连乘法结合律都不再具备了。但我没有动手进行严格的验证。这个有兴趣的同学再去试试证否一下吧。
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