加载中…【coursera：機率】谈谈线段和正方形上的点如何实现一一对应
(2013-09-25 19:54:24)
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数学测度映射分形杂谈 |
分类： 有时讲理 |
葉老师在用生命讲课，本文谈的是这一节
本文搬运自MOOC学院：
葉老师的機率课第四周大家看了吗？如果大家还没看，建议先去看到第二个视频。没看到视频4-1b的内容，恐怕会对本帖的主旨一头雾水，甚至会怒斥我离题的。
本帖是把视频4-1b「随机变数(中)」里，葉老师说的一个内容展开谈谈。当时葉老师因为课程展开度有限，没能深入讨论。那个问题就是，如果将一根长度为1的线段上的点，和边长为1的正方形上的点，实现一一对应，也即证明其等势（所谓的「一样多」）。
做这东西，思路自然会想，如果有一个方法，能做到：
在直线上任意找一个点，立即可能且唯一地映射到正方形里某个点；
在正方形里任意找一个点，立即可能且唯一地映射到直线上的某个点。
做到这两点，这个就是符合要求的对应法则了。
其实这个方法说起来很简单，只是不提醒恐怕不容易能从零开始构造一个出来。
我喜欢的一个答案是，利用铺满正方形内部的希尔伯特曲线，即佩亚诺曲线。
希尔伯特曲线是什么东西呢？描述前，先看这个曲线的动图：
也许有人看了还一时搞不出它的生成算法，没关系，接着讲。
至于与希尔伯特曲线等价的佩亚诺曲线，即上图，它俩形状不太一样，构造方法毕竟略有区别。但从结果来看，它们的性质都是能铺满整个平面，因此可以视为等价。
再次使用维基的图，继续，说明一下曲线的生成法。
配合下图，也许使人较易理解：
希尔伯特曲线生成前六步
我们先关注前两幅图。
第一幅图是它的元，曲线的整体都是由这个形状作为「原子」组合而成的；但到底怎么组合呢？
看第二幅图，第二幅图可以视为四个相等小正方形的组合（图中没描出来，请自行想象）。其中每一个小正方形内部，图案都是第一幅图的缩小版，只是摆放的方向不同。
第三幅，有足够观察力的同学应该看出来，是对第二幅图重复了刚才的算法；第四幅是对第三幅重复算法而得，以此类推，直到无穷多步。
在这里补充我发帖时也搞错的一点，就是每一步将一个小区域再细分成四个更小的区域时，更小区域的图案朝向，不是相对于我们屏幕阅读的上下朝向，而是相对于之前上一步正方形的朝向。
实在想不清它是怎么生成出来的，也没关系，只需知道：
- 它是一条线
- 它是迭代生成的
- 它有很多自相似的部分
- 它能在无穷步之后铺满整个正方形
这就够了。
线与线段的对应，是很简单的，就类似葉老师举的第一个例子：自然数和正偶数，即一维的情况下「少」和「多」之间的对应。
短线段和长线段甚至与无穷长的直线也类似：可以先坐标标号，再对坐标点的值用一个正比例函数 y=kx
建立对应法则，有限对应无限可以用正切函数 y=tan x 处理。（自然数和正偶数可以视为数轴上的离散的坐标）
既然希尔伯特曲线也是线，也就可以用坐标给它上面的点标号。
（另外：它有端点，但长度是无穷大：很怪的特性是吗？谁叫它是分形……）
以下是题目提到的那个建立对应的方法，使用非数学语言表达：
线段映射到平面
- 记录线段上某点的坐标；
- 先取坐标近似值分母为4，将线段等分为4段，看该点位于第几段，即坐标到底是位于区间[0,1/4)、[1/4,2/4)、[2/4,3/4)、[3/4,4/4]的哪一段；
- 把位居区段的编号，即区间的右边界分数值的分子（例如[1/4,2/4) 的编号是2）记录；
- 把编号对应至正方形的平面四个区域内，依据希尔伯特曲线的构造法则，确定应该对应哪一个区域；
- 确定后，再将长度为1/4的区段四等分；对应地，重复上述步骤，将正方形中的1/4面积小正方形也四等分；找对应区域；
- 一步一步逐渐细分，直至细分到不能再分，或区域缩小到面积为零得到一个收敛点；平面上这个点就是所求的对应点。
平面映射到线段
- 既然希尔伯特曲线是可以铺满整个平面的，也就是正方形里任意一点都可以在曲线上，找到一个对应编号；
- 接着所做的，大致只是将上述步骤逆过来。
例图是等分了两次，即线段 /
正方形四等分后再四等分的那一步。数字编码是对应的。
例如，在这个图里，若一个点在线段中位于编号3和编号4之间，那么它在正方形里对应的点应位于编号4的那个小小的正方形里。
也许还有别的方法使平面和直线达成一一对应，但我个人认为，这个最直观啦。
P.S.
其实大家有没有觉得那曲线像……贪食蛇？
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