加载中…【钟形曲线那些事(上)】中心极限定理
(2013-08-25 23:07:26)
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数学科普教育 |
分类： 有时讲理 |
这回，从伯努利实验谈起。
掷一枚硬币，正面反面出现的概率假设是相等，且每次掷的结果都是独立的；那么掷硬币就是一个伯努利实验。如果扔三次，记录其全部结果应该是这样：
（其中F为正面，B为反面）
8种之中，正面朝上次数为3的和0的排列同样是1种，为2的和为1的一样是3种。
如果把实验次数添至6次，那么正面朝上次数为6或0的排列分别都是1种，为5或1的分别都是6种，为4或2的分别都是15种，次数为3的最多、有20种——全部加起来恰好是2的6次方即64种。
可以从中看出的一个规律就是，正（反）面出现次数越靠近「中间」的，分配给它的种类数就越多。
直观上容易理解，越往两边靠，情况越极端；从两头极端同时「包抄」到中间，可能性（概率）当然会逐渐变多，最后在中间达到极限。
这里已经道出「中心极限定理」的内容了。这个《钟形曲线》系列的第一章，名就叫《中心极限定理》；所以，这个神奇的定理不会只字面描述，起码会给出推导，与量化的描述，以便引出正题：正态分布曲线，也称钟形曲线、高斯曲线。
实际上，上面的掷硬币实验，用二项分布的组合数公式一下子能得到计算正 / 反面恰好出现 k
次的概率：
其中 n 是硬币被掷的次数。这个式子可以看成正 /
反面恰好出现 k 次的组合数，比上总的次数 2 的 n 次方。刚才上面举的例子中的数字可以直接当成组合数。
硬币实验的柱状图是这样子的：
是否觉得它的轮廓有一点点像一个倒挂的钟？是的，这就是传说中的钟形曲线——只不过它仍是一个「离散」版。
日常生活我们也会处理一些大的数据问题，例如三年之内早上睡懒觉的分布；大型统计时，数据往往会更超级；既然数据可以比我们想像的远远要大，不妨就看看掷硬币的次数
n 远大于某个指定常数 k 时，会发生什么情况吧！
先旨声明，一定会有人（即使是首次读到钟形曲线）能想到，n
的增大只会使这个曲线的形状越发趋于平滑——最终变成真正的钟形。我可以事先声明，事实恰是如此，但又为何会这样呢？所以，还是有必要计算一下的。
先前我有说到一句话
……越往两边靠，情况越极端；从两头极端同时「包抄」到中间，可能性（概率）当然会逐渐变多，最后在中间达到极限。
这句话可以玩味一下。我们可以用它来实现一个计算极限的思路。
按这句话，可以这样想：如果我们站在正中央出发，然后往左或右两边移动，看到的景象——将会同样是「柱」的逐步降低，直至贴近「地面」。
为了计算方便，我们把总实验次数 n 设为 2m
，那么「正中间」就对应着 k = m。这样我们可以立即代入得出中央那条柱的高度；这是用于作标准用的。往后假设我往左 / 右移动 j
个单位，那么我新得到的次数就对应着 k = m±j 。
我将会用比值来描述其降低的关系规律。
（往下按右移，即 +j 计算）
这个比值是
把其中的组合运算拆开，
这东西化简下去，最后将会得到
这里算下去有一点点技巧。
设这个分式的分子为 L，如果对 L 取
自然对数，有
当 m 比常数 j
大得多时，这个式子右边每一项都是无穷小，可以用等价无穷小替换，
所以分子 L 的极限为
类似地，分母的极限可以用算得为
因此，整个分式的值算出来，为
这个幂是什么东西呢？往前面的文字回顾一下，它正是
http://s3/bmiddle/a0a95bc0gx6C8FttBJg52&690 计算到此，基本完成最麻烦的阶段了。
先前我们还说过，「为了简便」所以用 2m、m+j 来代替
n、k 的。是时候把 n、k 还回来了。
得到的结果为
使用这个式子计算概率时，由于 n 是当做一个给定的数，k
是自变量，因此这个式子其实也可以写成
这个、就是掷硬币掷 n 次恰好得出 k 次正面 /
反面的计算公式。这个公式厉害在哪里？下一段。
有的童鞋也许会认为，搞啥呀，弄了半天，弄出一个数字还要多的公式！
——其实不是的，这是很厉害的化简。要知道，这里的自变量是 k
，因此未化简前的左边是要计算（组合数公式里的）三个阶乘；而右边——没有了阶乘，只是一个比较「长」的函数；不过，一眼还真看不出是什么东西。
没事，我们可以给函数画个笛卡尔坐标曲线图。画图之前，右边这个式子（对应的曲线），要先把它变换（扩缩平移）成「更为常见」的形式：
——慢！扩缩平移后主要形状不变能理解，但变成这种东西干嘛？为了好看么？！呵，这虽然是原因之一，可当然不仅仅是为了好看，它有几个有趣的原因——
——甚至包括前面系数冒出了的一个圆周率，也有其原因。但是这个，是后面几章的主要内容。现在，暂押不表。
我们来给这个函数画个连续的曲线图像吧，这是一个很漂亮的曲线：
是的，它就是钟形曲线。
钟形曲线，也称正态分布曲线、高斯曲线，也是可以这样推导出来的。关于这个曲线，要说的才刚刚开始。
日常生活中，它总和概率、大数、分布等关键词形影相随，他的故事是很多的。接下来的几章，会试图解释它的标准方程为何会是这样子，而不是带有组合数的那个形式。
而中心极限定理的内容是，在普遍类似伯努利实验那样的多次、概率不变、独立重复的事件中，整体概率总是类钟形曲线方式分布，即「中间有个峰，两头对称递减」。这规律是非常地普遍，从中也能略知正态分布（钟形曲线）在经典概率论里的重要性。
带出了钟形曲线，本章也就可以结束了。
未完待续。
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