数学广角《田忌赛马》研究报告

             新营小学   四年级十班   高华成        指导老师： 丁明秀

一、田忌赛马第一次惨败存在的问题

     田忌赛马的故事发生在战国时期。有一天齐威王和大将田忌约定进行一次赛马比赛。他们把各自的马分成上、中、下三等，从每一等级中挑一匹马比赛，三局两胜制。上等马对上等马，中等马对中等马，下等马对下等马，问题是齐威王每个等级的马都比田忌的强一些，因此，三场比赛结果，田忌都败了。

              表1田忌第一次赛马惨败的比赛结果统计

    当第二次齐王又约田忌赛马时，因为还是那些马，田忌觉得自己必输无疑，没有比赛的必要。这时候，谋士孙膑对他说：我有办法让你赢。”田忌疑惑地问：“我每个等级的马都比大王的差，怎么可能赢呢？”

二、 田忌赛马问题研究

  1、第二次比赛田忌获胜策略：
   孙膑跟田忌说，赛马时，你按照我说的这样做，就一定会赢。田忌听了，就满怀信心地和齐王约定了第二次的比赛。

   比赛开始了。齐王先派出自己的上等马，孙膑让田忌先出下等马，齐王当然就很轻易地赢了第一场；第二场，齐王派出中等马，这次田忌听从孙膑的建议，派出了自己的上等马，不出意料，田忌的马赢了；最后一场，齐王下等马和田忌的中等马比赛，还是田忌获胜。

这次三场赛后，田忌以2：1反败为胜。这就是历史上非常有名的田忌赛马的故事。

              表2田忌第二次赛马获胜的比赛结果统计

    同样的马，田忌为什么第二次能赢呢？因为田忌派自己的下等马来浪费了齐王的上等马实力，另外两局呢，田忌派的马的级别都比齐王马的级别实力强，自然就赢了。

  2、方案对比

  那么我们来看一看，田忌和齐王赛马，齐王的派马等级顺序不变，他一共可以有多少种方案呢？我们分析一下列表如下：

               表3 田忌赛马多种方案对比统计分析

    从上面表中可以看出，田忌和齐王赛马，可以有六种派马的顺序选择，但只有第五种方案他才能赢，是战胜齐王的唯一方法。

三、 拓展1：有趣的分珠子游戏

1、 问题：

    再来玩一个分珠子的游戏：现在桌子上有10颗珠子，两个人轮流拿，每个人每次可以拿1颗或者2颗，谁拿到最后一颗谁就获胜！如果让你先取，你有办法获胜吗？

2、分析：

    因为每人只能拿1颗或者2颗珠子，因此只要一个人先拿，第二个人就能和他共拿到3颗。如果第一个人取1颗，第二个人就取2颗；第一个人先取2颗，那么第二个人就取1颗。只要能把3,6,9这几个要点掌握好就能赢！

     因此，只要把珠子总数除以两个人每次取珠子的和，如果没有余数，就让对手先拿，如果有余数，你就要先把多出来的拿完，这是解答这类问题的重要公式。

3、 解答：

   在这道题里有十颗珠子，那么10/3=3......1,所以你如果先拿先取一颗之后，按照接着对手取一个，你就取两个，对手取两个，你就取一个的顺序，依次拿，你就能拿到最后一颗珠子获胜。

四、 拓展2：报数游戏

1、 问题：

   我们最后再来做个小练习：两人一起玩一个有趣的报数游戏。二人依次报数，每次每人只能报1-4个数字，第一个人报完，第二个人就要接着对方报数，谁先报到25，谁就输，如果让你先报，你怎么保证能赢呢？

2、 分析：

你看，这个报数游戏跟前面的分珠子游戏是不是非常相似呢？不同的是，由于是报25输，所以谁报到24谁就赢，因为对方就只剩下25了。因此这个问题可以用分珠子中同样的公式来算。

3、 解答：

先用1+4=5,24/5=4......4。你先报1-4共4个数，然后对方报1，你就报4，对方报3，你就报2，总之，每个回合，你确保两个人报数的个数和为5即可。这样先报的人，就会掌握4,9,14,19,24这几个要点，确保就能赢

五、 研究结果

   田忌赛马和分珠子游戏、报数游戏，都是在双方的对抗竞赛中，在已有的条件下，经过策划安排，选择一个最佳方案，通过对策来赢得对手获胜的。这种办法在生活中可以广泛运用，比如在团队对抗赛中，就可以用本队最弱的队员来牵制对手最强火力点，放弃这局；但在其他的对局中则可以保持相对实力优势，这样来赢得整体胜利。在双方参加的竞赛中，不能光顾着自己，还要分析研究对手一方。这种专门研究对抗胜负的数学方法，叫做“对策论”，或者叫做“博弈论” 

   我们这次分析研究了田忌赛马的成败策略，并且拓展练习了分珠子和报数两个有趣的游戏。怎么样？是不是觉得学习数学也十分有趣啊！你学会了吗？那就快和小伙伴们一起玩玩类似的游戏，用学到的知识露两手吧！