随机规划概述

随机规划是对含有随机变量的优化问题建模的有效的工具并已有一个世纪的历史。

第一种随机规划是美国经济学家丹泽1955年提出的，康托罗维奇在这方面的贡献，不在于这个新方法本身，而在于把它应用于制定最优计划。是广泛使用的期望值模型，即在期望约束条件下，使得期望收益达到最大或期望损失达到最小的优化方法。

第二种是由查纳斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1959年提出的机会约束规划，是在一定的概率意义下达到最优的理论。

第三种即是刘宝碇教授于1997年提出的相关机会规划，是一种使事件的机会在随机环境下达到最优的理论。它与期望值模型和机会约束规划一起构成了随机规划的三个分支。

随机规划是处理数据带有随机性的一类数学规划，它与确定性数学规划最大的不同在于其系数中引进了随机变量，这使得随机规划比起确定性数学规划更适合于实际问题。在管理科学、运筹学、经济学、最优控制等领域，随机规划有着广泛的应用。

随机规划的求解方法

随机规划的求解方法大致分两种。

第一种是转化法，即将随机规划转化成各自的确定性等价类，然后利用已有的确定性规划的求解方法解之；

另一种是逼近方法，利用随机模拟技术，通过一定的遗传算法程序，得到随机规划问题的近似最优解和目标函数的近似最优值。

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机会约束规划的概述

随机规划的三个分支是期望值模型、机会约束规划和相关机会规划。其中机会约束规划是由查纳斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1959年提出的，是在一定的概率意义下达到最优的理论。它是一种随机规划方法，针对约束条件中含有随机变量，并且必须在观测到随机变量的实现之前做出决策的问题。

机会约束规划考虑到所做决策在不利的情况发生时可能不满足约束条件，而采用一种原则：即允许所做决策在一定程度上不满足约束条件，但该决策使约束条件成立的概率不小于某一个足够小的置信水平。对一些特殊情况，机会约束规划问题可以转化为等价的确定性数学规划问题，但对于较复杂的机会约束规划问题，则要利用基于随机模拟的遗传算法来求解一般机会约束规划问题以及机会约束多目标规划和机会约束目标规划问题。

机会约束规划主要特点是约束条件中含有随机参数，其一般形式如下：

http://wiki.mbalib.com/w/images/math/5/2/b/52b6b20d89cd77668e8f0ada516604f1.pngProgramming）" />

其中A_i = (a_ij)_sm,b_i为s维向量，且A_i与b_i部分或全部为随机变量，c ∈R^m为系数，x∈R^m为决策向量，0 < α_i < 1。

机会约束规划的解法

机会约束规划的解法大致有两种。其一，将机会约束规划转化为确定性规划，然后用确定性规划的理论去解决；其二，通过随机模拟技术处理机会约束条件，并利用遗传算法的优胜劣汰，得到机会约束规划的目标函数最优值和决策变量最优解集。

机会约束规划的目标函数最优值及决策变量的最优解集与模型中的随机系数有关，因而具有随机性。从数理统计的角度看，对这种随机的目标函数最优值以及决策变量的最优解集可以作出某种置信水平的区间估计。衡量区间估计的精度的一个重要指标是估计区间的长度，估计区间长度越小，估计精度就越大；反之，估计区间长度越大，估计精度就越小。

机会约束规划模型的案例分析^[1]

　　案例：风险管理的机会约束规划模型

将风险发生概率P_f、风险后果概率C_f以及风险管理的费用作为随机因素处理，卜面给出这三个随机因素的详细描述：

http://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/5/d/25db0869faf2e51344afd0de5132d8f9.pngProgramming）" />(1)

这里d_i是风险冈素i对风险发生的权重．b_j是风险等级j的等级值．

ξ_ij(x_i)是为风险冈素i选择措施x_i时风险发生处于等级j的概率．管理者在对风险控制措施作山选择之前，需要邀请数位专家对ξ_ij(x_i)进行预测，从而得剑一个最优的决策．然而，风险冈素的状态是不确定的，并且不同专家的预测结果也不尽相同，从这个角度来说，ξ_ij(x_i)不是一个确定的值。于是，把ξ_ij(x_i)作为随机变量来描述，由分布函数http://wiki.mbalib.com/w/images/math/9/6/c/96cee15e628f39b6d86e3811d3d52a72.pngProgramming）" />

相似的，

http://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/f/a/dfa83aefb79a382590a970a36a8f86dd.pngProgramming）" />(2)

这里μ_i是风险后果因素i的权重；η_ij(x_i)是为风险因素i选择措施x_i时风险后果处于等级j的概率，它是一个随机变量，其分布函数近似为φ_i(η_ij)。

风险管理的总费用表示为

http://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/2/2/6227ae991f398fd6166db915b1a3da17.pngProgramming）" />(3)

γ_i(x_i))是风险因素i选择其措施x_i的费用，为随机变量，与其对应的分布函数为Φ_i(γ_i),i=1,2,…,T。用于风险管理的总费用不能超过预算资金C_max：

http://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/a/1/fa120578f3667a097655f4d416d2e292.pngProgramming）" />(4)

综上所述，风险管理的机会约束规划模型为

http://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/8/e/c8e77630836c7ae8d2bedfddcc575674.pngProgramming）" />(5)

http://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/7/1/d71f6630516804f4fcac404966e48e91.pngProgramming）" />(6)

http://wiki.mbalib.com/w/images/math/7/5/b/75b6a18164775139381e8807d397179a.pngProgramming）" />(7)。

http://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/f/2/df24b00d45ecf76504cd6a6d25a5bbad.pngProgramming）" />(8)

其中pr{·}表示{·}中的事件成立的概率．对于模型中的第1个约束(式(5))，多个目标值都可以满足它．在本问题中，要找出最小的，作为模型的目标值，即：

http://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/f/8/ff820b1726fff01a4ce65f645ccc25b6.pngProgramming）" />(9)

式(9)是随机变量ξ_ij和η_ij的一个α悲观集，目标值http://wiki.mbalib.com/w/images/math/7/0/6/706d9c108926a85d18d890501c6cbfa1.pngProgramming）" />是满足该约束的值中最小的一个。可见，管理者对待风险的态度是十分谨慎的，即管理者是厌恶风险的。

由于模型是一个带有随机变量的优化问题，考虑用蒙特卡洛模拟嵌入粒子群算法对问题进行求解。

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