自行车里的数学

教学目标：

1.  理解并掌握自行车“蹬一圈走多远”的计算方法，探索变速自行车的速度与其

  内在结构的关系。

2. 引领学生经历“提出问题——分析问题——建立数学模型——解释并应用”基

   本过程，获得应用数学解决实际问题的思考方法。

3. 在自主探究、合作交流的学习过程中获得良好的情感体验，增强学生学好数

  学、用好数学的意识。

教学重难点：

重点：普通自行车的速度与其内在结构关系的数学模型；

难点：变速自行车的能变化出多少种速度。

教学过程]：

一、谈话引入

   师：我们学数学，用数学，生活当中存在许许多多的数学知识，只要你细心研究，就会有所收获，就像这自行车（课件展示），通过同学们课下仔细的研究，发现了自行车里蕴含着丰富的数学知识。这节课，我们就一起来交流一下。

（板书课题：自行车里的数学）

   在开始研究的时候，我发现许多同学都认为：自行车蹬一圈，后轮转一圈。

是不是这样呢？要解决这个问题，首先要了解自行车的运行原理，许多同学在课下都进行了研究，现在我们就有请一组的同学和我们一起回顾一下自行车里的数学，掌声有请一组。

秦浩： 大家好，今天由我与卢长龙和大家一起回顾一下自行车是如何运行的。

 首先让我们了解一下自行车传动装置的几个重要部件有：脚踏板，前后齿轮，还有链条。自行车的运行实际就是脚蹬脚踏板带动前齿轮，前齿轮通过链条带动后齿轮，后齿轮带动后轮从而自行车就运动起来了。（秦浩讲解，卢长龙操作）

大家听明白了吗？

生：听明白了！

 卢长龙： 同学们看，通过实际操作我们发现自行车蹬一圈后轮不止转一圈，也就是说自行车蹬一圈的距离不止是后轮转一圈的距离。

秦浩：谢谢大家，我们的报告到此结束！

师：感谢一组同学的回顾，通过回顾，我们发现“自行车蹬一圈，后轮转不止一圈”，也就像卢长龙所说“自行车蹬一圈的距离不止是后轮转一圈的距离”，那自行车蹬一圈走多远呢？其实很多同学对这个问题在课下也进行了细致的研究，让我们掌声有请二祖的同学做精彩的汇报。

（苗晏玮讲解，秦赫操作）

  苗晏玮： 各位老师、同学们大家好，我们小组在课下研究自行车脚踏板转一圈，自行车的后轮走多远这个问题很感兴趣，我们经过课下研究，共想到了两种方法。

     方法一：首先，我们在地面上画一条直线，确定一点，与自行车的后轮对齐，慢慢转动脚踏板一周，此时，从自行车的起点到自行车现在位置的距离就是这辆自行车脚踏板转动一周后轮所行的距离。我们经过测量，这段距离是3.65米。同学们觉得这种方法怎样？

张玉峰：费劲、误差大。

秦  浩：受场地的限制。

卢小凡：方法简单，容易想到。

苗晏玮：同学们考虑的都非常全面，我们也发现，这种方法会受到场地大小的限制，所以，我们又想到了一种不受空间大小限制的方法。

    方法二： 我们把自行车倒置，找一根足够长的绳子，把绳子的一端系在自行车的后轮上，绳子沿着车脚踏板转动一周，好，停！现在绳子的长度就是自行车后轮一周的周长，也就是自行车后轮转动一周所行的距离，我们在课下经过测量长度为3.8米。

同学们觉得我们的方法好吗？同学们还有什么不同的测量方法或者问题吗？

张帆：比方法一好。

牛帼英：测量有误差。

张玉峰：测量结果应该比第一次准确。

秦赫：对，同学们说的非常正确，测量的方法容易差生误差。

师：都没问题了吗？老师这里有个问题，为什么两次测量的结果不一样呢？

秦赫：测量的方法容易差生误差，相对而言，方法二比方法一测量的数值要准确。

苗晏玮：同学们明白了吗？还有问题吗？好，没有了。谢谢同学们！

师：二组同学真的很善于思考，改进了自己的方法，同时，同学们也发现测量法的确存在着容易差生误差等许多的不足。那有没有更好的办法呢？三组的同学想到了不同的方法，让我们有请三组的同学上台交流她们的方法。

牛帼英：各位老师，各位同学，大家好！我们是第三小组的研究人员：牛帼英、王一雯。我们所研究的的问题是：自行车蹬一圈走多远？

通过刚才第二小组的介绍我们知道，自行车的车蹬转一周，后轮转了不止一周。那究竟自行车蹬一圈后轮转几圈呢？

其实，我们发现，自行车的车蹬转一周，自行车的后轮和后齿轮所转圈数是一样的。所以，我们只要求出自行车蹬一圈后齿轮转几圈就可以了。那，我们看到，自行车的前齿轮和后齿轮是由链条连接起来的。所以，前齿轮走一个齿后齿轮也走一个齿。（牛帼英讲解，王一雯操作）

由此，我们得出一个结论：前齿轮所走齿牙数=后齿轮所走齿牙数。（板书）

但是，由于前后齿轮不一样大小，齿轮数也不一样多。所以，前齿轮转一圈，后齿轮需要转很多圈才能跟得上。

王一雯：我们举一个例子：假如说，自行车的前齿轮有48个齿，后齿轮有24个齿，那自行车蹬了一圈之后，后齿轮转几圈呢？

金敬勋：2圈。

王一雯：再考考你们：自行车的前齿轮还是48个齿，后齿轮这个时候齿数缩小为12了，自行车蹬了一圈后齿轮转几圈呢？

滕冰冰：4圈。

王一雯：没错，是四圈，那这个四就是后齿轮所转圈数，12就是后齿轮齿数，48就是前齿轮齿数。

牛帼英：由此呢，我们得到一个关系式：

前齿轮齿数：后齿轮齿数=后齿轮所转圈数（板书）

我们刚才讲到，自行车后齿轮所转圈数=后轮所转圈数，所以，后齿轮转了4圈，后轮也应该转4圈。我们现在知道了后轮算转圈数，还需要知道什么就可以求出自行车蹬一圈行走路程了呢？

张玉峰：自行车走的距离。

牛帼英：对吗？

师：不要着急，好好想一想问的什么？

刘鹏：自行车后轮的周长。

牛帼英：对，我们只要在知道车轮周长就可以求出自行车行走路程了。

那么，我们计算自行车行走路程的公式就是：

车轮周长×（前齿轮齿数：后齿轮齿数）=自行车蹬一圈所走路程

（课件展示）

王一雯：同学们听明白了吗？

生：听明白了。

王一雯：那么下面我给同学们三个条件,请你们算出这辆自行车蹬一圈所走路程。前齿轮齿数：44   后齿轮齿数：16   车轮周长：138.16厘米 

求这辆自行车蹬一圈走多远？

找两位同学到黑板上来做：李东琛、吕小凡。

其余同学在练习本上做。

（师巡视）

牛帼英：正确答案是：138.16x(44:16)=379.94(cm)

（课件展示）

牛帼英：明白了吗？还有什么问题吗？        我们的汇报到此结束。

师：感谢三组精彩的报告。通过前三个小组的汇报，我们已经了解了自行车的运行原理，其实生活中还存在一种特殊的自行车-----变速自行车，有请四组的同学为我们介绍一下。

李东琛：究竟何为变速？

我认为是在蹬一圈的情况下，后齿轮转动圈数不同。例如：前齿轮转动一圈，后齿轮由转动两圈变成转3圈，假如前齿轮有48个齿，即：转两圈后齿轮有24齿，转3圈后齿轮便有16个齿。所以我认为变速是通过改变链条和前后大小齿轮的配合来实现变速。

那变速自行车到底有多少速度哪？郑开鑫在课下对这个问题进行了研究，下面请他来给我们说一说。

郑开鑫：我们先来看普通的自行车，一个大齿轮后面一个小齿轮，那么有多少种组合呢？

金敬勋：一种。

郑开鑫：那么如果后面有两个小齿轮呢？

张玉峰：两种。

郑开鑫：有六个小齿轮呢？

吕小凡：六种。

郑开鑫：很对，那现在有这样一辆变速车，有2个前齿轮，有六个后齿轮，这两变速自行车能变出多少种速度呢？

马璐瑶：12种。

郑开鑫：非常正确。那有那么多速度，到底哪种组合最远哪？

李东琛：下面大家来观察这个表格，你发现了什么？（课件出示表格）

 

前齿轮齿数     后齿轮齿数    前齿转动圈数 后齿转动圈数

48             28          1                  1.71

48             24          1                   2

48…          14…         1                  3.43

40             28          1                  1.43

40             20          1                   2

40…          14…         1                  2.86

 

张玉峰：前齿轮齿数是48，后齿轮齿数是14，后齿轮转动圈数最多。

金敬勋：前齿轮齿数是40，后齿轮齿数是28，后齿轮转动圈数最少。

李东琛：同学们观察的很仔细，也就是说，前后齿轮数相差越大，后轮转动圈数越多。即：蹬同样的圈数，前后齿轮数相差越大，比值越大，车子走得最远。

所以：当大齿轮带动大齿轮时，前轮转一圈，后轮转动圈数少。自行车跑得近，但是很省力。当大齿轮带动中齿轮时，自行车跑得较远，也较省力。当大齿轮带动小齿轮时，自行车跑得就是最远的了，但是很费力。

我们的演讲到此结束，谢谢大家。

师：掌声感谢四组同学认真地研究，让我们了解了变速自行车。

师：同学们，其实我们之前所学的图形的特性在自行车上也有所体现。有的同学对这个问题非常感兴趣，让我们有请五组的同学。

王溢梅：尊敬的老师和各位同学，大家好，今天由我同李珍慧与大家交流自行车身蕴含的数学知识。首先，我们来看一下车架，哪位同学能说一下，车架有什么图形组成的？

张玉峰：有三角形。

王溢梅：对，那谁知道为什么要用三角形吗？

申翊辰：利用了三角形的稳定性。

王溢梅：是的，三角形具有稳定性和牢固性，自行车身有许多用于支撑的三角形。

王溢梅：同学们再来想一下，我们平时见到的车筐是什么形状的？

申翊辰：正方体或圆柱体。

王溢梅：其实我老式自行车多应用正方体，因为正方体或长方体有一定的体积装载，并且比较牢固，利于固定。但我发现现在的自行车车筐大多是圆柱体。令我迷惑的是现在自行车车筐为何有圆柱体取代了正方体？这也使我联想到了另外一个问题：水杯为何是圆柱体的？我认为原因之一是在材料相等的情况下，援助的容积最大，但我现在还无法证明，请有兴趣的同学下课与我交流。

李珍慧：下面这个的脚踏板与自行车的运行有紧密的关系，同学们注意脚踏板旋转起来是个什么图形，中间的轴可以看做圆心。

  为什么脚踏板旋转起来是一个圆？

生：不知道

李珍慧：我认为在面积相等的情况下，圆的周长最短。例如：同样面积是100平方米，正方形周长40米，圆周长大约36米。

  车轮的形状是个圆，没有棱角和棱边，滚动时平稳。车轮上有许多的钢条是车轮的半径，相邻的钢条组成类似的三角形，起固定作用。我留心观察了许多自行车，辐条都是偶数条，具有对称性，增加了美观度。经我查阅书籍得知，对称性能增加抗压力。

王溢梅：我们的交流到此结束，谢谢大家。

师：第五小组的同学太细心了，竟然都能发现辐条是偶数条，了不起！看来很细微的地方就有可能蕴含数学知识。

师：通过五组同学的交流，让我们感受到数学在生活中的广泛应用。希望同学能像他们学习，积极地发现所学知识在生活的应用。

师：今天老师真是受益匪浅啊，小小的自行车，通过同学们的研究经验发现了如此多的数学知识，太了不起了，希望同学们在课下继续研究，在生活中发现更多数学知识。好，这节课就上到这里，下课！

 

                                      班    级：六年级五班

 

                                      指导教师：焦玉荣、尉晓

                                                许静、安晓东