魔方中的数学问题

一、课题的确定

人教版四年级上册的数学第四单元是关于图形的知识，课后发现学生的空间想象能力很差，想不明白的线、面、立体，很多不明白什么是“不在同一平面内”。数学可以渗透到日常生活的方方面面，甚至是玩乐，一个简单的游戏，一种普通的玩具，都可能蕴含着数学的精彩。非常高深的数学，很可能就在其中完美体现，魔方就是这样一个有魔力的玩具，于是我安排课下学生找一个魔方去转转，转的过程中看看哪些线是在一个面内，哪些不在一个面内，学生在研究的同时我也做了相应的研究，发现魔方中蕴含着很多几何知识，比如表面的展开图、不同角度观察物体等，都是在五年级即将呈现的知识，因此我确定了此课题。

二、课题的布置与指导

这是课外课的研究，因此我先整理了一些问题作为研究参考，布置给全班学生做初步的思考和交流，然后挑出了平时比较喜欢钻研问题的部分学生，分成了四个小组，每组有四五名学生，每组都有一个擅长画图的学生，方便展示成果。

刚给学生布置这样任务时，他们觉得很新鲜，兴趣盎然，斗志昂扬。第一次与学生交流我发现他们的研究并不是真正的研究，只是对照我的研究参考回答了问题而已。针对这种情况，我又找到小组的组长，给他们缩小的研究的范围，具体分为四类：魔方中棱的位置关系以及角的知识、魔方表面的展开图、从不同角度观察多个魔方组成的形状、表面积变化，同时跟进指导学生的研究。

三、课堂教学实录

（一）引入

同学们这段时间你们都对魔方展开了研究，相信你们都有了自己的研究成果，下面我们来汇报一下。

（二）汇报展示

1、第一个研究小组汇报展示

生1：通过观察大家都知道，魔方是正方体，它有六个面组成，而且这六个面都是正方形，并且面积相等；面与面相交的地方会形成棱，正方体12条棱全部相等，我们刚学过垂直与平行，从位置关系看，相对的棱是平行的关系，相邻的棱是垂直的关系（指着魔方）；三条棱相交于一个点，这个点叫做顶点，顶点有8个。你们听明白了吗？

生2：我想补充一点，其实也是我发现的规律。一个魔方是由不同的小正方体组成的，这些小正方体有的是只有一个颜色，有的上面两个颜色，有的三个颜色。观察发现单色的位于每个面的中间，是六个；双色的位于棱的中间，是12个；三个颜色的是位于顶点的位置，是8块。这几个数正好和面、棱、顶点的个数对起来。

生3：对，这些数量是由正方体的特点决定的，不是偶然的。单色的在每一个面的中间，不会与别的颜色相接，所以有6个。双色的在棱的位置，两种颜色相交产生棱，所以有6个，双色的在棱的位置，有两种颜色相交产生棱，所以有12块，三种颜色的都在顶点上的小块

生4：
http://s12/small/002VL4Ldzy6OlPiI2Kfdb&690
这两条棱是相对的，但是我觉得它们不是互相平行的，因为不在一个面上。

生5：我不赞同你的意见，这两条棱就是平行的，虽然没有一个明确的面，但是可以想象出来在一个面上，看就是这样。我研究了很多平行关系的线，发现只要是两条直线方向一致那么它们就能在一个平面上。

  http://s7/mw690/002VL4Ldzy6OlPje3lAe6&690
   师：这位同学研究的很深入，这一发现实际上是我们数学上一个重要的定理：两条平行线决定一个面。

2、第二个研究小组汇报展示

生1：我们小组主要是研究了魔方表面展开图，因为想象展开有点困难，所以我就用纸把魔方包起来然后沿着不同的棱展开。之后经过整理我们发现魔方也就是正方体展开图一共有以下几种形式（大屏幕展示成果）：

http://s4/mw690/002VL4Ldzy6OlPoQmDVc3&690

生2：这几种形式能够拼成正方体实际上是有规律的，都是六个正方形，但是这6个正方形不是随便摆就能围成正方体的。

生3：对，围成正方体的表面展开图是有规律的，我是从网上查的资料：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。对面相隔不相连，识图巧排“7”、“凹”、“田”。这是别人整理的口诀。“四方成线两相卫，六种图形巧组合”指的是中间四个，两遍两个随意排，会有6种形式。“跃马失蹄四分开” 指的是五个小方块组成“三二相连”的基本图形（指着刘雨涵的研究成果），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。“两两错开一阶梯”指的是 http://s6/mw690/002VL4Ldzy6OlPr2cGpf5&690

“对面相隔不相连”指的是相对的两个面隔着一个，不会连在一起；而6个正方形中有排列像“7”、“凹”、“田”样的，是不会围成正方体的。

师：同学们都研究的很深入，能够借助网络资源学习，非常了不起。

3、第三研究小组的汇报

生1：我研究的是观察魔方的问题。我发现把魔方放在桌子上，最少能够看到一个面，最多能够看到三个面。看到最少数量的面的时候，我发现观察的视线必须和魔方的一个面垂直才可以。你们可以观察一下看看。

生自己观察

生2：对，的确是视线和魔方的一个面垂直的时候只能看到一个面。

师：这种观察的方法叫做垂直观察。还有不同的观察方法吗？

生3：我研究的是把几个魔方摆在一起之后从不同的角度垂直观察会看到什么图形。我用了三个魔方做合成了一个图形，从正面看是一个“L”形，从反面是一个左右反着的“L”形；从下面和上面看都是一个长方形；从左面和右面看也都是长方形，只不过是竖着的。

生4：我也是观察的几个魔方的组合，不过我的要复杂，是五个魔方的，从正面看是凹形的。正反面的看出来都一样，是凹形，上下是长方形（三个正方形组成的），左右也是长方形（两个正方形组成的）。出示学具，让全班学生观察。

生5：我的更复杂，是7个魔方组成的，出示：

http://s13/mw690/002VL4Ldzy6OlPsjkII2c&690

   同学们你们说从前面垂直观察会看到什么形状？后面呢？上面呢？左面呢？

生6：从前面是看到四个正方形，三个在下面，有一个在上面最左面。

生7：从反面看到的正好跟前面的反着。

师：怎么反着？

生7：也是四个正方形，下面三个，上面的那个应该在最右面。

生8：上下看到的是六个正方形组成的长方形。左右看到的是两个正方形组成的长方形。

生纷纷举手要说自己的观察。

师：同学们我们先不说你们的观察结果了，我们来回想刚才的三个同学的观察过程，看看他们都是从几个角度观察的？你能得到什么结论？

生9：老师不用想了，我在研究中就发现了，都是从六个方向，也就是魔方六个面的方向观察的，但是六个面可以分成三组相对的面，所以至少要观察三个方向的。

师：非常棒的结论，看来你在研究的时候是带着思考去研究的，而且你很善于总结，希望以后的学习中继续保持这种习惯。那同学们反过来想想，如果给你三幅图分别是从三个方向看到的，你能摆出来吗？

生跃跃欲试。

师：老师相信你们能够做到，因为还有两个小组要汇报内容，我们这个放在课下继续去研究，好不好？随着研究深入你们会发现，在生产生活中很多地方会用到这种观察物体的方法。你们非常了不起，发现了观察物体需要从三个角度观察才全面的结论。

4、第四个小组的汇报交流

生1：我们小组研究的是表面积的变化，表面积变化主要分了两部分，一种分割组合中的表面积变化，一种是取走一个魔方中的正方体后表面积的变化。下面我们先汇报分割组合中的表面积的变化。

（1）生2：我是利用了计算的方法研究了两个魔方合成一个长方体后表面积的变化，如图：

http://s8/mw690/002VL4Ldzy6OlPvZYKb07&690
   通过计算我得出的结论是，两个正方体拼成一个长方体后，表面积减少了，减少了两个正方形的面，因为这两个面遮住了。

生3：根据邴捷的我们可以推导出当一个正方体分成两个长方体后，表面积增加了，因为分开的过程中增加了两个面，即两个正方形。

师：嗯，我发现同学们越来越会思考问题了，也学会举一反三了，要保持这种良好的思考习惯。

生4：那根据你们的研究是不是四个魔方组成一个长方体的时候遮住的面越少，组成的长方体的表面积会越大？

生3：对，四个魔方一字排开的时候遮住了六个面，如果是上面两个下面两者这样遮住了8个面，所以一字排开的时候表面积最大。

生2：对，这一点我也是通过计算证明的。

（2）生5：我研究的是从魔方中取走一个小正方体块后魔方的表面积变化情况。由于魔方中间是由一个主轴和26个小块组成的，研究这一问题时不能取走，所以我找了27个小正方体块组成一个大正方体来研究的。经过研究我发现了这样一个规律：当我取走的是三色块的时候表面积是不会变化的，因为取走后少了三个面，同时也多了三个面；当取走的是双色块的时候，多了两个小正方形的面，因为少了两个面，多出来四个面；当取走单色块的时候是多了4个面，因为少了一个面多了5个面。（如图）

http://s16/mw690/002VL4Ldzy6OlPzdKSXaf&690

生6：我有点不明白，你说多了几个面，少了几个，我想象不出来。

师：朱钊烨同学讲的特别的条理，也很详细了，如果结合图形边讲边说明少了哪个面，多了哪个面会更好。哪个同学结合图再来讲一遍？

生7再讲一遍。

铃声响起……

师：同学们下课时间到了，但是你们的研究还没有停止，课下你们可以自己继续交流。通过这节课可以看出，数学是一门充满魅力的学科，在它复杂表面的背后，隐藏着大量极其简单、漂亮的规律。有趣的游戏、手头的玩具，往往在简单中蕴藏着深刻的数学规律；而复杂的数学经常以极其简单、漂亮的形式展现。希望你们会越来越喜欢数学。

四、课后研究及成果展示交流

各小组交换了自己的研究成果，再继续研究自己原有的问题的基础上，对自己没有研究的内容也有所了解，为自己的继续研究作参考。由于各小组的研究成果在汇报课之前都是互不沟通的，所以在汇报交流之后交换研究内容和研究成果，利于学生全面深入的研究。

部分有条件的同学向家长汇报了自己的研究成果和收获，并且把自己的研究成果存档，以备以后学习所需。

五、教学反思

短短的40分钟，在学生你一言我一语的交流汇报中悄然而过，回顾整个小课题研究活动，我也有很多的体会。首先，学生所表现出来的积极性令我非常惊讶，当我安排下任务之后，很多学生积极的投入到了研究中，下课后就会拿着魔方去办公室找我问不明白的地方，针对我所设置的研究参考，去思考去解答，有的学生甚至借来了五年级的教材，自学了表面积和体积的概念，在此基础上进行研究。其次，学生的研究成果超出了我预期的想象，比如对于平面展开图的研究，我没想到学生会利用网络寻找规律，并且不仅仅是找到资料就行了，而是真正的搞明白了六个正方形围成正方体时的规律。再次，选取的材料学生感兴趣，通过操作，努力可以解决问题。同时因为教师的指导跟的比较紧，所以这次研究总体来说是比较成功的。最后也是这堂课的一个遗憾就是课上多数都是小组在汇报自己的研究成果，真正质疑提问的声音很少，一方面说明学生对于自己没有研究的方面不熟悉，不了解以至于没有问题，另一方面也说明很多学生倾听和思考的能力还不够，所以没有问题。针对这一点我要求课下小组交换研究成果，以求对各个问题都有全面的了解。