授人以鱼，不如授人以渔

                     ——《平面图形的周长和面积的整理与复习》——供数学老师阅读

                西陵区外国语实验小学东区  曾飞凤 

  ［背景与导读］ 

 《平面图形的周长和面积》是人教版小学数学第十二册总复习中的内容。旨在让学生通过复习明确平面图形周长和面积的意义，掌握长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基本平面图形的周长和面积计算公式及其推导过程，理清知识的来龙去脉，构建知识网络，形成知识体系，完善认知结构，并在综合运用和拓展练习中深化知识、查漏补缺，提升能力；同时对学生进行复习方法指导，培养学生自主学习、自主复习的能力，使学生的学习水平达到一个新的高度。而要达成以上目标四十分钟的时间远远不够，一节课下来，很多学生可能还是有点云里雾里，没有理清头绪，达不到温故而知新的效果，基于以上思考，我把这个内容分成两课时：先整理后复习，第一课时对知识和方法进行“整理”，第二课时再联系生活实际和学生实际进行综合性的练习与拓展。案例中的几个片段体现了整个过程中教师课堂教学的两条主线：一条是对平面图形周长和面积的相关知识的梳理；另一条是始终贯穿在知识梳理过程中的对学生学习方法的有效指导。 

［片段与反思］

[片段一] 课前学生自主整理，课内合作交流重组，教给学生整理的方法。

 1、精心设问，渗透整理的方法指导：

师：课前，大家用自己喜欢的方式对《平面图形的周长和面积》这部分知识进行了整理，你是从哪几个方面来整理的？分别使用了哪些整理方法？对照你的课前整理，在小组内交流一下。

（设计意图：毕业复习课是对某一知识版块的梳理，容量大且学生对大部分知识已生疏，如果上课后让学生逐一回顾，整理过程就可能会受阻于部分学生知识的回生，复习课就可能上成新授课，预定的复习任务也就难以完成，教学效果就会欠佳。如果充分发挥学生学习的自主性，让学生在课前先书面复习整理，对所复习的知识点有一个较清晰的认识，并记下自己复习中的困惑之处，以便课上交流，这样才能提高数学复习课的教学效率。而且，让学生课前先复习，还能培养学生自主学习的习惯，提高学生自我整理的能力。）

2、全班交流整理方法，在学生描述方法的过程中渗透整理方法的指导

师：（1）你是从哪几个方面来整理与复习的？

生1：我是从平面图形的周长和面积的意义、公式两个方面来整理的。

生2：我还整理了平面图形的周长和面积公式的推导过程。

生3：我还对我在这部分知识的运用中常常出现的一些问题及要注意的地方进行了整理。

（板书：A、意义   B、公式及推导    C、运用）

（设计意图：使学生明确整理一个知识版块时要抓住重要知识点，再以点带面来整理，明确整理的目标。）

（2）你在整理中分别使用了哪些整理方法？

生1：我用文字来一个一个图形整理它们的周长和面积公式还有公式的推导过程。

生2：我也是用文字整理的，跟他不同的是我先整理这些平面图形的周长公式及推导，再整理面积公式及推导。

师：你们都是用文字描述分块整理的。(板书：整理方法：文字描述)

生3：我在整理面积与周长公式时是借助表格来整理的。(板书：表格)

生4：我在整理它们的周长和面积公式及推导过程时借助了图形并配上文字说明的方法。

师：也就是图文结合的方式。(板书：图文结合)

生5：我在整理公式时用的是表格，但我觉得公式的推导用文字描述太麻烦，所以我把推导的每一步都用示意图的形式画出来了。(板书：示意图)

……

3、欣赏评析，在呈现学生整理过程及学生的选择优化中渗透整理方法的指导。

师：（1）课前，我收集了几位同学的整理，我们一起来欣赏一下，看看他们是如何整理的？这样整理有什么好处？

姓名	学生整理作业的图片	学生评价
彭  龙  骏	http://s7/small/622a67eagd7a621ac7556&690	生1：彭龙俊是用表格来整理的。分周长和面积各一栏，一类一类的很清晰。 生2：他的整理中写出了我们容易出错的半圆的周长公式，还总结了其它几个没学过的周长公式。

	http://s3/bmiddle/622a67eag06c7e0a900a2&690	生：陈杨雨萌借助表格来整理，还采用了图与文字结合的方法。使每一个图形的相关知识一目了然。
	http://s9/bmiddle/622a67eagd7a64dc608e8&690	生：他是分面积与周长两块用文字来描述的，比较具体。
	http://s5/mw690/622a67eagd7a65b028424&690	生1：张舒悦借助图文结合的方式，公式推导过程采用示意图配文字说明。一看就明白。 生2：我觉得图加文字说明，比较直观、形象。 生3:图把图形间是如何转化的演示的很清楚，只是重点的地方用文字进行说明。比全用文字描述简洁一些。
	http://s6/mw690/622a67eagd7a686d7b115&690	生：她也是用图文结合的方式，只不过文字更加简洁了。
	http://s13/mw690/622a67eag7bf70c5afa4c&690	生1：他完全借助示意图的形式来整理的，不仅直观形象，而且简洁。 生2：不过，过于简洁也可能会让人看不懂。我觉得配上简单的文字更合适。

（2）你比较喜欢谁的整理方法？为什么？

生各自发表自己的想法。

师小结：这些整理的方法各有特色，整理中大家可以根据知识的特点灵活的选择合理的方法

（3）从交流中可见，大家都将重点放在了哪里？

生：公式及推导

[反思]合作交流与评价的过程是相互学习、相互促进、相互提高的过程，既能使学生获得成功的体验，又能使大家相互借鉴，取长补短。本环节教师充分发挥学生的主体性，通过课前学生自主整理，课内小组合作交流与全班交流两次重组，让学生在整理方法的交流、评析和老师的适时点评中，通过思维碰撞，感知不同整理方法的特点，进一步提高认知水平，渗透学法指导，实现了个人的可持续发展。

 [片段二]梳理知识、沟通联系、构建网络，渗透数学思想方法的指导。

1、知识梳理，引导学生合理联想。

在回顾与梳理平面图形的周长和面积公式及推导时，学生回忆所学过的平面图形的周长和面积公式及公式的推导过程，同时辅助多媒体进行动态演示。

u      回顾并演示圆周长公式的推导过程后：

师：①由π你联想到了什么？

生1：我国古代数学家祖冲之最早将π准确计算到小数点后第7位。

生2：π是一个无限不循环小数，它的值在3.1415926——3.1415927之间，计算时为了方便，通常保留两位小数取近似值3.14.

②由圆的周长公式你还联想到了哪些图形的周长？你有什么要提醒大家的？

生：我联想到了半圆的周长，我想提醒大家计算半圆的周长是用圆周长的一半加一条直径，不要忘了加一条直径。

③其它几个图形没有周长公式，你会计算它们的周长吗？

生1：三角形的周长就是它三条边的总长，梯形与平行四边形的周长就是它们四条边的总长。

④由此，你想提醒大家在计算平面图形的周长时要注意什么？

生1：计算一个图形的周长就是求围成这个图形的所有边长的总和。

生2：特别是计算组合图形的周长时一定要根据周长的意义，描一描，弄清这个图形是由哪几条边围成的。

u      回顾并演示圆的面积公式的推导过程后：

师：①由圆的面积公式你联想到了与之相关的什么图形的面积？

生1：我联想到了半圆的面积，半圆的面积是这个圆面积的一半。

生2：我还联想到了环形的面积，环形的面积就是大圆的面积-小圆的面积，我也想提醒大家小圆直径+2个环宽=大圆直径，有的同学只加一个环宽。

[反思]通过引导学生联想，抓住知识间的联系，把平面图形的周长和面积这条主线延伸、拓展出的相关知识也进行了回顾和查漏补缺，促进学生思维向纵深发展，同时使学生明确借助联想将相关知识点和易错点串成线也是一种较好的整理策略。

2、沟通联系，渗透数学思想方法的指导。

u      在学生回顾，并多媒体动态演示圆周长的两种测量方法后：

师：不管是放在尺上滚动测量，还是用绳子围一周后测量，这两种方法有什么共同之处？

生1：把曲线转化为直线。

生2：化曲为直。（板书：化曲为直）

u      学生回顾并多媒体动态演示六个平面图形的面积公式及推导过程后：

师:(1)你在这些面积公式的运用中，最容易出现哪些问题？如何避免？

生1：计算三角形和梯形面积时，老是忘记÷2

生2：我也是，但我想只要我们记住三角形和梯形面积公式的都是采用双拼的方法把它转化为与它等底等高的平行四边形推导出来的，那么，其中的一个的面积就占这个平行四边形的一半，这样就不容易忘了。（板书：双拼）

（2）你还发现了哪些图形的面积公式间也有着这样密切的联系？

生1：圆和平行四边形面积公式都是用割补的方法转化成长方形来推导的。

生2：正方形面积是通过它与长方形间的关系推导的。

（3）它们的推导过程有什么相同之处？

生：都是把新图形转化成我们已经学过的图形，根据图形之间的联系推导的。

                      转化

（板书：新图形————已学图形）

师小结：转化的数学方法在我们探究新知的过程中起着桥梁和纽带作用。

（4）谁能说说，转化中借助了哪些方法？

生1:双拼、割补

生2：化曲为直

[反思]在本环节中，我引导学生围绕“你还发现了哪些图形的面积公式推导间也有着这样密切的联系？” 将学生的思维逐步引向深入，经过师生多向交流，理清知识间的横纵向联系，为建立网络图提供了依据，并对数学思想方法进行了提炼与指导。

3、构建知识网络，渗透优化思想的指导

师：（1）既然这些图形之间的关系这样紧密，从你的整理中能清晰地看出它们的这些联系吗？

     如何整理才能沟通这6种面积公式间的联系呢？

（2）我们一起来欣赏最后一幅整理作品，想一想：这样整理有什么好处？

http://s3/mw690/622a67eagd7a6753cf062&690

生各自发表自己的看法。

师小结：这种网状示意图的整理方式，能把零乱的知识穿成串，形成知识链，沟通知识间的联系，构建知识网络。可见，在整理的过程中，我们可根据知识的特点灵活选择合理的整理方式。

[反思]在本环节中，教师引导学生实现对旧知的重组和构建知识网络，使数学知识条理化，系统化，并对整理方法的合理性、灵活性加以指导。

 [片段三]课堂小结，指导完善整理，夯实过程指导。

  师：（1）通过今天的整理与复习，你有哪些收获？

         生1:我知道了一些常用的整理方法，例如：文字、图文结合、示意图、网状图、表格、还有前面学过的枝形图、集合圈等等。

生2：我还了解了这些整理方法各有各的好处，我们在选择时可根据知识的特点灵活的选择合理的方法来整理。

生3：我觉得转化是一种很好的方法，再碰到新的知识时我可以把它想办法转化成已学过的就好办啦！

          ………

（2）你觉得你的课前整理有什么需要补充完善的吗？

生1:我的整理形式比较单一，主要用的文字，太麻烦，可以根据各部分知识的特点使整理的形式多样化一些。

生2:我对重点部分“公式的推导过程”没有整理，课后要补上。

生3：我的整理中没有体现出六个图形公式推导间的紧密联系，课后我会把我们刚才建立的那个知识网络图补充上去。

生4：我觉得这节课我们还学到了很多数学学习的方法，课后我会补充上去。

………

（3）还有什么需要提醒大家的吗？

[反思]通过让学生谈收获和反思自己的课前整理，夯实过程指导，培养学生的自我总结和评价的能力，让学生在自我反思中不断成长与进步。