“运算律”是在运算过程中被事实所证明的四则运算变化发展的基本规律。在小学阶段，学生需要学习加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律这五个基本规律。而这五个看似简单的运算律，却让教师头疼异常。尤其是在学习了乘法分配律之后，学生更是错误百出。

分析学生的错题，我们不难发现，学生应用运算律感到困难，主要是因为两个方面的问题：一是对于运算律的结构特征认识模糊，二是对于运算律的数据特征缺乏关注。那么，在教学中如何就这两个方面安排教学环节呢？笔者经过一段时间的思考，作了如下设计。

教学尝试

（一）情境铺垫，发现规律的结构特征

1. 出示情境。

在一个长方形花圃里栽了郁金香和菊花（如下图）：

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/wicdstdpeSdVfYoJ9yicCy3uk9hFEzFyMqSIkP3zsh4yPriay6TL2MZYuA4KLVIvzfUrNxVGhU8GMgn6upcUib9KfA/0

（1）这个花圃一共占地多少平方米？

要求学生列出综合算式不计算。估计学生有两种方法：45×15＋26×15或（45＋26）×15

组织交流，分别说说两种方法的解题思路是什么。

（2）如果在这个长方形花圃外围围上栅栏，栅栏至少需要多少米？（动态演示，标出长方形的长71米，宽15米）思考：求这个问题就是让我们求什么？（周长）

得出：可以用（71＋15）×2或71×2＋15×2这两个算式解决。

同样分别让学生说说两种解法的思路。

（3）引导比较。

师：这两个实际问题都可以用两种方法来解决，仔细观察，这两种方法分别有什么共同点？

得出：一种方法是“先求和，再相乘”，另一种是“先分别乘，再求和”。指出：“先求和，再相乘”与“先分别乘，再求和”分别是这两种算式的结构。

2. 引导联想。

（1）师：像这样用两种结构的算式解决的实际问题有很多。你能举举例子吗？

（2）出示例题：

例1：军军和冬冬同时从家里出发到学校，军军每分钟走70米，冬冬每分钟走60米，10分钟后两人同时到校，他们两家相距多远？(图略)

例2：胜利小学为学校鼓号队16位同学购买服装，上衣每件58元，裤子每条32元。学校为鼓号队购买服装一共要多少钱？（图略）

要求学生分别列式，然后说说自己所列的算式属于哪一种结构。

组织交流。

3. 引导观察。

（1）解决相等关系。

用方框分别表示出两种算式的结构。如：（□＋□）×□ □×□＋□×□

讨论：在这里，具有这两种结构的算式具有怎样的大小关系？（相等）

教师用“=”连接。

（2）设问：是不是只要具备这样结构的两个算式一定相等呢？

（3）得出：仅仅具有这样的结构特征还不能说明两个算式相等，必须要关注数据是否也符合一定的特征。

（二）深入探究，发现规律的数据特征

1. 研究数据中存在的规律。

（1）提问：数据应该具备怎样的特征呢？提示：等号左边是三个数，等号右边却变成四个数了，怎么变的？

（2）提问：是不是只要具备这样的结构特征，又具备这样的数据特征，两个算式就一定相等呢？学生举例。

（3）讨论、交流。得出：如果具备这样的结构特征，同时还具有这样的数据特征，那么这两个算式一定相等。

2. 研究规律的合理性。

提问：这样的现象是巧合，还是客观存在的事实？你能用学到的知识去解释这样的现象吗？

引导学生用乘法意义去解释这个现象的科学性。

3. 抽象概括乘法分配律。

师：看来，这是一个普遍存在的规律，你能用一个式子表示出这一规律吗？

让学生表示，并说说所表示的是否具有结构特征，同时也具备数据特征。

师：请你们用自己的话说说对“乘法对加法的分配律”的理解。

（三）巩固应用，拓展规律

1. 根据乘法对加法的分配律，请你说说和下列算式相等的算式。

（42＋35）×2

72×（30＋6）

27×12＋43×12

15×26＋15×14

18×52＋48×18

2. 教材“想想做做”第2题。

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/wicdstdpeSdVfYoJ9yicCy3uk9hFEzFyMqxqnG7TCQMBkF6QywyNvak9ZxvtW8Glh3rFrIgpGAkWqo9DI6ka6cyQ/0

3. 看一看，比一比，每组算式中哪一题的计算比较简便？

（1）64×8＋36×8

（64＋36）×8

（2）（25＋250）×4

25×4＋250×4

（3）99×76＋76

（99＋1）×76

追问：为什么这样选？从这道题中，我们可以得到什么启发？

4. 种郁金香的面积比菊花大多少平方米？你可以列怎样的算式计算？由此可以想到什么？

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得出：乘法对加法的分配律可以推广到乘法对减法的分配律。

分析思考

实践表明，这样的教学设计，使学生对乘法分配律的认识清晰而深刻，他们在后续的具体应用时，也能驾轻就熟、应用自如。这一成功案例引起笔者对运算律教学的诸多思考。

思考一：探索运算律该从哪里入手？

笔者曾多次观察不同的教师执教“运算律”，发现课堂上有一个共同点，那就是教师和学生的目光都聚焦在数据上，教师从数据入手教学，学生从数据特征发现规律。如加法交换律，学生首先发现的是数据没变，只是位置交换了一下；加法结合律，则是数据不变，而括号的位置发生了变化。对数据的片面关注使得学生在一开始接触运算律的时候就缺乏研究算式结构的意识。结构意识的淡薄，在结构单一的交换律、结合律的学习中，不会暴露由此引起的认识的局限，但是在学习结构复杂的乘法分配律时，因为对算式结构缺乏关注，学生对于什么情况下应用乘法分配律，什么情况应用乘法结合律就很迷茫了。

虽说数据特征之于运算律非常重要，但结构特征更是不容忽视。结构犹如房屋框架，框架没有搭建，则房屋难以成形。对结构认识模糊，规律的认识不可能清晰，运算律的模型就无法构建。从注意力的角度看，结构相比数据，较为隐蔽，不容易引起学生的重视。因此，就需要教师有意识地引导，并以此入手，引起学生足够的关注。笔者在设计时，就从结构入手，通过学生列式解决情境问题，引导学生发现每一个问题都有两种解题思路，这两种思路的算式表达都是先求和再相乘，或是先分别乘再相加。在此基础上，引出算式结构的知识，将学生的视线引向对算式结构的观察。继而，教师再要求学生联系平时所学，举例用相同结构算式解决的实际问题，帮助学生进一步巩固对两种结构的认识。

从结构入手，强化了学生的结构意识，使他们对乘法分配律的结构印象深刻。在清晰结构的基础上，再设问，是不是只要符合这样的结构特征，算式就一定相等呢？巧妙地引出对数据特征研究的话题。这样的设计符合学生的认知规律，也利于学生对于乘法分配律的理解和掌握。同时笔者也深深体会到，用“乘法对加法的分配律”描述，更能让算式结构深入学生的头脑。

因此，笔者认为，结构入手应该成为运算律教学的一种思路，无论是首次接触的加法交换律、加法结合律，还是乘法交换律、乘法结合律，尽管结构单一，但还是有必要让学生先在结构上观察，再从数据上研究。在五个运算律学完之后，还有必要安排一节课，对五个运算律的结构进行一次整体的梳理和辨别，帮助学生进一步厘清认知。

思考二：研究运算律的过程缺少什么？

在运算律的教学中，教师采用的都是不完全归纳的方法，即通过多个算式发现存在的共同规律，继而用字母抽象表示出各个运算律的表达式。用这样的方式教学本无可厚非，然而笔者总觉得缺少了一步，那就是给找到的规律寻找可以解释的依据。

加法交换律中，两个加数位置发生变化和不变这一规律，可以用加法的意义去揭示，因为位置变化，但算式表示的依然是把两个数合起来；而乘法交换律中，乘数位置交换积不变，其理由也可以从乘法意义的表达方式去解释，如求5个20相加的和是多少，用算式表示可以是5×20，也可以是20×5。加法结合律和乘法结合律同样可以从意义的角度去理解为何变化运算顺序后结果相等。而乘法分配律，先求和再相乘与分别乘再相加的结果相等，也可以用乘法的意义去解释。基于这样的思考，笔者在学生初步探索规律后，设计了一个问题：这样的现象是巧合，还是客观存在的事实？你能用学到的知识去解释这样的现象吗？当学生联系乘法的意义思考后，明确这一规律并非是几个算式的一种偶然现象，而是客观现实中的必然规律。

从表面上看，这一环节似乎不影响学生对规律的掌握。但笔者认为，这绝非是可有可无的教学设计。给规律科学合理的解释，这是研究所应持的严谨态度，也是让学生感受有理有据思考问题的契机。在教学中，结合相关内容体会数学的思维方式和严谨求实的科学态度，这是数学教学的重要目标之一，也是提高学生数学素养的良好途径。同时，这一环节，也是帮助学生理解规律的重要举措，是对不完全归纳法的一种补充。

思考三：巩固运算律的环节需关注什么？

规律总结并抽象出表达式之后，就要进入巩固环节。这一环节，需要设计对规律认识和理解的巩固练习，如上述教学设计中巩固环节的第1题和第2题。这样的练习设计需灵活，要着眼于对结构和数据两大特征的理解。还需要关注运算律的价值体现。学习运算律是为了什么？虽说运算律的应用在后续的学习中还有专门的课时安排，然而在学习运算律的课上需要恰当体现。当然，这一练习设计需点到为止，并非是让应用提前。如巩固环节中的第3题，笔者用“看一看，比一比，每组算式中哪一题的计算比较简便”的练习形式，就是让学生通过观察，在比较中体会结果相等的两个算式，其计算的过程有简便和复杂之分。而应用运算律能够变化原式，使计算简便。这样的设计，能够很好地为运算律的具体应用作铺垫，更是让学生体会到了运算律学习的重要意义。

除此之外，笔者认为还需要关注运算律的拓展。如教学加法交换律和结合律后，让学生思考：这样的运算定律可能在哪一种运算中也存在？再如巩固环节中的第4题。

这些问题的设计，给学生的自主探究提供了机会，让他们联系已知、应用相应的方法去探索。从中，能够培养学生由此及彼的推理能力，让他们感受到知识的发生和发展规律。因此，拓展并非仅仅是为后续学习作铺垫，它更是一种教学的眼光，一种让学生从这里想到那里的眼光。

运算律的知识是密切相关的，在教学中我们要能整体设计，在探索规律、形成规律、应用规律方面有一脉相承的整体把握，这样不仅能使教学有深度，更能从中让学生体会到，知识原来就是这样相互联系的。

 

 

摘自《小学数学教师》2014年第3期“案例与反思”