近五年高考全国卷中的向量问题及2020年的预测

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15年新课标全国一卷考的是个选择题,给出向量的线性关系(一个向量是另一个向量的3倍),让学生用基底表示要求向量。考查平面向量的线性运算及基本定理,还有向量减法的几何意义;
16年是一个填空题,给出两个已知向量以及两个向量(其中一个含参量)和的模的平方与模的平方和,要学生求参量的值,本题为数学运算素养的考查,可把给的式子平方,得到两个向量数量积为零,运用数量积的坐标公式不难建立方程,求得答案;
17年是一个填空题,给出两个向量的夹角,及各个向量的模,要学生求两个向量线性运算的模,考查数学运算素养,结合公式平方之后易得结论;
18年是一个选择题,给出中线及其中点,要学生用基底表示所求向量,考查平面向量的线性运算,活用中线公式及减法的几何意义会比较快捷;
19年是一个选择题,给出两个向量间模的关系及两个向量的差与另一个向量垂直,要学生求两个向量的夹角,考查向量垂直的条件及数量积公式的活用,不难求得向量夹角的余弦值,结合夹角范围进而求得夹角。
全国二卷
15年新课标全国二卷是一个填空题,给出两个不共线向量,已知它们的线性运算(含参量)对应的向量平行,要学生求参量的值,考查共线向量定理的应用及平面向量基本定理中的唯一性;
16年是一个选择题,给出两个向量的坐标(其中一个含参量)和两个向量的和与其中一个向量垂直,要学生求参量的值,与15年二卷比起来把平行改成了垂直;
17年是一个选择题,以三角形为背景,P为一个三角形所在平面内一点,要求以P点为起点,其中一个顶点为终点的向量与另两个顶点为终点的向量的和的数量积的最小值,可由几何法结合余弦定理、均值不等式求解,也可运用坐标法求解,坐标法相对简单,但必须事先建立合适的坐标系,还可以运用三角形的中线公式再结合数量积的定义,只需余弦值取-1(最小)模之积取最大即可;
18年是一个选择题,给出两个向量的数量积及其中一个向量的模,要学生求一个向量与这两个向量的线性运算的数量积的值,考查运算律;
19年是一个选择题,给出两个已知的用有向线段(两个端点字母)表示的向量(其中一个含参量),以及这两个向量的差对应的向量的模,要学生求其中一个向量与两个向量差的数量积。
全国三卷
15年新课标全国卷没有三卷;
16年是一个选择题,以三解形为背景,给出用有向线段表示的两个已知向量,要学生求三解形的一个内角(事实上已知两个向量的夹角),考查夹角定义及数量积公式的活用;
17年是一个选择题,给出一个矩形ABCD及两个邻边长(AB为1和AD为2),动点P在以矩形一个顶点C为同圆心,且与矩形对角线相切的圆上,若向量AP用向量AB和向量AD线性表示(分别以λ、μ为系数),要学生求两个λ+μ的最大值,考查坐标法的应用切线性质、等面积法应用、线性规划或者三角换元、辅助角公式求最值等;
18年是一个填空题,给出三个已知向量的坐标(其中一个向量坐标中含参量)以及其中一个向量与另两个向量的线性运算结果垂直,要学生求参量的值,考查向量的坐标运算,18年还有一个以抛物线为背景的问题考查,不过此题重在考查圆锥曲线的运算素养;
19年是一个填空题,给出两个互相垂直的单位向量,以及另外一个用两个单位向量线性表示的向量,要学生求其中一个单位向量与向量夹角的余弦值,考查坐标法的应用意识及向量夹角的坐标公式。
综上可以看出,三卷最简单,主要求夹角余弦、求参量值或最值(17年较难);
二卷比三卷稍微稍复杂,平行(与原来类似)、垂直、数量积(坐标形式以及有向线段形式均有出现)的考查,没有再出现17年的难题;
一卷15年用基底表示已知向量(纯向量运算),18年与15年类似,只是比15年稍微增加了难度,16年给模间关系求参量、17年求线性运算的模、19年求夹角比求余弦值稍微增加难度。
不过除了17年属于中等偏上难度外,下面两年都不考那么难了。其它都属于容易或中等靠下的题目,一定要拿准分不能丢。
结合今年的实际情况,及新教材中作为预备知识的集合重点在集合语言的表达、识别与应用上,预测20年不会有大的变化。仍以一元二次不等式为背景进行考查。会否仿18年二卷变成逆向出题,亦或是仿外省卷同时考集合的两种运算。
2020年结合实际情况,难度仍然不会有太大变化。如果重点不在考查向量知识,仅仅是借助于向量考查其它知识,如三角、圆锥曲线等,该部分内容都比较简单,其它部分过关,则能通。本部分还是掌握好线性运算、平面向量的基本定理(用基底表示)、共线向量定理、坐标运算的平行、垂直、求夹角、模等基本公式,向量加减法的几何意义等的活用,做到这些就可避免失分。