加载中…因数与倍数集体备课资料（五年级数学组）
(2013-03-05 14:49:32) | 分类： 五年级数学教学资源 |
学习内容
课本第12～14页例1、例2，你知道吗：完全数，第15页练习二第1～2题。
学习目标
掌握因数、倍数等概念，知道有关概念之间的联系和区别。
课文讲解
数学是“科学的皇后”，而数论则被誉为“数学的皇后”。数论是一个历史悠久的数学分支，它是研究整数的性质的一门学问，以严格、简洁、抽象著称。在数论中，数的整除性理论又是最为基本的理论。对于任意整数a、b，都存在整数n、r，使b＝na＋r（其中r＜a），当r＝0时，我们就说b能被a整除（或a能整除b），此时，b＝na。数论中概念如因数、倍数等，都是以此为基础的。
由于乘除法本身就存在着互逆关系，用乘法算式（如b＝na）同样可以表示整除的含义。本套课本利用一个简单的实物图（2行飞机，每行6架，列出一个乘法算式2×6＝12，同时说明“2和6都是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数。”
接着，通过3×4＝12，进一步巩固因数和倍数的概念。然后，试着找出12的其他因数，引导孩子写出两个数的积等于12的另一个乘法算式1×12＝12，从而得出1和12也是12的因数。
最后，对整数0进行特殊说明。因为数论是研究整数的性质的学问，由于孩子还没有学习负整数，本单元的整数与自然数同义。根据因数和倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的因数。但是考虑到以后研究最大公因数和最小公倍数时，如果不排除0，很多问题无从讨论，如讨论0和5的最大公因数既没有实际意义，也没有数学意义；再如，如果把0考虑在内，任意两个自然数的最小公倍数就是0，这样的研究没有任何价值。因此，在研究因数和倍数时，所说的整数一般不包括0，这样就避免了一些不必要的麻烦。
例1，直接提出问题：“18可以由哪两个数相乘得到？”引导孩子利用因数的概念来求18的因数。在这里，每列出一个乘法算式，就可以求出18的一对因数，只要孩子有序地写出两个数的乘积是18的所有乘法算式，就可以把因数找全。在此基础上，再用集合图表示出一个数的全部因数，初步体会到一个数的因数的个数是有限的，也为后面用交集形式表示两个数的公因数打下基础。
例2，根据一个数的倍数的定义，可知该数和任意非零自然数之积都是该数的倍数。2的倍数也就是2和任意非零自然数的乘积，孩子在列乘法算式时就会发现这样的算式是列不完的，因此，2的倍数的个数是无限的。接下来，也用集合图表示出2的倍数，为后面学习用交集表示两个数的公倍数打下基础。
辅导精要
让孩子用电子表格做一个整数表，从0开始，每行10个，其最大的数可到65539。根据这些整数研究它的性质足够用了。再0～100复制到Sheet2作为数论的研究对象。命名为“数表”保存起来。
告诉孩子，本单元我们要研究整数的性质。一般地，先一个数一个数地研究整数的性质，再一群数一群数地研究整数的性质。历史上，有许多数学家和整数的性质结下了不解之缘。
我们学了加、减、乘、除四则运算，你认为可能运用哪种运算作为研究手段？有的孩子可能想到运用乘法或除法作为研究的手段。还可以告诉孩子，为了简便，本套课本用乘法来研究，其实在中学、大学里是用除法来研究的。
因数和倍数的概念。让孩子看图说图意：2行飞机，每行6架，一共12架。列出乘法算式2×6＝12或6×2＝12，让孩子写出算式的各部分名称：因数、积；说算式的意义：2的6倍是12。
再看另一图：3行飞机，每行4架，一共有12架。列出乘法算式3×4＝12或4×3＝12，让孩子写出算式的各部分名称：因数、积；说算式的意义：3的4倍是12。
引导孩子说：2是12的因数，6是12的因数，即2和6是12的因数；3和4也是12的因数。12是2的倍数，12是6的倍数，即12是2和6的倍数；12是3和4的倍数。
阅读课文第12页，重点读一读：2和6是12的因数；3和4也是12的因数。理解“12的因数”是一个偏正词组，把两个句子合并起来是：2、3、4和6都是12的因数。
读小精灵聪聪的话：“你还能找出12的其它因数吗？”孩子可能写出乘法算式1×12＝12或12×1＝12，所以1和12是12的因数，12是1和12的倍数。
再进行合并句子：1、2、3、4、6、12都是12的因数。再思考：“你还能找出12的其它因数吗？”引导孩子思考：10×1.2＝12能说10和1.2是12的因数吗？让孩子进一步明确数论的研究对象——整数，而1.2是一个小数，超出了研究对象的范围。所以，12的因数只有6个。
引导孩子进行换位推理，即：12的因数[1]有1，2，3，4，6，12。并写在第12页的合适位置。
读一读：12是2的倍数，12是6的倍数；12是3和4的倍数。理解“2的倍数、6的倍数、3的倍数、4的倍数”分别是一个偏正词组。
引导孩子研究12的倍数。12×1＝12，12×2＝24，12×3＝36，12×4＝48，12×5＝60，…。所以12是12的倍数，24是12的倍数，36也是12的倍数，…。并归纳出：12的倍数有12，24，36，48，60，…。
引导孩子研究2、3、4、6的倍数，即2的倍数有2、4、6、8、10、12、…；3的倍数有3、6、9、12、…；4的倍数有4、8、12、…；6的倍数有6、12、18、…。再读课文中有关倍数的句子，理解“12是2的倍数”的主项不周延，即2的倍数有无数个，12是其中的一个。所以一个数的倍数的个数是无限的。
引导孩子研究2、3、4、6的因数，即2的因数有1和2，3的因数有1和3，4的因数有1、2和4，6的因数有1、2、3和6。所以，一个数的因数的个数是有限的。
继续读课文，“注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）。”“因数和倍数、整数（一般不包括0）”下划线，“所说的数”注“因数的数、倍数的数”。再读一读句子，在读中理解句子的意思。
引导孩子归纳总结：①对于一个整数我们可以从它的因数和倍数两个方面进行研究；②研究一个数的因数时，这个数是算式的积；而研究它的倍数时，这个数是算式的因数；③无论是因数，还是积，所有的数都必须是整数；④a、b、c都是整数，如果a×b＝c，那么a、b都是c的因数，c是a和b的倍数。
学习时，应注意以下四点：
（1）虽然本套课本通过一个乘法算式来引出因数和倍数概念，但在本质上仍是以“整除”为基础，只是略去了许多中间描述。因此，只有在这个乘法算式中的因数和积都是整数的情况下才能讨论因数和倍数的概念。如10×1.2＝12，虽然等式成立，但不能说10和1.2是12的因数，或12是10和1.2的倍数。
（2）因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。a是b的因数，反过来b就是a的倍数，因此，描述因数或倍数时必须说清楚谁是谁的因数（或倍数），要引导孩子使用比较规范的语言，如“2是12的因数，12是2的倍数”而不是“2是因数，12是倍数”，孩子如果出现类似的错误要及时加以纠正。
（3）乘法算式各部分名称中的“因数”和数论中的“因数”有联系也有区别。在同一个乘法算式中，两者都是指乘号两边的整数，但前者是相对于“积”而言的，因数与“乘数”同义，可以是小数；而后者是相对于“倍数”而言的，因数与 “约数”同义，说“×是×的因数”时，两者都只能是整数。
（4） “倍数”与 “倍”的联系与区别。“倍”的概念比“倍数”要广，如我们可以说“15是3的5倍”，也可以说“1.5是0.3的5倍”，但我们只能说“15是3的倍数”，却不能说“1.5是0.3的倍数”。
例1，读题，在“18的因数”注“18是算式的积，要求因数”，读女生的话，继续写算式3×6＝18，填写18的因数，并在集合图中表示出来。
最后，结合引导孩子抽象地概括出一个数的最小因数是1，最大因数是它的本身，并总结出一个数的因数的个数是有限的。
例2，读题，在“2的倍数”注“2是算式的因数，要求积”，继续写算式2×4＝8。2×5＝10，…。填写2的倍数，并在集合图中表示出来。
“做一做”。第1题，在数轴上表示3的倍数。第2题，求5的倍数。
最后，总结出：一个数的最小倍数是它的本身，没有最大的倍数；一个数的倍数的个数是无限的。
阅读课文，进一步理解课文内容，给重要的数学结论做上记号。
还可以让孩子利用前文所说的数表，找出10以内各数的因数和倍数，有兴趣的孩子还可以求出更多数的因数和倍数，真正理解：一个整数有几个因数，有几个倍数，就是一个整数的性质。
6＝1＋2＋3；
28＝1＋2＋4＋7＋14；
496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248；
8128＝1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋127＋254＋508＋1016＋2032＋4064；
33550336＝1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512＋1024＋2048＋4096＋8191＋16382＋32764＋65528＋131056＋262112＋524224＋1048448＋2096896＋4193792＋8387584＋16775168。
感受大数的因数，对加深理解所学知识会有很大地帮助。
还可以用其它的数进行反证，如4的因数有1、2、4，1＋2＋4＝7，4不是完全数。
习题解析
第1题，读题，让孩子知道这是在研究15的性质，然后再独立完成。
第2题，让孩子分别找出36和60的因数。在完成题目后，还可以有意识地让孩子观察一下有哪些数是这两个数共同的因数，这些共同因数中最大的是什么，为后面学习“公因数”和“最大公因数”做准备。
拓展与提高
1．让孩子阅读百度百科“完全数”。
2．让孩子阅读百度百科“亲和数”。
3．让孩子分析10进制、12进制、20进制、60进制、360进制中，10、12、20、60、360的因数，并得出这些数的因数个数都比较多。
4．让孩子利用“数表”求出100以内各数的因数。
[1] 12的因数集合＝｛±1，±2，±3，±4，±6，±12｝，通常我们关心的是正因数，而将负因数不予讨论。在小学，只学正因数。
学习内容
课本第17～19页例1、例2、例3，第20页练习三第1～3题。
学习目标
找出每一类数的相同之处，探索并掌握2、5、3的倍数的特征。
课文讲解
孩子的分数运算是否熟练，取决于约分和通分掌握得是否熟练，而约分和通分是否熟练，在很大程度上取决于能不能很快地根据分子、分母的特征看出分子和分母有什么公因数，能不能很快地求出几个分数的分母的公倍数。因此，熟练掌握2、5、3的倍数的特征，具有十分重要的意义。
2的倍数的特征。通过电影院里“单号”和“双号”，让孩子利用因数和倍数的概念，判断出这些“双数”都是2的倍数。然后，观察这些座位号的个位上的数的特点，进而概括出2的倍数的特征。
在总结2的倍数的特征的基础上，学习偶数和奇数的概念。
5的倍数的特征。从实际情境引入，让孩子观察5的倍数的个位上的数的特点，概括出5的倍数的特征。
3的倍数的特征。不能只从个位上的数来判定，必须把其各位上的数相加，看所得的和是否为3的倍数来判定，孩子理解起来有一定的困难，因此把它放在2、5的倍数的特征后面再学习。
课文通过逐步增加提示的方式，让孩子进行自主探索，经历了“观察——猜想——推翻猜想——再观察——再猜想——验证”的过程，概括出3的倍数的特征。
比较三者的学习难度。2、5的倍数的特征仅仅体现在个位上的数，比较明显，容易理解。相比之下，5的倍数的特征比2的倍数的特征少，容易概括一些。3的倍数的特征不明显，难度较大。根据从易到难的原则，编者建议让孩子按照“5、2、3”的顺序进行学习。
辅导精要
想一想：哪些数具有是2的倍数的性质？哪些数具有是3的倍数的性质？哪些数具有是5的倍数的性质？
引导孩子利用第6课时的Excel“数表”进行学习，打开Sheet2的0～100各数。
引导孩子在“数表”中的5设置单元格格式“填充”一种颜色，用“格式刷”对5的倍数的数设置相同的颜色。结果可以发现：有两列的数是5的倍数。再分析每一列数的相同之处：其中一列的个位上的数是5，所以说个位上是5的数，是5的倍数；另一列的个位上的数是0，所以说个位上是0的数，也是5的倍数。把两句话合并成一句话是：个位上是0或5的数，是5的倍数。这就是5的倍数的特征。
引导孩子进行推理：个位上不是0或5的数，不是5的倍数。如24不是5的倍数。
然后，在Sheet1的数表中任意指出一个数判断它是不是5的倍数。再把5的倍数整列数设置为同一颜色，进一步验证数学结论。然后， “撤消”设置。
同理，设置数表中2的倍数为另一种颜色（个位上是0的数颜色被覆盖，这说明它们是2和5公有的倍数）。结果发现：有五列的数是2的倍数。分析每一列数的相同之处，并概括出：个位上是2的数，是2的倍数；个位上是4的数，是2的倍数；个位上是6的数，是2的倍数；个位上是8的数，是2的倍数；个位上是0的数，是2的倍数。再把五句话合并成一句话：个位上是0，2，4，6，8的数，是2的倍数。
进行推理：个位上不是0，2，4，6，8的数，不是2的倍数。如35不是2的倍数。
然后，在Sheet1的数表中任意指出一个数判断它是不是2的倍数。再把2的倍数整列数设置为同一颜色。
引导孩子得出：是2的倍数的数叫做双数，也叫做偶数（0也是偶数）；不是2的倍数的数叫做单数，也叫做奇数。
在此基础上，可以引导孩子将2的倍数的特征概括为：个位上是偶数的都是2的倍数。
接着，设置数表中3的倍数为第三种颜色。如下图：
1．从趋势上看，3倍数的特征与2、5的特征有很大的不同。
2．引导孩子猜测，斜线相连的各数之间可能有相同的地方。
3．寻求3，12，21，30四个数的共同之处，引导孩子想像用计数器表示分别表示这四个数，都只用3个珠子。再寻求6，15，24，33，51，60，用计数器计数只用6个珠子。进一步计数9，18，27，…，81，90用9个珠子。珠子的个数与各数之间用算式表示是1＋2＝3，2＋2＝3；1＋5＝6，2＋4＝6，…；1＋8＝9，2＋7＝9，…。进一步猜测：各位上的数相加的和是3的倍数。
4．在Sheet1中设置3的倍数，并扩大到三位数；并在首列插入一列，在30，60，90，120，150，180的左边单元格输入“各位上的数的和”3，6，9，12（3），15（6），18（9），…。归纳并概括出：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5．推理，一个数各位上的数的和不是3的倍数，这个数就不是3的倍数。如83，8＋3＝11，11不是3的倍数，所以83不是3的倍数。
6．让孩子用三位数举例，如117，1＋1＋7＝9，9是3的倍数，所以117就是3的倍数。用四位数举例，如5685，5＋6＋8＋5＝24，24是3的倍数，所以5685是3的倍数。还可以举反例，如3697，3＋6＋9＋7＝25，25不是3的倍数，所以3697不是3的倍数。
阅读课文，第17页“双号”与女生的话连线，把有关的结论下划线，“偶数”注“双数”，“奇数”注“单数”。完成“做一做”的练习。
第18页，按要求把5的倍数涂色，把结论下划线。完成“做一做”的练习。
第19页，把同学们的对话编上序号，女生的话和乘法算式编①②，右边男生的疑问和思考编③④，左边男生的加法算式和思考编⑤⑥。再系统地读一读，思考小精灵聪聪的话，读一读3的倍数的特征，并下划线。完成“做一做”的练习。
根据第2题的内容，再观察Sheet2的数表，有的数被2、5两次涂色，它是2和5共有的倍数；有的数被2、3两次涂色，它是2和3共有的倍数；有的数被3、5两次涂色，它是3和5共有的倍数；30，60，90，120，…，被2、3、5三次涂色，它们是2、3和5共有的倍数，其中30是最小的数，90是最大的两位数，120是最小的三位数，990是最大的三位数，1020是最小的四位数，9990是最大的四位数。
习题解析
第1题，让孩子独立给2的倍数涂上绿色，它们是偶数；剩下的数不是2的倍数，它们是奇数。
第2题，寻找生活中的奇数和偶数，要鼓励孩子尽量多地发现身边的数学信息，如住几号楼，公共汽车是几路的，全村有几户人家，全班有多少人，等等。有了这些数据后，还可以在后面的练习中进一步判断它们是不是2、5、3的倍数。
第3题，家长任意说一个整数，让孩子判断它是不是5的倍数，并说一说是怎样判断的。也可以孩子说数家长判断。
第4题，读题，“3的倍数”下划线，并独立完成练习，然后再用语言表达，如42是3的倍数，49不是3的倍数。
学习内容
课本第23～24页例1，你知道吗：分解质因数，第25页练习四第1～2题。
学习目标
掌握质数、合数等概念，知道有关概念之间的联系和区别。
课文讲解
在数论中，有关质数和合数的理论一直吸引着数学家们不断探索。比如我们已经知道质数的个数是无限的，但人们仍在不断地寻找更大的质数，2003年确定第40个梅森素数是M20996011（即220996011－1），目前已发现了47个梅森素数。再比如，1742年，德国数学家哥德巴赫提出了著名的“哥德巴赫猜想”：任何大于2的偶数，都可以写成两个质数之和，这一数学王冠上的明珠至今仍吸引着无数人孜孜以求。因此，在质数和合数的世界里充满了神奇的数学魅力。
在小学阶段，初步掌握质数、合数的概念，为后面学习求最大公因数、最小公倍数以及约分、通分打下基础。
例1，可以学会找质数的一般方法“筛法”，即划掉每个质数的所有倍数（它本身除外），剩下的都是质数。让孩子自己找出100以内的所有质数。这些质数不必要求孩子都背熟，但要熟悉20以内的质数。
“你知道吗？”分解质因数虽然不作为正式教学内容，但作为一种重要的方法技能，供孩子阅读参考。
辅导精要
家长告诉孩子课文第二节用倍数来研究整数的性质，第三节则要用因数来研究整数的性质。
让孩子在“数表”的Sheet3的A1单元格输入“整数”， A2，A3输入1，2，向下自动填充至100以上；B1单元格输入“因数”，B2，B3，…分别输入A列各数的因数，并根据下文的内容逐步制作出如下表：
填到10时，让孩子思考：能看出它们的因数的个数的规律吗？有的孩子可能发现：有的因数只有2个，并给这样的整数和它的因数“填充”一种颜色。
让孩子进一步验证自己的发现，分析11～20各数的因数的个数。归纳：2，3，5，7，11，13，17，19各数的因数只有2个，其中一个因数是1，另一个因数是它的本身。数学上，把这些有特殊规律的数叫做质数（或素数）。
引导孩子用自然语言进行描述：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
想一想：在自然数里，除了质数外，剩下的数的因数的个数有共同的规律吗？有的孩子可能说：1只有一个因数，也别的数不一样。并给1和它的因数“填充”另一种颜色。
再想一想：在自然数里，除了1和质数外，剩下的数的因数的个数有什么规律？引导孩子观察未填充颜色的数，发现：这些数的因数的个数大于2。让孩子用算式表示各数的因数，如4＝1×4＝2×2，6＝1×6＝2×3，12＝1×12＝2×6＝3×4。数学上，把这些数叫做合数。
引导孩子根据质数的概念，进行概括：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
再观察数表，除了质数和合数，还剩下1。1不是质数，也不是合数。理解质数和合数的逻辑关系，即全异关系。
“做一做”。
让孩子运用2、3、5的倍数的特征和合数的概念，判断合数，如22＝2×11，35＝5×7，87、93、96都是3的倍数，这些数都是合数；17、29、37都是质数。过渡到例1。
例1，读题理解题意，并把前文所说的“数表”Sheet3“移动或复制工作表”建立副本，在Sheet3(2)工作表把2的倍数删除，但2除外，并理解被删除的数都是合数；把5的倍数删除，但5除外；把3的倍数删除，但3除外；把7的倍数删除，但7除外。剩下25个数都质数，如下表：
表格里有许多空格，像筛子一样，这种找质数的方法叫做“埃拉托色尼筛选法”。
阅读课文，完成第23页的填表，把概念的内容下划线，理解“1和它本身、两个因数”的意思，注“＝2”；“除了1和它本身还有别的因数”注“＞2”。第24页，“划掉的这些数都不是质数”注“是合数”。你知道吗？老师说的话与同学写的算式连线，在小精灵聪聪的方法注“短除法”。
“你知道吗？”阅读资料，让孩子理解分解质因数的概念及其方法，并用几个合数进行分解质因数。
习题解析
第1题，让孩子对一些概念进一步加以区别。判断时，要引导孩子说明理由或举出反例。
第(1)题，主项：所有的奇数，谓项：质数。利用“数表”找出反例，1不是质数也不是合数，9、15是合数而不是质数。
第(2)题，主项：所有的偶数，谓项：合数。利用“质数表”找出反例，2是质数而不是合数。
第(3)题，让孩子进一步记住1既不是质数，也不是合数。
第(4)题，因为偶数2是质数，它和其他质数的和都是奇数，因此，题中的说法不正确。
第2题，可让孩子根据“质数表”进行判断，也可运用概念找出别的因数判断合数或质数。
拓展与提高
1．推荐课外读物：[日本]堀場芳数著，丁树深译，《素数的奥秘——从素数发现到电脑计算》，科学出版社，2000。
2．让孩子把“数表”Sheet1建立副本，用“埃拉托色尼筛选法”筛选出1000以内的质数。
3．让孩子找出孪生质数。差为2的一组质数称为孪生素数，如(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)。
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