【引言】：让人困惑的物理描述不应是对物理本质的描述，如量子力学的波粒二象性问题，二种在自然界根本就不可兼容的东西非要柔和到一起，那就肯定会让人匪夷所思；对此困惑的释解，解铃还须系铃人，这就须从波粒二象性得出的历史资料上去查找让人产生困惑的根源。任何波的产生都来自于波源的振动，波动只是传播波源振动的一种形态，因此，研究波问题就绕不开波源振动，大自然中最简单的波源振动是简谐振动。回顾波史，从简谐振动到简谐波动，从LC振荡到偶极振子，从电子谐振子到电子轨道跃迁，这每一步变迁无不体现了一维谐振子及其演变的身影，本系列小文正是想从一维谐振子入手，去揭开现代物理学“波粒二象性”迷雾之旅。

一维谐振动与旋转矢量圆

司 今

（jiewaimuyu@126.com）

1.1、一维谐振动

简谐振动是大自然中众多振动中最简洁的形式，也是研究波运动的基础，这种振动最简单的例子就是弹簧振子的振动，如图-1所示：

一个长度为L的弹簧振子，当我们用力将它拉成L+A长度时，然后释放振子，它就会做往复不停地作简谐振动；在弹簧振子振动一个周期过程中，其最大振幅为A，它分布在1和2处，振子最大的平动速度为v(max)，它处在弹簧振子的平衡位置O处，弹簧振子的弹性系数是k=mω²，它是弹簧振子在振动中的固有属性，这个谐振运动的方程是a=-ω²x，其微分形式是d²x/dt²＋ω²x=0，这个方程的解是 x=Acos(ωt+φ).

由弹簧振子角频率ω=(k/m)½可得弹簧振子的振动频率γ=ω/2π，振动周期T=2πω，由此可见，弹簧振子的振动频率与周期都是由k、m来决定，是振子系统固有的物理属性。

谐振子周期振动中的最大动能为

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最大势能为

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谐振子振动过程遵循动势能转化与守恒，即

也就是说，谐振系统所具有的总能量既可以用Ek来描述，也可以用Ep来描述，二者是对一个问题的二种描述方式，而且这个系统在弹性范围内，振幅A是可以连续变化的，也就是说谐振系统中的最大势能或最大动能在弹性限度内的变化值是连续的，这与后来电磁学中偶极振子振动产生的电磁波辐射相通，但与普朗克引用的一维电谐振子振动辐射光能量子的过程则不同。

1.2、一维谐振动的旋转矢量描述

为了便于简谐振动研究，我们也可以采用旋转矢量圆来描述，即一维矢量在复平面上旋转；如图-2所示，自Ox轴的原点O作一矢量A，使它的模等于谐振动的振幅A，并使矢量A在图面内绕O点逆时针方向旋转，其角速度的大小与谐振动的角频率ω相等，这个A矢量就叫做旋转矢量。

在t=0时刻，矢量A的矢端在M0位置，它与ox轴的夹角为φ；在任意时刻t，矢量A的矢端在M位置。在这过程中，矢量A沿逆时针方向转了角度ωt，它与ox轴间的夹角为ωt+φ.由此可见，这时矢量A的矢端在ox轴上的投影为x=Acos(ωt+φ)，当然，矢量A在oy轴上的投影是y=Asin(ωt+φ)，与谐振运动方程微分形式的解x=Acos(ωt+φ)比较，矢量A的矢端M恰是沿x轴作作谐振动物体在t时刻相对原点o的位移。因此，旋转矢量A的矢端M在ox轴上的投影点P的运动，可表示物体在ox轴上的谐振动。旋转矢量A以确定的角速度ω旋转一周，相当于谐振动物体在x轴上作一次完全振动。因此，旋转矢量A旋转一周所需要的时间与谐振动的周期相等。在t=0时刻，A与ox轴的夹角φ对应于谐振动的初相，在t时刻，A与ox轴的夹角ωt+φ则跟谐振动的相位相对应。

旋转矢量圆是研究谐振动的一种比较直观的方法，可以避免一些繁琐的计算，在分析谐振动及其合成时常常用到，但必须指出，旋转矢量本身并不做谐振动，而是旋转矢量端点的投影点在做谐振动；因此，一维矢量旋转也常被放在复平面上用复数来描述，如图-3所示，y=Acos(ωt+φ)+iAsin(ωt+φ)，其实部为实数简谐振动，也是真实的简谐振动，虚部为辅助量，不是真实的简谐振动，但它与真实的简谐振动相位差为π/2，写成欧拉三角函数形式就是

引入矢量圆以后，我们对谐振动能量的描述可以放到圆运动上，即可用

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来描述谐振子能量，其中v是谐振子振幅矢量A端点的圆周运动速度，这个速度就是谐振子振动的最大速度v(max)，γ是A端点转动的角频率，如此可以得出

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认识到这一点很重要，因为它直接缔造了量子力学中“波粒二象性”的出现！

谐振动也可用余弦曲线来描述，图-4、5就是弹簧振子、旋转矢量、余弦曲线描述的对应关系。