薛定谔方程和狄拉克方程之间是什么关系？

51赞

踩

在量子力学的发展史上，当人们试图写出电子运动所需满足的波动方程的时候，狭义相对论已经提出来了，因此符合相对论协变性，或与狭义相对论不冲突，是写出正确的电子方程的必要条件。

 

但这些努力都不成功。比较典型的是“克莱因-戈登方程”：

http://p9.pstatp.com/large/b7650007c188eed79000

 

这个方程其实就是把相对论的“能量-动量公式”

 

http://p3.pstatp.com/large/b76900057c4d134bd600

里的E和p分别用能量算符和动量算符替代得到的。但如果把这个方程看做是电子运动需满足的波动方程，则会碰到如下两个困难：（1）负几率问题；（2）负能量问题。不过后来这个方程在量子场论兴起后，获得了新的意义，被认为是描述标量场（一个分量）的方程。

 

在量子力学中取得成功的第一个波动方程反而是一个完全不考虑相对论效应的方程——（单分量）薛定谔方程，它算出了氢原子的玻尔能级。

http://p9.pstatp.com/large/b76b0002dc2e43188485

 

但用薛定谔方程来研究原子物理的问题的时候，还是会觉得不完美，比如相对论效应如何考虑，比如自旋如何理解等。

 

原子物理的问题显然与电磁学相关，其核心问题是电子在原子核产生的电磁场中运动，而狭义相对论也是电磁理论发展的自然结果（电磁学是否满足伽利略协变性），这提示我们原子物理，与电磁学，及狭义相对论有很紧密的联系。

 

根据电磁学，我们除了可以用电场（E），磁场（B）来描述物理问题外，我们还可以引入A（磁矢势），φ（电标势）来描述，为了符合相对论协变性，我们把它们统一写为Aμ=(A0, A1, A2, A3)。

 

在这种记号下电子在原子核中的势能V就是eA0，并且我们需要在做正则量子化的时候，把电磁场的动量也考虑进去。这样电子在原子中的哈密顿量就可以写为：

http://p99.pstatp.com/large/b7650007c190c7f196d3

 

对应波动方程是：

http://p9.pstatp.com/large/b7660007c92eec807f1e

 

这个波动方程是考虑了电磁场之后电子满足的薛定谔方程。假设Aμ=0，就是非相对论的自由电子满足的波动方程。

 

在非相对论量子力学中，我们是通过实验直接引入自旋概念的，并认为自旋角动量与磁矩之间的关系是：

http://p3.pstatp.com/large/b7660007c93161159543

 

这里gs是自旋的朗德因子，与电子作轨道运动导致的朗德因子gl=1不同，这里gs=2。

 

自旋在磁场B中的能量是塞曼能，对应

http://p99.pstatp.com/large/b778000ac818ac43b0c2

 

这里形式上e取正，并引入泡利矩阵σ来描述自旋S，

http://p99.pstatp.com/large/b777000af89852df71d8

考虑了自旋后，自由电子在非相对论情形下的哈密度算符是，

 

http://p3.pstatp.com/large/b7680007c8c7182e224d

考虑电磁场后，

 

http://p9.pstatp.com/large/b7650007c19b90b571ed

在这个计算中考虑到A与动量算符p不对易，化简可得：

 

http://p1.pstatp.com/large/b7680007c8c9cf9547a2

这里利用了电磁学里磁场与磁矢势A之间的关系：

http://p1.pstatp.com/large/b778000ac81ae56fb93e

 

以上，我们由更基础的物理原理出发推出电子的朗德因子gs是2。

 

利用泡利矩阵，我们把相对论性能量-动量关系改写为能描述自旋1/2的矩阵形式：

 

http://p9.pstatp.com/large/b76900057c6355539110

进一步改写成算符的形式：

http://p1.pstatp.com/large/b776000af9fed2474405

 

这里x0=ct，φ表示两分量的波函数。

 

假设：

 

http://p3.pstatp.com/large/b7650007c1a1e96d3d36

这意味着：

 

http://p99.pstatp.com/large/b76900057c6b5454a202

以上两式分别相加，相减：

http://p3.pstatp.com/large/b776000af9ff2635aca0

 

在此基础上定义一个新的四分量波函数ψ，

 

http://p3.pstatp.com/large/b7650007c1a5e2957269

满足，

 

http://p3.pstatp.com/large/b7680007c8cdbd76965a

这就是自由电子的狄拉克方程，引入γ矩阵：

 

http://p1.pstatp.com/large/b76b0002dc50b150b93a

改写成常见的形式：

http://p3.pstatp.com/large/b76b0002dc52e5d11d54

 

考虑不含时的量子力学问题，得到定态狄拉克方程：

 

http://p99.pstatp.com/large/b76b0002dc58701e076d

这里α和β是两个4乘4的矩阵，

 

http://p1.pstatp.com/large/b76a0004633e51a867ba

考虑电子在电磁场中运动，

 

http://p3.pstatp.com/large/b7680007c8d76fb4f1b0

这里eA0相当于前式中的V（电子在电场中的静电势能），上式的特点是两分量波函数ψA和ψB是混合在一起的，单独某一个无法归一化。

 

我们可以在形式上把ψB消掉，

 

http://p9.pstatp.com/large/b7650007c1ace1a498af

我们现在的任务是在非相对论极限下，把狄拉克方程化简，比如在非相对论情形下，我们说的能量其实是相对论的能量减去电子的静能量，并且等于动能加势能。

 

http://p3.pstatp.com/large/b777000af89927a92d2f

这意味着：

http://p3.pstatp.com/large/b7680007c8d8a74fc6e3

 

忽略(v/c)平方项，得到：

http://p9.pstatp.com/large/b7660007c945de348209

 

上式整理简化后是：

http://p99.pstatp.com/large/b778000ac81b8965d9a7

 

这里就只剩下一个二分量的波函数ψA了，同时上式就是考虑电磁场后的定态薛定谔方程。

 

即使是在非相对论极限下（A=0，E=mc^2），仍然有一部分ψA变成了ψB，

http://p99.pstatp.com/large/b7680007c8d901c6776e

 

归一条件：

 

http://p3.pstatp.com/large/b76a00046343ce6c3d10

引入新的两分量波函数Ψ，

 

http://p3.pstatp.com/large/b76a00046344537bb209

使得：

 

http://p9.pstatp.com/large/b778000ac81c86e2105c

考虑磁矢势A=0，但电标势A0不为0，ψA满足的方程是：

http://p3.pstatp.com/large/b776000afa00514b33d9

 

在上式中我们考虑了相对论(v/c)^2项的修正，但ψA的问题是其有一部分会变为ψB，为了避免这个问题，我们考虑Ψ，这里面是包含了ψB的成分的，并且已经在形式上归一化，其满足的波动方程是：

http://p3.pstatp.com/large/b7650007c1b7faf31191

 

我们现在把上式展开，并忽略掉其中比(v/c)^2更高阶的贡献（这部分计算较繁琐，过程略去），得到：

http://p3.pstatp.com/large/b7680007c8dff89e0052

 

由于在开始的时候假设A=0，所以上式中没有出现塞曼项，但这里出现了自旋轨道耦合项（上式中的第四项），上式中的第三项可以从相对论能量动量公式的展开中直接看出来，最后一项是达尔文项，与原子中的电荷分布有关。

 

现在重点看一下自旋轨道耦合项，

http://p9.pstatp.com/large/b7660007c94f6c7235e7

 

上式中的E表示电场强度，

http://p9.pstatp.com/large/b778000ac81d5fa72547

 

代回自旋轨道耦合项：

 

http://p9.pstatp.com/large/b776000afa0114391cb4

就是常见的自旋轨道耦合项的表达形式。

---

小结一下，狄拉克方程是一个四分量的波动方程，在非相对论极限下，狄拉克方程退化为一个二分量的波动方程，对应包含塞曼项的薛定谔方程，并且会自然地得到电子的自旋朗德因子是2，在保留相对论效应(v/c)平方项的近似下，我们得到了包含自旋轨道耦合项的薛定谔方程。

15赞

踩

施郁

（复旦大学物理学系教授）

 

笔者认为，薛定谔方程有两个含义，一个是任何量子态所满足的随时间演化的方程，也就是说，量子态随时间的变化率，乘以虚数单位再乘以普朗克常数，等于哈密顿量作用在这个量子态上；另一个含义特指非相对论系统波函数随时间的变化率，乘以虚数单位再乘以普朗克常数，等于它的哈密顿量，也就是动能算符加上势能，作用在这个波函数上。后者是前者的一个具体情况。

 

狄拉克方程也有两个含义。一是在现代量子场论中，狄拉克方程是自旋1/2的费米子场算符所服从的方程。这样，它就与薛定谔方程就没有特别的关系。 另一个含义是，在相对论量子力学中，狄拉克方程是自旋1/2的相对论费米子的波函数所满足的方程，这里的波函数有4个分量。简单地说，是波函数的每个分量随时间的变化率，以及随3个空间分量的变化率，所组成的4个方程，一般统一写成一个矩阵方程。

 

从狄拉克方程的第二种含义，即波函数的相对论方程，考虑低速极限，也就是非相对论极限，就可以推导出非相对论的波函数演化方程，也就是上面我所说的薛定谔方程的第二种含义。

 

另外，通过狄拉克方程，还可以预言存在负能量的状态。历史上，狄拉克就是这样预言了正电子的存在。

 

但是狄拉克方程诠释为相对论的波动方程已经过时了。更严格的诠释是将它看成场算符所满足的方程。

 

注意这种把两个方程都明确地说成有两种含义，只是本人的表述方式，你在教科书上看不到。

11赞

踩

http://p99.pstatp.com/large/5b01000885ac28e6cc99

http://p99.pstatp.com/large/5fee00031ffbf980abb9

薛定谔方程和狄拉克方程都是量子力学框架下描述微观粒子运动规律的基本方程。

两者的区别在于，薛定谔方程本质上源自于光谱学和分析力学的结合，是描述微观粒子的量子力学基本方程。狄拉克方程是薛定谔方程在考虑相对论效应下的新形式。

在量子力学发展初期，相对论的发展也是非常迅速的。那个时代提出的物理理论，最“时髦”的就是总是会加一个所谓“相对论项”，强行去考虑一个相对论情形下的物体运动规律，似乎这才代表一个完备的理论。具体例子有很多，其中最鼎鼎大名的就是薛定谔方程的相对论形式——狄拉克方程。

也许狄拉克是无心插柳，但是不得不佩服他的远见卓识。把薛定谔方程改写成相对论形式后，就会发现微观粒子可以进行一些重新的分类。首先，根据量子力学基本原理，可以分为玻色子和费米子两大类，取决于粒子的自旋是整数还是半整数。其次，根据狄拉克的方程，费米子还可以可以出现反粒子，如果一个费米子的反粒子和它自身不同，那么就是狄拉克费米子，如果一个费米子的反粒子和它自身相同，那就是马约拉纳费米子。一个无质量的狄拉克费米子，可以是有手性的外尔费米子，即左手性和右手性。

在科学研究中，粒子和反粒子的存在已经被实验证实。例如电子的反粒子就是正电子，它和电子的质量一样，但是带一个单元的正电荷。而寻找粒子和反粒子都是自身的马约拉纳费米子则是物理学研究的热点方向之一。

3赞

踩

1933年薛定谔和狄拉克共享了当年的诺贝尔奖，也是首次颁发给理论贡献。

公式太难打了，我就直接说了，有不对的欢迎补充更正。

这两个方程都是描述原子及亚原子粒子状态的，但是狄拉克方程是符合狭义相对论。

第一点，这两个方程在对待时间和空间权重不同，薛对时间是一介，空间是二阶，这就导致在联系相对论时会出问题。而狄拉克方程把时间和空间放的同样重要。

第二点，狄拉克方程严格的说更像是场方程，方程中的波函数也和薛的不同，狄拉克方程的波函数是一个四分量的。 所以方程中的αβ也不是普通的数，而是4*4的矩阵。正因如此狄拉克方程是可以给出电子自旋的，但是却伴随着负能量解，狄拉克提出了空穴理论预言了反电子，当然后来量子场论给出了更高的解释，不用假设真空中存在负能量海。

第三点，初等量子力学中是要求粒子数守恒的，但在高能下会产生和湮灭，所以薛定谔方程无法处理高能情况。

第四点，就是能动关系，薛用的是E=p2/2m

而相对论能动关系是E2=p2c2+m2c4，这也就是为什么狄拉克方程有负能量解的原因。这就造成了两者的哈密顿量的形式不同了。

薛定谔方程和狄拉克方程之间是什么关系？  https://www.toutiao.com/a6605221331908690189/