量子力学里为什么要有复数？

参考：Sears and Zemansky's university physics : with modern physics, 13th Ed

我们从自由粒子做个说明。

我们从熟悉的机械波开始谈起。

在弦上传播的一个波的波动方程是这样的

∂2y(x,t)/∂x2=1/v2×∂2y(x,t)/∂t2

方程的解是

y(x,t)=Acos(kx−ωt)+Bsin(kx−ωt)

其中v是波速，k=2π/λ为波数，ω=2πν为圆频率。于是有

∂2y(x,t)/∂t2=−ω2y(x,t)∂2y(x,t)/∂x2=−k2y(x,t)

容易看出来，y(x,t)要满足波动方程，必须要求ω=vk。

现在我们看自由粒子的量子力学。

http://thegospelcoalition.org/blogs/tgc/files/2012/07/quantum-physics-300x235.jpg

设自由粒子的质量为m，粒子能量E=p2/2m，由波粒两象性，E=hν=ω，p=h/λ=khttp://mathjax.cnblogs.com/2_7_2/fonts/HTML-CSS/TeX/png/Math/Italic/336/03C9.png?V=2.7.2，于是可得ω=2k2/2m。

假设粒子的波函数为

Ψ(x,t)=Acos(kx−ωt)+Bsin(kx−ωt)

对x求二阶导，

∂2Ψ(x,t)/∂x2=−k2Ψ(x,t)

对t求一阶导

∂Ψ(x,t)/∂t=ω[Asin(kx−ωt)−Bcos(kx−ωt)]

根据前面我们得到的关系，ω=2k2/2m，可知波动方程必须是如下形式

−h2/2m×∂2Ψ(x,t)/∂x2=C∂Ψ(x,t)/∂t

其中C为未定参数。把求导带入上式，可得A=−CB，B=CA，由此可得C=i，B=iA，所以量子波动方程为

−h2/2m∂2Ψ(x,t)/∂x2=i∂Ψ(x,t)/∂t

波函数

Ψ(x,t)=A[cos(kx−ωt)+isin(kx−ωt)]=Aei(kx−ωt)

综上，量子力学必须里必须有复数。