艾里函数

标签:
转载 |
分类: 知识•历史 |
艾里函数
英文名 airy function。英国英格兰天文学家、数学家乔治·比德尔·艾里命名的特殊函数,他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)(也称为艾里函数)。
表达式
Ai(x)=1/π*∫cos(t^3/3+xt) dt (0~+∞)
概念介绍
(Ai(x)),英文名 airy function。英国英格兰天文学家、数学家乔治·比德尔·艾里命名的特殊函数,他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)(也称为艾里函数),是以下微分方程的解:
y''=xy
这个方程称为艾里方程或斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程,它有一个转折点,在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长(或衰减)。
定义
对于实数x,艾里函数由以下的积分定义:
Ai(x)=1/π*∫cos(t^3/3+xt) dt (0~+∞)
把:y = Ai(x)求导,我们可以发现它满足以下的微分方程:
y''=xy
因为这个方程有两个线性独立的解,所以,第二个解成为“第二艾里函数”。它定义为当x趋于−∞时,振幅与Ai(x)相等,但相位与Ai(x)相差π/2的函数:
Bi(x)=1/π*∫e^(-t^3/3+xt)+sin(t^3/3+xt) dt (0~+∞)
性质
当x趋于+∞时,艾里函数的渐近表现为:
Ai(x)~e^(-2/3*x^(3/2))/(2sqr(π)x^(1/4))
Bi(x)~e^(2/3*x^(3/2))/(sqr(π)x^(1/4))
而对于负数方向的极限,则有:
Ai(-x)~sin(2/3*x^(3/2)+π/4)/(sqr(π)x^(1/4))
Bi(-x)~cos(2/3*x^(3/2)+π/4)/(sqr(π)x^(1/4))
自变量复数时
我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面:
Ai(z)=1/(2πi)*∫e^(t^3/3+zt) dt (C~∞)
其中积分路径C从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始,在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外,我们也可以用微分方程y''
−
以上Ai(x)的渐近公式在复平面上也是正确的,如果取主值为x^(2/3),且x不在负的实数轴上。Bi(x)的公式也是正确的,只要x位于扇形{x∈C:
|arg
从艾里函数的渐近表现可以推出,Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在复平面内没有其它零点,而Bi(x)在扇形{z∈C:
(1/3)π < |arg
函数关系
当自变量是正数时,艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系:
在这里,I±1/3和K1/3是方程x^2*y'' +
当自变量是负数时,艾里函数与贝塞尔函数之间有以下的关系:
在这里,J±1/3是方程x^2*y'' +
Scorer函数是y'' −
https://baike.baidu.com/item/艾里函数/10433341