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艾里函数

(2018-08-18 22:22:00)
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分类: 知识•历史

艾里函数 


英文名 airy function。英国英格兰天文学家、数学家乔治·比德尔·艾里命名的特殊函数,他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)(也称为艾里函数)。

表达式

Ai(x)=1/π*∫cos(t^3/3+xt) dt (0~+∞)

概念介绍

(Ai(x)),英文名 airy function。英国英格兰天文学家、数学家乔治·比德尔·艾里命名的特殊函数,他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)(也称为艾里函数),是以下微分方程的解:

y''=xy

这个方程称为艾里方程或斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程,它有一个转折点,在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长(或衰减)。

定义

对于实数x,艾里函数由以下的积分定义:

Ai(x)=1/π*∫cos(t^3/3+xt) dt (0~+∞)

把:y = Ai(x)求导,我们可以发现它满足以下的微分方程:

y''=xy

因为这个方程有两个线性独立的解,所以,第二个解成为“第二艾里函数”。它定义为当x趋于−∞时,振幅与Ai(x)相等,但相位与Ai(x)相差π/2的函数:

Bi(x)=1/π*∫e^(-t^3/3+xt)+sin(t^3/3+xt) dt (0~+∞)

性质

当x趋于+∞时,艾里函数的渐近表现为:

Ai(x)~e^(-2/3*x^(3/2))/(2sqr(π)x^(1/4))

Bi(x)~e^(2/3*x^(3/2))/(sqr(π)x^(1/4))

而对于负数方向的极限,则有:

Ai(-x)~sin(2/3*x^(3/2)+π/4)/(sqr(π)x^(1/4))

Bi(-x)~cos(2/3*x^(3/2)+π/4)/(sqr(π)x^(1/4))

自变量复数时

我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面:

Ai(z)=1/(2πi)*∫e^(t^3/3+zt) dt (C~∞)

其中积分路径C从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始,在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外,我们也可以用微分方程y'' − xy = 0来把Ai(x)和Bi(x)延拓为复平面上的整函数。

以上Ai(x)的渐近公式在复平面上也是正确的,如果取主值为x^(2/3),且x不在负的实数轴上。Bi(x)的公式也是正确的,只要x位于扇形{x∈C: |arg x| < (1/3)π−δ}内,对于某个正数δ。最后,Ai(−x)和Bi(−x)是正确的,如果x位于扇形{x∈C: |arg x| < (2/3)π−δ}内。

从艾里函数的渐近表现可以推出,Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在复平面内没有其它零点,而Bi(x)在扇形{z∈C: (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。

函数关系

当自变量是正数时,艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系:

在这里,I±1/3和K1/3是方程x^2*y'' + xy' − (x^2 + 1 / 9)y = 0的解。

当自变量是负数时,艾里函数与贝塞尔函数之间有以下的关系:

在这里,J±1/3是方程x^2*y'' + xy' + (x^2 − 1 / 9)y = 0的解。

Scorer函数是y'' − xy = 1/π的解,它也可以用艾里函数来表示:

https://baike.baidu.com/item/艾里函数/10433341

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