基于航天器轨道机动的瞬时假设，即航天器从一个轨道机动到另一个轨道是利用瞬时之间作用的速度增量来完成的，或者说可

以通过单个或几个推力冲量来校正或改变轨道。据此，首先讨论同平面内的轨道机动情况。

    1．近拱点和远拱点高度的修正

    航天器由于熄火高度、速度和航迹角的微小误差，可能达不到预想的精确轨道。通常这一问题并不严重，但是若要作交会或是

由于某种其他原因，需要一个非常精确的轨道，这就需要对轨道作些小修正。这可采用在轨道上适当的点对速度作一次或者多次微

小的改变来实现。

    航天器由运载火箭送入轨道以后，经地面测控站测定，即可确定其基本轨道参数。假设测定结果是近拱点的高度及速度大小与

预定运动参数有偏差Arp及LXv，，其结果使长半轴n产生偏差(设e符合要求)。现要求通过轨道机动将近拱点或远拱点调到预定高度。

    在第二章已经推导了对所有轨道均成立的能量关系式，即

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.8.gif                           （8.1）

对式(8．1)两边求一次微分得

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.9.gif              

由此可以解出

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.10.gif                     

因此在小偏差情况下，由△v甜和http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.11.gif 引起的长半轴a的改变量△a为 

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.12.gif                        （8.2）

若基于轨道机动的瞬时假设，在轨道上某点速度v改变而保持r不变，则

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.13.gif                            （8.3）

因为轨道长轴是2a，所以轨道长度的改变是2http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.14.gif 。

    假定在近拱点改变速度，那么由此造成的长轴改变量正好是远拱点高度的变化。同样，在远拱点速度改变△铆，将导致近拱点

高度的相同变化。将方程式(8．3)所表示的一般关系应用于在近拱点和远拱点加上微小而有限的速度改变△v的特殊情况，得到远

拱点和近拱点的高度变化，即

                                 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.15.gif                            （8.4）

                                 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.16.gif

    例如，由近拱点参数的变化量http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.18.gif ，通过式(8．2)计算得出实际轨道长半轴http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.20.gif 为预定轨道的长半

轴，由此可计算出远拱点的向径http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.22.gif 。现在可通过在远拱点改变速度来调整近拱点高度。已知近拱点高度误差http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.23.gif

，为消除此偏差，在远拱点的速度增量可由式(8．4)求出。令http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.24.gif ，得

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.25.gif                             （8.5）

按照同样的方法可以修正远拱点高度。

    2．共面两轨道的一般转移

    在两个共面轨道间的转移是最常用的机动方法之一。

    如图8．6所示，轨道A与轨道B在同一平面内相交，为了使航天器从轨道A转移到轨道B，即轨道改变，需要在两轨道的交点Q1处

加一个速度增量△http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.29.gif 分别是轨道A与轨道B在点Q1处所对应的航天器速度矢量。

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8.6.gif       

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8.7.gif 

    要完成两个不相交轨道间的转移，通常需要有两个速度增量，如图8．7所示。航天器利用速度增量通过中间轨道C完成从轨道A

到轨道B的转移。和前面一样，速度增量必须具有相应的大小和方向，使得合成的速度矢量对应于新轨道在给定点的应有值。和新、

旧两轨道相切的转移轨道如图8．8所示，这里所加的速度增量与航天器的速度矢量平行。这种类型的转移往往代表一种燃料消耗量

最小的轨道转移。

    分析图8．7和图8．8容易知道，要实现两个不相交轨道间的转移，其转移轨道必须与初轨道和终轨道同时存在至少一个交点，

即与它们分别相交或相切。特殊地，考虑初轨道和终轨道分别是半径为r1和r2的圆轨道，那么如果转移轨道要与两个圆轨道相接，

则近拱点必须小于或等于内轨道的半径，而远拱点必须等于或大于外轨道的半径。用数学式来描述这此条件就是

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.33.gif            (8.6)

式中，p和e分别是转移轨道的参数和偏心率。只有同时满足以上两个个条件，转移轨道才是可行的，其

中等号成立时意味着转移轨道与内轨道或外轨道相切，这对应着两个圆轨道之间转移时的最少燃料消耗

的转移轨道。下面重点讨  ”论这一问题。

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8.8.gif　　　 　

         3．霍曼(Hohmann)转移

    在许多情况下，一个航天器的轨道机动可以由一系列的轨迹来实现。换句话说，航天器从一个轨道变为另一个轨道可以经过

许多轨迹来达到。因此存在一个最优轨迹，这个最优轨迹的选择须以最少燃料消耗量为准则，有时还要求最合适的时间，可能是

最短时间，也可能是给定的时间。

    关于最优轨道转移问题涉及的面较广泛，因此这里只简要讨论经典的霍曼转移。这个问题通常表述如下：

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8.9.gif

    “给定的是一个沿半径为http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.37.gif 的圆

形轨道B所需要的速度增量”。

    霍曼转移对于由内向外轨道转移和由外向内轨道转移都是对的。因此，不失一般性，先讨论由内向外轨道转移的问题。如图

8．9所示，对于向外轨道转移来说，沿切线方向提供第一个冲量，以便使航天器的速度由初始圆周速度http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.39.gif 。

变为http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.40.gif ，这样就可以使航天器进入远地点距离恰好等于终轨道半径的椭圆转移轨道。相应地，航天器在椭圆转移轨道远地点的速

度即为http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.44.gif 。，使转移轨道圆化，完成整个转

移过程。 

    显然http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.48.gif 的圆轨道运行所需的速度大小。于是由式(2．47)得

            http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.49.gif        http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.50.gif                                   （8.7）

      对于椭圆转移轨道而言，由圆锥曲线运动方程式(2．27)和(2．28)得

             http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.51.gif       http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.52.gif                     （8.8）

由此可以得出                         http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.54.gif                                            （8.10）

    因此，转移轨道的偏心率为         http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.55.gif                      （8.11）  

实际上，http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.57.gif 也分别是小圆轨道A和大圆轨道B的半径。

    在远地点处，将式(8.9)代入式(8.8)中http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.58.gif的表达式，经化简得
   http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.59.gif                                           (8.12)                     

联立式(8．11)和(8．12)就可以得   http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.60.gif                                 (8.13)

 上式提供了所要求的能够在远地点上达到外轨道的近地点速度。由于初始轨道A是半径为http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.62.gif，因此

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.63.gif是                                                                                                                                                                                              http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2_64.gif

或                      http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.65.gif                         （8.14）

    进一步，应用式(8．9)，即角动量守恒定理得椭圆转移轨道远地点的速度为

                                   http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.66.gif

由于最后速度应等于http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.69.gif            (8.16)

     霍曼转移所需要的总速度增量为http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.70.gif                                         (8.17)

 即   

                         http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.71.gif         (8.18)

  向内轨道转移时，先用△http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.72.gif 在远地点减小初始圆周速度，然后在近地点上用http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.73.gif 把速度减少到最终值，因此速度减少了两次。

总之，向内转移的过程恰好与前述向外转移的过程相反。将以上得出的椭圆轨道称为霍曼(Hohmann)转移轨道。

 霍曼转移的飞行时间显然正好是转移轨道周期的一半。因为由式(2．44)得http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.75.gif 为已知，所以霍曼转

移的时间为

 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.files/8_3_2.76.gif                               （8.19）

从转移所需的△v看，霍曼转移是最经济的，不过霍曼转移所需的时间比在这两个圆轨道之间的任何其他可能的转移轨道所需的时

间都长。

原文地址  http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/15/wljc/htqkzyl.files/8/8_3_2.htm