相速度与群速度

Phase Velocity and Group Velocity

南京大學聲學研究所 王新龍

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顾名思义，相速度【注1】乃简谐声波相位传播的速度。频率ω、波数k的简谐声波声压，

的相位φ为

其传播速度

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就是相速度。t = t₁ 时刻、x = x₁处的相位φ取某值（例如，φ=π）。经过一段时间到 t = t₂ 时刻，此相位移动到x = x₂处，即

由此得出，

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可见，公式（1）定义的c_φ正是等值相位的传播速度。必须提醒，相速度与媒质声速是两个概念【1】。媒质声速c₀（speed of sound）是媒质的声学特征量，由媒质的性质确定。通常情形（如自由空间）下，相速度c_φ等于媒质的声速c₀。但在受限空间中，相速度不一定等于声速c₀。例如，对于声管的高次（m，n）模式，其相位是

式中，k是波数（k=ω/c₀），k_mn是第（m，n）模式的简正波数，而k_mn^(x)是该模式沿轴向传播的波数。因此，该模式的相速度是

可见，高次模式的相速度c_φ不但大于（不等于）声速c₀，而且是频率ω的函数，具有频散效应。 

一般而言，在论及相速度时，把相位φ视作时空双元函数：

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随着声波的运动，时间和空间上保持等值相位的位置x是时间的函数x=x(t)，相速度是此等值（dφ=0）相位的移动速度。所以，

 

群速度（group velocity）则与此不同。它与一组频率略微不同的声波群有关。由于频率相近，波群呈现为幅度调制的包络型振荡声脉冲。譬如，振幅相等、频率分别为ω₁和ω₂、波数分别为k₁和k₂的两列平面简谐声压波可表为，

其相速度分别为c₁ = ω₁/k₁，c₂ = ω₂/k₂ 。叠加而成的合成声场的声压是

式中，

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此乃波幅时空周期调制的包络型行波，相速度为c_φ=ω₀/k₀=(ω₁+ω₂)/(k₁+k₂)。声压的幅度

呈调制的包络形状，其传播速度当为

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下图一是p的时空波形，其中设定两个波的频率和波数皆相近（ω₁≈ω₂，k₁≈k₂）。对于无频散的媒质，c_φ=c₁=c₂，故 c_φ = c_g。但如果媒质是频散的，c₁ ≠ c₂，因此，c_g  ≠ c_φ，即波包的传播速度c_g不等于相速度c_φ。此波包传播速度c_g 即群速度（Group Velocity）。下图一所示的群速度c_g  << c_φ，故波包几乎静止。群速度既可小于相速度，也可大于相速度，甚至可能是负的：尽管声波的相平面是前向传播的，波包却反向传播！

  

再举稍复杂的例子说明。

设频率ω、波数k的平面声压波

的波幅是频率的函数（声压的下标ω特别标示频率为ω的波）：p_a=p_a(ω)。不失一般性，设波幅p_a(ω)在频率空间具有高斯分布的形式

式中p₀、ω₀和Δω皆常数。此Δω（非前Δω）衡量频带宽度，ω₀是此频带的中心频率（或称之为标称频率）。可见，这些波以中心频率ω₀的成份幅度最大。假定所有的频率成份皆存在，则总的声压p是所有频率成份的线性叠加

假如相速度c_φ是与频率无关的常数，则上列积分结果为

式中A=|p|是声压波的振幅，

此乃幅度调制型包络波，振荡频率ω₀，时间宽度约Δω，空间宽度约c_φ/Δω。整个波形以相速度c_φ行进：相位是，波幅包络A亦是，其传播如下图二蓝色的波形所示。不难看出，在相对于波包的运动坐标系中，波形是静止的。

其中c_φ0=c_φ(ω₀)是ω₀谐波的相速度，而c_g定义为

就弱频散而言，波数与频率的非线性关系并不强烈，故而展开式（5）中仅保留前两项而略去其余，代入积分公式（3）求积，则可得到

即质点振速v与声压近乎平面声波的关系。因此，平均声能密度近似为

显见，声能以群速度c_g传播。

根据定义（6），群速度也可表为

因此，当且仅当dc_φ/dω=0（无频散），c_g=c_φ。视dc_φ/dω取值之正负，群速度既可大于相速度（dc_φ/dω>0）【注3】，也可小于相速度（dc_φ/dω<0，如图一、二所示），甚至可负。另一个奇异的情形是dc_φ/dω=-∞，结果c_g=0，即波包（声能）静止！【注4】

绝大多数情形下，群速度c_g等于能量传递的速度。例如，把公式（2）代入公式（8），求得声管高次（m，n）模式的群速度

它小于自由空间声速c₀（当然也小于该模式的相速度c_φ）。设坐标（x，y）位于横截面上，z沿管轴方向。在管道中，（m,n）简正模式Φ_mn满足二维拉普拉斯方程

式中Δ是两维拉氏算符，k_mn是属于该模式的简正波数。在刚性边界条件下，可以证明这些模式是正交的。对应模式Φ_mn的声压p_mn和质点速度v_mn分别为

其中，A_mn是（m，n）模式的振幅，k_z,mn是波矢的轴向（z）分量：

轴向声能密度（即单位长度的声能）E_mn是体声能密度对横截面S的积分：

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把前列速度表达式（11）代入，经稍复杂的演算可证明：

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其中最后等式应用了Φ_mn满足的二维拉普拉斯方程，及其满足的刚性管壁边界条件。任意横截面上的声功率W_mn为声强沿横截面的积分。经类似的推导，得出

比较两式知， W_mn=E_mnc_g，即c_g是高次（m,n）模式声能的传播速度【注5】。诚然，不同简正模式，群速度c_g亦不同。

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注释

【1】相速度异于作为媒质声特征参数的声速，尽管在不少情形下两者相等（如无界空间中平面声波的传播）。声速的英文是sound speed，或speed of sound。但在专论波的相速度时，相速度多用英文词汇phase velocity。

【2】读者可否验证之？

【3】c_φ随频率增高而增大的现象在光学中谓之反常色散；反常色散致使群速度超光速。

【4】在光学中，零群速度表现为光被“捕获”！