能量均分定理编辑

参见：动能及理想气体

名字里面的“均分”是指“摊分或类似于摊分”。能量均分定理的原始概念是，当系统平均而言一达到热平衡时，系统的总动能由各独立分量所等分。均分定理也为这些能量做出量化的预测。例如它预测惰性气体的每一个原子，当于温度T达至热平衡时，会有平移平均动能(3/2)K_BT，其中K_B为波兹曼常数。随此引出的是，在等温时氙的重原子速度会比氦的较轻原子要低。图二显示的是四种惰性气体原子速度的麦克斯韦-波兹曼分布。

在这例子中，关键点是动能被速度所二次化。均分定理显示出于热平衡时，任何在能量中只以二次出现的自由度（例如是一粒子的位置或速度的一个分量）有着等于½K_BT的平均能量，并因此向系统的热容提供了½K_B。这个结果有着许多的应用。

参见：理想气体

一粒子质量为m，速度为v，其（牛顿力学）动能为：

其中v_x、v_y及v_z是速度v的直角坐标的分量。这里，H是哈密顿量，由于哈密顿表述是均分定理一般形式的中心，故下文将以其作为能量的符号。

由于能量是速度各分量的二次方，均分这三分量得每分量在热平衡时向平均动能提供½k_BT。因此粒子的平均动能为(3/2)k_BT，跟上面惰性气体的例子一样。

更普遍地，理想气体中的，总能量几乎全为（平移）动能：假定粒子无内自由度且运动不受其他粒子影响。均分因此预测有N个粒子的理想气体有平均总能量(3/2) N k_BT。

而气体的热容则为(3/2) N k_B，因此这样一摩尔气体的热容为(3/2)N_Ak_B=(3/2)R，其中N_A是阿伏伽德罗常数，而R则是气体常数。由于R ≈ 2 Cal/(mol·K)，均分预测理想气体的摩尔比热容约为3 Cal/(mol·K)。这个预测已被实验证实。

从平均动能可以求出气体粒子的均方根速度v_rms：

其中M = N_Am是一摩尔气体粒子的质量。这个结果对很多应用方面都有用处，例如逸散用的格锐目定律为铀浓缩提供了一个方法。

参见：角速度及旋转渗透

在另一个相近的例子中，有一粒子其主转动惯量I₁、I₂及I₃。它的旋转能量是：

其中ω₁、ω₂及ω₃是角速度的主分量。使用跟平移同一套的论证，均分意味着每个粒子的平均旋转能量为(3/2)K_BT。同样地，均分使计算出分子平均角速度（更准确来说应是均方根速度）成为可能。

刚性粒子的滚翻——即是分子于溶液中的随机旋转——在核磁共振中观测到弛缓中有着重要的角色，尤其是在蛋白质核磁共振及剩余双极耦合中。旋转渗透可被其他生物物理探测法所观测到，例如是萤光异向性、流动双折射及介电质光谱学。

均分定理除可应用于动能外，还能被应用于势能计算：重要例子包括像弹簧这样的谐波振荡器，其二次势能为

其中常数a描述弹簧的韧性，而q则是由平衡导出的。假若这样一个系统的质量为m，那么它的动能H为½mv=p/2m，其中v及p=mv代表振荡器的速度和动量。联合这些项可得总能量：

因此均分定理预测在热平衡时，振荡器有平均能量

其中角括号代表括号内的平均量。

这个结果对任何种类的谐波振荡器都是有效的，例如钟摆，一个振动中的粒子或是被动的电子振荡器。这样的振荡器在很多情况下都会出现；由均分可得，每个这样的振荡器都得到一个平均总能量k_BT并因此向系统热容提供k_B。这个可以被用于导出热杂音的公式 及固体摩尔比热容的杜隆-珀蒂定律公式。后者在均分定理的历史中尤其重要。

均分定理的一个重要应用是在于晶状固体的比热容。如此固体的每一个原子都能够在三个独立的方向下振荡，因此该固体可以被视为一个拥有各自独立的3N个简谐振子的系统，其中N为晶格中的原子数。由于每一个谐振子都有平均能量k_BT，所以固体的平均总能量为3Nk_BT，而比热容则为3Nk_B。

如取N为阿伏伽德罗常数N_A，并使用R = N_Ak_B这个联系气体常数R及波兹曼常数k_B的关系式，可得固体摩尔比热容的杜隆-珀蒂定律的一个解释，定律指出晶格中每摩尔的原子热容为 3R ≈ 6 cal/(mol·K)。

然而，由于量子效应的关系，这条定律在低温时并不准确；这也不符合实验导出的热力学第三定律，第三定律指出摩尔比热容于绝对零度时必为零。艾尔伯特·爱因斯坦（1907年）及彼得·德拜（1911年）在基础上加入了量子效应，发展出一套更准确的理论。

许多其他的物理系统可以用一组组的耦合振荡子作为模型。如此振荡子的模型可以被分解成正常模态，这跟钢琴弦的振动模态及管风琴的共振模态是相近的。另一方面，均分定理被应用于这种系统时一般都会失败，因为正常模态间是没有能量交换的。在一个非常的情况下，模态独立且它们的能量独立地守恒。这个显示出有某种的能量混合，正式叫做遍历性，对于均分定理的成立是十分重要的。

参见：淀积、梅森-韦弗尔方程及酿酒

势能并不一定跟位置成二次关系的。不过，均分定理指出若自由度x只向能量提供x（对一固定实数s而言）的这样一个倍数，则该部份于热平衡时的平均能量为k_BT/s。

在重力下淀积的这个延伸有一个简单的应用。例如在啤酒里有时见到的薄雾能由一团团会散射光的蛋白质所组成。一段时间以后，这些蛋白质团因受重力影响而向下沉淀，使得近底下的部份比顶端的薄雾更多。不过，一个向相合方向作用的过程中，粒子也会向上渗透回到酒瓶的顶部。一达到平衡状态时，就可以使用均分定理来断定某一浮力质量m_b的蛋白质团的平均位置。对一支瓶高无限的啤酒而言，重力势能可由下式求出

其中z为蛋白质团的高度，而g则为重力加速度。由于s=1的关系，蛋白质团的平均势能等于k_BT。因此，一个浮力质量为10MDa（大体上为病毒的大小）的蛋白质团会于平衡状态做出一股2cm高的薄雾。这样一种往平衡的淀积由梅森-韦弗尔方程所描述。^[3] 

应用波尔兹曼统计方法可以得到：气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平均能量都相等，均为kT/2,这就是能量按自由度均分定理，简称能量均分定理。

在古典统计力学中，能量均分定理是一种联系系统温度以及平均能量的普遍方案。能量均分定理又被称作能量均分定律、能量均分原理、能量均分，或仅称均分。能量均分的原始概念是热平衡时能量被等量摊分成各种形式，例如分子平移运动的平均动能应等于旋转运动的平均动能。

能量均分定理能够作出定量预测^[4] 。类似于均功定理，对于一个给定温度的系统，利用均分定理， 可以计算出系统的总平均动能及势能，从而得出系统的热容。均分定理还能分别给出能量各个组分的平均值，如某特定粒子的动能又或是一个弹簧的势能。例如，它预测出在热平衡时理想气体中的每个粒子平均动能皆为(3/2)kBT，其中kB为玻尔兹曼常数而T为温度。更普遍地，无论多复杂也好，它都能被应用于任何处于热平衡的经典系统中。能量均分定理可用于推导经典理想气体定律，以及固体比热的杜隆-珀蒂定律。它亦能够应用于预测恒星的性质，因为即使考虑相对论效应的影响，该定理依然成立。

尽管均分定理在一定条件下能够对物理现象提供非常准确的预测，但是当量子效应变得显著时（如在足够低的温度条件下），基于这一定理的预测就变得不准确。具体来说，当热能kBT比特定自由度下的量子能级间隔要小的时候，该自由度下的平均能量及热容比均分定理预测的值要小。当热能比能级间隔小得多时，这样的一个自由度就说成 是被“冻结”了。比方说，在低温时很多种类的运动都被冻结，因此固体在低温时的热容会下降，而不像均分定理原测的一般保持恒定。对十九世纪的物理学家而言，这种热容下降现象是表明经典物理学不再正确，而需要新的物理学的第一个征兆。均分定理在预测电磁波的失败（被称为“紫外灾难”）导致普朗克提出了光本身被量子化而成为光子，而这一革命性的理论对刺激量子力学及量子场论的发展起到了重要作用。

能量均分定理作出对数量相关的预测。跟均功定理一样，可由指定的系统温度计算出系统热容从而得出系统的总平均动能及势能^[5] 。 但是，均分定理还能分别给出能量各个部份的平均值，如某粒子的动能又或是弹簧的势能。例如说，它预测出在热平衡时一理想气体的每个粒子平均动能皆为(3/2)kBT，其中k 或kB为玻尔兹曼常数而T为温度。更普遍地，无论多复杂也好，它都能被应用于任何热平衡的古典系统中。能量均分定理被用于推导古典理想气体定律，以及固体比热的杜隆珀替定律。 它亦能够被应用于预测恒星的性质，由于甚至不受相对论效应影响的关系亦适用于白矮星及中子星。

尽管均分定理能对某些状况提供非常准确的预测，但是当^[6] 量子效应变得重要的时候就不会成立。均分定理只于热能kBT比量子能级间的间隔要大得多时才有效。当它比某自由度的量子能级间隔要小的时候，该自由度的平均能量及热容会均分预测的值要小。如此的一个自由度则说成被“冻结”了。比方说，在低温时很多种类的运动都被冻结，因此固体低温时的热容会下降，而不像均分定理原测的一般保持恒定。由于此时古典物理不再正确，对十九世纪的物理学家而言，这样的一个热容下降是他们需要新物理的第一个征兆。均分定理在预测电磁波的失败（又称“紫外灾难”）引导爱因斯坦去提出光本身被量子化而成为光子，这是一个革命性的理论，对刺激量子力学及量子场论的发展起到了重要作用。 由于气体分子本身有一定的大小和较复杂的内部结构，分子除平动外，还有转动和分子内部原子的振动。研究分子热运动的能量时，应将分子的平动动能、转动动能和振动动能都包括进去。它们服从一定的统计规律——能量按自由度均分定理。

当热能kBT比能阶间的差要小得多的时候，均分法则就会失效。均分此时不再成立，是因为能阶组成平滑连续能谱的这个假设跟实际情况不近似，而这假设^[7] 在上面均分定理推导中有用到。历史上，古典均分定理在解释比热及黑体辐射时的失败，对表明需要一套物质及辐射的新理论（即量子力学及量子场论）起了关键性的作用。

要说明均分的失效，可考虑一单（量子）谐波振荡子的平均能量，古典个案在上文已讨论过。它的量子能阶为En=nhν，其中h为普朗克常数，ν为振荡子的基本频率，而n则为一整数。某指定能阶正被置于正则系综的概率可由其波兹曼因子得出于高温时，当热能kBT被能阶差hν大得多的时候，指数变量βhν比一要小得多，所以平均能量成了kBT，跟均分定理一致（见图十）。然而于低温时，当hν>>kBT的时候，平均能量走向零——高频能阶被“冻结”了（见图十）。作为另一例子，氢原子内部的受激电子态在室温下并不提供任何比热，这是由于热能kBT（大概是0.025 eV）比最低及下一高能阶之间的差（大概是10 eV）要小得多的缘故。

相近的考量可用于任何能阶差比热能大得多的状况下。例如，^[8] 艾尔伯特·爱因斯坦就是用这套论证解决黑体辐射的紫外灾难。由于在一封闭容器下的电磁场有无限个独立模态，每一个都能被当作谐波振荡器看待，因而就形成了悖论。如果每一个电磁模态皆有平均能量kBT，容器内的能量将为无限大。然而，根据以上的论证，高ω模态的平均值当ω趋向无限时趋向零；而且描术模态实验中能量分布的普朗克黑体辐射定律，也是根据同一组论证所中得出的。。

此外，^[9] 更微妙的量子效应可引起均分定理的修正，例如全同粒子及连续对称。全同粒子效应可在非常高密度且低温时有着显著的效果。比方说金属的价电子可以有几个电子伏的平均能量，正常情况一般对应数万开尔文的温度。如此的状态，密度高得让泡利不相容原理使得古典门径无效化，被称为简并态费米子气体。这种气体对白矮星及中子星的结构很重要。在低温时，玻色-爱因斯坦凝聚（此凝聚中大量全同粒子占据了低能量态）的费米子类比能够形成；这种超流体电子是引起超导现象的成因。