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磁矩[维基百科]
磁矩是磁铁的一种物理性质。处于外磁场的磁铁，会感受到力矩，促使其磁矩沿外磁场的磁场线方向排列。磁矩可以用矢量表示。磁铁的磁矩方向是从磁铁的指南极指向指北极，磁矩的大小取决于磁铁的磁性与量值。不只是磁铁具有磁矩，载流回路、电子、分子或行星等等，都具有磁矩。
科学家至今尚未发现宇宙中存在有磁单极子。一般磁性物质的磁场，其泰勒展开的多极展开式，由于磁单极子项目恒等于零，第一个项目是磁偶极子项目、第二个项目是磁四极子（quadrupole）项目……。磁矩也分为磁偶极矩、磁四极矩等等部分。从磁矩的磁偶极矩、磁四极矩等等，可以分别计算出磁场的磁偶极子项目、磁四极子项目等等。随着距离的增远，磁偶极矩部分会变得越加重要，成为主要项目，因此，磁矩这术语时常用来指称磁偶极矩。有些教科书内，磁矩的定义与磁偶极矩的定义相同[1]。
概述[编辑]
一个载流循环的磁偶极矩是其所载电流乘于循环面积：
其中，http://upload.wikimedia.org/math/0/8/c/08c44b92d98f992e99012017e0b95e66.png为面积矢量。磁偶极矩、面积矢量的方向是由右手定则决定。
处于外磁场的载流循环，其感受到的力矩和其势能与磁偶极矩的关系为：
- http://upload.wikimedia.org/math/5/0/c/50cd8e1760a1064fb9038f8eb2b345c3.png、
- http://upload.wikimedia.org/math/4/f/4/4f4b91203724407e8f7e686dbbc26021.png；
其中，http://upload.wikimedia.org/math/0/1/b/01b20e5cf9941b9e9034764b678beacb.png为势能。
许多基本粒子，例如电子，都具有内禀磁矩。这种内禀磁矩是许多巨观磁场力的来源，许多物理现象也和此有关。这种磁矩和经典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有关，必须用量子力学来解释。这些内禀磁矩是量子化的，最小的基本单位，常常称为“磁子”（magneton）。例如，电子自旋的磁矩与玻尔磁子的关系式为：
其中，http://upload.wikimedia.org/math/e/e/f/eef993147b86beaa74d9b8beafe6fef5.png是约化普朗克常数。
单位[编辑]
采用国际单位制，磁偶极矩的量纲是面积×电流。磁偶极矩的单位有两种等价的表示法：
CGS单位制又可细分为几种亚单位制：静电单位制（electrostatic units），电磁单位制（electromagnetic units）、高斯单位制。
| 语言 | 国际单位制 | 静电单位制 | 电磁单位制 | 高斯单位制 |
|---|---|---|---|---|
| 中文 |
1 |
= (103 |
= (103) |
= (103) |
| 英文 |
1 |
= (103 |
= (103) abA·cm2 |
= (103) |
磁偶极矩在电磁单位制与在静电单位制的比例正好等于单位为厘米／秒的光速。
在这篇文章内，所有的方程都采用国际单位制。
两种磁源[编辑]
在任何物理系统里，磁矩最基本的源头有两种：
- 电荷的运动，像电流，会产生磁矩。只要知道物理系统内全部的电流密度分布（或者所有的电荷的位置和速度），理论上就可以计算出磁矩。
- 像电子、质子一类的基本粒子会因自旋而产生磁矩。每一种基本粒子的内禀磁矩的大小都是常数，可以用理论推导出来，得到的结果也已经通过做实验核对至高准确度。例如，电子磁矩的测量值是−9.284764×10−24焦耳／特斯拉[3]。磁矩的方向完全决定于粒子的自旋方向（电子磁矩的测量值是负值，这意味着电子的磁矩与自旋呈相反方向）。
整个物理系统的净磁矩是所有磁矩的矢量和。例如，氢原子的磁场是以下几种磁矩的矢量和：
- 电子环绕着质子的轨域运动。
- 质子的自旋。
再举个例子，构成条形磁铁的物质，其未配对电子的内禀磁矩和轨域磁矩的矢量和，是条形磁铁的磁矩。
计算磁矩的方程[编辑]
平面循环[编辑]
对于最简单的案例，平面载流循环的磁偶极矩http://upload.wikimedia.org/math/a/2/3/a2382e476309291e77fa989fc9107906.png是
其中，http://upload.wikimedia.org/math/0/8/c/08c44b92d98f992e99012017e0b95e66.png是平面循环的面积矢量。
面积矢量和磁偶极矩的方向是由右手定则给出：令四只手指朝着电流方向弯曲，伸直大拇指，则大拇指所指的方向即是面积矢量的方向，也是磁偶极矩的方向。
这有限面积的载流循环还有更高阶的磁矩，像磁四极矩，磁八极矩等等。假设载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持http://upload.wikimedia.org/math/f/4/c/f4c6d43fc5219f09f936b3423d5a768e.png不变，则所有更高阶的磁矩会趋向于零，这真实的载流循环趋向于理想磁偶极子，或纯磁偶极子。
任意回路[编辑]
对于任意回路案例，假设回路载有恒定电流http://upload.wikimedia.org/math/5/7/f/57f3dca18fc4d521ae37ec18d689a9a7.png，则其磁偶极矩为
其中，http://upload.wikimedia.org/math/6/f/0/6f0051d1567707c42322db0d2a1d510d.png的位置。
引用矢量恒等式
即可得到磁偶极矩的路径积分方程
任意电流分布[编辑]
对于最广义的任意电流分布案例，磁偶极矩为
其中，http://upload.wikimedia.org/math/0/9/8/098a2e2122a6e6656523b7c3deb41c7e.png是微小体积元素。
任意一群移动电荷，像旋转的带电固体，都可以用这方程计算出其磁偶极矩。
基本粒子[编辑]
在原子物理学和核子物理学里，磁矩的大小标记为http://upload.wikimedia.org/math/7/4/b/74b8eddf4b37de80c7c8eed1b64e46fc.png，通常测量单位为玻尔磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩关系到粒子的自旋，和／或粒子在系统内的轨域运动。以下列表展示出一些粒子的内禀磁矩：
| 粒子 |
内禀磁矩（10−27 |
自旋量子数 |
|---|---|---|
| 电子 | -9284.764 | 1/2 |
| 质子 | +14.106067 | 1/2 |
| 中子 | -9.66236 | 1/2 |
| μ子 | -44.904478 | 1/2 |
| 重氢 | +4.3307346 | 1 |
| 氢-3 | +15.046094 | 1/2 |
欲知道更多有关于磁矩与磁化强度之间的物理关系，请参阅条目磁化强度。
载流回路产生的磁场[编辑]
载流回路会在周围产生磁场。这磁场包括偶极磁场与更高次的多极项目。但是，随着距离的增远，这些多极项目会更快速地减小，因此，在远距离位置，只有偶极项目是磁场的显要项目。
思考一个载有恒定电流http://upload.wikimedia.org/math/5/7/f/57f3dca18fc4d521ae37ec18d689a9a7.png的任意局域回路，其磁矢势为
其中，http://upload.wikimedia.org/math/5/3/6/53657ecb2aefcf9f0495a48074f2b59b.png是磁常数。
假设检验位置足够远，http://upload.wikimedia.org/math/e/e/0/ee0d4a899dae2157ab48a1f0b5520d1c.png可以泰勒展开为
其中，http://upload.wikimedia.org/math/a/a/5/aa5a5541b7ce5433c315cd1459e48c1a.png之间的夹角。
所以，磁矢势展开为
思考http://upload.wikimedia.org/math/8/9/d/89d587bc10d1b6961e6b37c114257d7f.png项目，也就是磁单极子项目：
由于闭合回路的矢量线积分等于零，磁单极子项目恒等于零。
再思考http://upload.wikimedia.org/math/a/d/c/adc374e850a734e37cf2aa5f1e27622a.png项目，也就是磁偶极子项目：
注意到磁偶极矩为http://upload.wikimedia.org/math/c/5/f/c5f19734a56783d0323eb1af59e0a64c.png，偶极磁矢势可以写为
偶极磁场http://upload.wikimedia.org/math/0/d/2/0d24dac7007023344251c153390e73c5.png为
由于磁偶极子的矢势有一个奇点在它所处的位置（原点http://upload.wikimedia.org/math/1/d/a/1dac766492f146f6be250ae59eb02212.png），必须特别小心地计算，才能得到正确答案。更仔细地推导，可以得到磁场为
其中，http://upload.wikimedia.org/math/3/d/0/3d01d20e6ac2e1b43b0d5e36c5b72d6d.png是狄拉克δ函数。
偶极磁场的狄拉克δ函数项目造成了原子能级分裂，因而形成了超精细结构（hyperfine structure）[5]。在天文学里，氢原子的超精细结构给出了21厘米谱线，在电磁辐射的无线电波范围，是除了3K背景辐射以外，宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。从复合纪元（recombination）至再电离纪元（reionization）之间的天文学研究，只能依靠观测21厘米谱线无线电波。
给予几个磁偶极矩，则按照叠加原理，其总磁场是每一个磁偶极矩的磁场的总矢量和。
处于外磁场的磁偶极子[编辑]
磁偶极子感受到的磁力矩[编辑]
如图右，假设载有电流http://upload.wikimedia.org/math/5/7/f/57f3dca18fc4d521ae37ec18d689a9a7.png的一个方形循环处于外磁场。方形循环四个边的边长为，其中两个与平行的边垂直于外磁场，另外两个边与磁场之间的夹角角弧为。
垂直于外磁场的两个边所感受的磁力矩为
另外两个边所感受的磁力矩互相抵消。注意到这循环的磁偶极矩为
令载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持http://upload.wikimedia.org/math/f/4/c/f4c6d43fc5219f09f936b3423d5a768e.png不变，则这载流循环趋向于理想磁偶极子。所以，处于外磁场的磁偶极子所感受到的磁力矩也可以用上述方程表示。
当磁偶极矩垂直于磁场时，磁力矩的大小是最大值http://upload.wikimedia.org/math/9/c/2/9c2fb7efd8dd555fde451c95388bbc81.png；当磁偶极矩与磁场平行时，磁力矩等于零。
磁偶极子的势能[编辑]
将载流循环从角弧http://upload.wikimedia.org/math/e/5/6/e5631ee132b76058c37eb3abeed99259.png为
注意到磁力矩的扭转方向是反时针方向，而http://upload.wikimedia.org/math/9/3/f/93f2db33c972bf5fe480fd887bbd93dd.png，则
对抗这磁场的磁力矩，将载流循环从角弧http://upload.wikimedia.org/math/d/f/b/dfb16c9b80af0ffaa048e6c1bfba1d0c.png为
定义载流循环的势能http://upload.wikimedia.org/math/d/f/b/dfb16c9b80af0ffaa048e6c1bfba1d0c.png，以方程表示为
与前段所述同理，磁偶极子的势能也可以用这方程表示。当磁偶极矩垂直于磁场时，势能等于零；当磁偶极矩与磁场呈相同方向时，势能是最小值；当磁偶极矩与磁场呈相反方向时，势能是最大值http://upload.wikimedia.org/math/9/c/2/9c2fb7efd8dd555fde451c95388bbc81.png。
非均匀磁场[编辑]
假设外磁场为均匀磁场，则作用于载流回路http://upload.wikimedia.org/math/7/c/d/7cd6803259f3668c03a59243184b9177.png的磁场力等于零：
假设外磁场为非均匀的，则会有一股磁场力，作用于磁偶极子。依照磁矩模型的不同，求得的磁场力也会不同[6]。采用常见的“电流模型”，则一个磁偶极子所感受到的磁场力为
另外一种采用“磁荷模型”。这类似电偶极矩的模型，计算出的磁场力为
两者之间的差别为
假设，电流等于零，电场不含时间，则根据麦克斯韦-安培方程，
两种模型计算出来的磁场力相等。可是，假设电流不等于零，或电场为含时电场，则两种模型计算出来的磁场力不相等。1951年，两个不同的实验，研究中子的散射于铁磁性物质，分别得到的结果与电流模型预估的结果相符合[6]。
范例[编辑]
圆形载流循环的磁偶极矩[编辑]
一个载流循环的磁偶极矩与其面积和所载电流有关。例如，载有1安培电流，半径http://upload.wikimedia.org/math/c/5/2/c52f6429dd97cd6b870ff3ca7bd42fc8.png为0.05米的单匝圆形载流循环，其磁偶极矩为：
磁偶极矩垂直于载流循环的平面。载流循环的磁矩，可以用来建立以下几点论据：
- ); PADDING-TOP: 0px">
- 假设场位置的距离http://upload.wikimedia.org/math/1/0/5/105e753728e757fa2390e9bc72d9c8be.png，则磁场会呈反立方减弱：
-
- 沿着循环的中心轴，磁矩与场位置http://upload.wikimedia.org/math/5/1/7/517713571d01a89e2826c50436ce63de.png平行：
- 在包含循环的平面的任意位置，磁矩垂直于场位置：
- 负号表示平面任意位置案例与中心轴案例，这两个案例的磁场呈相反方向。
- ); PADDING-TOP: 0px">
- 假设在地球的某地方，地磁场http://upload.wikimedia.org/math/5/3/7/5376278b6e3e0aed786f0f01681bdc7f.png，则此循环所感受到的力矩为
- ); PADDING-TOP: 0px">
- 应用力矩的观念，可以制造出罗盘。假设这罗盘的磁针，由于力矩的作用，从磁针的磁矩垂直于地磁场http://upload.wikimedia.org/math/0/1/b/01b20e5cf9941b9e9034764b678beacb.png为
- 由于罗盘悬浮系统的摩擦机制，这能量是以热量的形式耗散净尽。
螺线管的磁矩[编辑]
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.svg/200px-Solenoid,_air_core,_insulated,_20_turns,_(shaded).svg.png){kind=link}
一个多匝线圈（或螺线管）的磁矩是其每个单匝线圈的磁矩的矢量和。对于全同匝（单层卷绕），只需将单匝线圈的磁矩乘以匝数，就可得到总磁矩。然后，这总磁矩可以用来计算磁场，力矩，和储存能量，方法与使用单匝线圈计算的方法相同。
假设螺线管的匝数为，每一匝线圈面积为，通过电流为http://upload.wikimedia.org/math/5/7/f/57f3dca18fc4d521ae37ec18d689a9a7.png，则其磁矩为
载电粒子圆周运动的磁矩[编辑]
假设，一个点电荷http://upload.wikimedia.org/math/c/4/f/c4f4c3516ae8626abc95626b5686a2b1.png的平面圆形路径，则其电流为[7]
其磁矩为
其角动量http://upload.wikimedia.org/math/5/1/a/51a406995e29ae7c5e18ac0a848d1c4d.png为
其中，http://upload.wikimedia.org/math/d/4/f/d4f5579278053dcc711fa0e6e45244fa.png是载电粒子的质量。
所以，磁矩与角动量的经典关系为
对于电子，这经典关系为
其中，http://upload.wikimedia.org/math/4/6/0/460a1940ceddf45878d2e095af31128a.png是电子的绝对电量。
假设，这点电荷是个束缚于氢原子内部的电子。由于离心力等于库仑吸引力，
其中，http://upload.wikimedia.org/math/5/b/a/5ba26249d08af48ddefffbe2493b9b41.png是电常数。
现在施加外磁场http://upload.wikimedia.org/math/4/1/b/41bdb3ec60fb3f0fbe0023850f2e76fe.png，则
所以，
假设，两个速度的差别http://upload.wikimedia.org/math/2/c/c/2ccbdcb08eeb203d4929dbf6d2d655b5.png超小，则
所以，由于施加外磁场http://upload.wikimedia.org/math/a/e/6/ae6ec2d6fb2a64995645510b329402c5.png，磁矩的变化为
注意到与http://upload.wikimedia.org/math/a/e/6/ae6ec2d6fb2a64995645510b329402c5.png呈相反方向，因而减弱了磁场。这是抗磁性的经典解释。可是，抗磁性是一种量子现像，经典解释并不正确。
为了简略计算，使用半经典方法[8]，可以求出磁矩的变化为
其中，http://upload.wikimedia.org/math/2/7/3/2736c2d6a619e0ed685eedf41c86528c.png是半径平方的期望值。
电子的磁矩[编辑]
电子和许多其它种类的粒子都具有内禀磁矩。这是一种量子属性，涉及到量子力学。详尽细节，请参阅条目电子磁偶极矩（electron magnetic dipole moment）。微观的内禀磁矩集聚起来，形成了巨观的磁效应和其它物理现象，例如电子自旋共振。
电子的磁矩是
其中，http://upload.wikimedia.org/math/6/8/1/681a92485e0c4afd765d68641c3da986.png是电子的自旋角动量。
按照前面计算的经典结果，http://upload.wikimedia.org/math/d/c/3/dc3e8fe21dc3e911fe1ef3d922cae955.png。
请注意，由于这方程内的负号，电子磁矩与自旋呈相反方向。对于这物理行为，经典电磁学的解释为：假想自旋角动量是由电子绕着某旋转轴而产生的。因为电子带有负电荷，这旋转所产生的电流的方向是相反的方向，这种载流回路产生的磁矩与自旋呈相反方向。同样的推理，带有正电荷的正子（电子的反粒子），其磁矩与自旋呈相同方向。
原子的磁矩[编辑]
在原子内部，可能会有很多个电子。多电子原子的总角动量计算，必须先将每一个电子的自旋总和，得到总自旋，再将每一个电子的轨角动量总和，得到总轨角动量，最后用角动量耦合（angular momentum coupling）方法将总自旋和总轨角动量总和，即可得到原子的总角动量。原子的磁矩http://upload.wikimedia.org/math/7/4/b/74b8eddf4b37de80c7c8eed1b64e46fc.png与总角动量http://upload.wikimedia.org/math/5/1/a/51a406995e29ae7c5e18ac0a848d1c4d.png的关系为[9]
其中，http://upload.wikimedia.org/math/d/8/5/d85f51c3b45ed2dfd6921be2f0e67f4c.png是原子独特的朗德g因子。
磁矩对于磁场方向的分量http://upload.wikimedia.org/math/7/1/3/713516af9d1b4def7939edd60377769b.png是
其中，http://upload.wikimedia.org/math/8/b/4/8b4e2389b6b5e3889100ea0442d5ef9a.png是磁量子数，可以取2J+1个整数値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一个整数值。
因为电子带有负电荷，所以http://upload.wikimedia.org/math/7/1/3/713516af9d1b4def7939edd60377769b.png是负值。
处于磁场的磁偶极子的动力学，不同于处于电场的电偶极子的动力学。磁场会施加力矩于磁偶极子，迫使它依著磁场线排列。但是，力矩是角动量对于时间的导数。所以，会产生自旋进动，也就是说，自旋方向会改变。这物理行为以方程表达为
其中，http://upload.wikimedia.org/math/3/5/6/3561beb054a95d4ead43a8451708286c.png是回转磁比率（gyromagnetic ratio） ，http://upload.wikimedia.org/math/1/7/5/1754b960b84d925476a695569e4f729b.png是磁场。
注意到这方程的左手边项目是角动量对于时间的导数，而右手边项目是力矩。磁场又可分为两部分：
其中，http://upload.wikimedia.org/math/b/5/d/b5d9e5a9ecd98ded0a1c6f439321904a.png是阻尼系数。
这样，可以得到兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）[10]：
方程右边第一个项目描述磁偶极子绕着有效磁场的进动，第二个项目是阻尼项目，会使得进动渐渐减弱，最后消失。兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程是研究磁化动力学最基本的方程之一。
原子核的磁矩[编辑]
核子系统是一种由核子（质子和中子）组成的精密物理系统。自旋是核子的量子性质之一。由于原子核的磁矩与其核子成员有关，从核磁矩的测量数据，更明确地，从核磁偶极矩的测量数据，可以研究这些量子性质。
虽然有些同位素原子核的激发态的衰变期超长，大多数常见的原子核的自然存在状态是基态。每一个同位素原子核的能态都有一个独特的、明显的核磁偶极矩，其大小是一个常数，通过细心设计的实验，可以测量至非常高的精确度。这数值对于原子核内每一个核子的独自贡献非常敏感。若能够测量或预测出这数值，就可以揭示核子波函数的内涵。现今，有很多理论模型能够预测核磁偶极矩的数值，也有很多种实验技术能够进行原子核测试。
分子的磁矩[编辑]
任何分子都具有明确的磁矩。这磁矩可能会跟分子的能态有关。通常而言，一个分子的磁矩是下列贡献的总和，按照典型强度从大至小列出：
- ); PADDING-TOP: 0px">
- 假若有未配对电子，则是其自旋所产生的磁矩（顺磁性贡献）
- 电子的轨域运动，处于基态时，所产生常与外磁场成正比的磁矩（抗磁性贡献）
- 依照核自旋组态，核自旋所产生的总磁矩。
分子磁性范例[编辑]
- ); PADDING-TOP: 0px">
- 氧分子，O2，由于其最外面的两个未配对电子的自旋，具有强顺磁性。
- 二氧化碳分子，CO2，由于电子轨域运动而产生的，与外磁场成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有状况下，假若这分子是由具磁性的同位素组成，像13C或17O，则此同位素原子核也会将其核磁性贡献给分子的磁矩。
- 氢分子，H2，处于一个弱磁场（或零磁场），会显示出核磁性。氢分子的两种自旋异构体，正氢或仲氢，都具有这种物理性质。
参阅[编辑]
参考文献[编辑]
-
^
Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc., pp. 186, 1999,ISBN 978-0-471-30932-1 - ^
Cardarelli, F., Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd, Springer, pp. 20–25, 2004, ISBN 1-8523-3682-X nd&rft.genre=book&rft.isbn=1-8523-3682-X&rft.pages=pp.+20-25&rft.pub=Springer&rft_val_fmt=info:ofi/fmt:kev:mtx:book> - ^
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参阅美国国家标准与技术研究院的Fundamental Physical Constants网页： - ^
Griffiths, David J., Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen, American Journal of Physics, 1982-08, 50 (8): pp. 698 -
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^
Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall, pp. 260–262, 1998,ISBN 0-13-805326-X - ^
O'Dell, S. L.; Zia, R. K. P., Classical and semiclassical diamagnetism: A critique of treatment in elementary texts, American Journal of Physics, 1986-01, 54 (1): pp. 32–35 -
^
RJD Tilley, Understanding Solids, John Wiley and Sons, pp. 368, 2004, ISBN 0470852755 -
^
Stuart Alan Rice, Advances in chemical physics 128, Wiley, pp. 208 ff, 2004, ISBN 0471445282
维基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/磁矩
磁矩[百度百科]
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