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(2014-02-04 15:30:34)
标签：
群循环群子群 |
分类： 【学术】 |
置换群及其运算
数学上，一个置换群是一个群G，其元素是一个给定集M的置换，而其群作用是G中的置换（可以看作是从M到自身的双射）的复合；其关系经常写作(G,M)。注意所有置换的群是对称群；置换群通常是指对称群的一个子群。n个元素的置换群记为Sn；若M 是任意有限或无限集合，则所有 M的置换组成的对称群通常写作Sym(M)。
置换通常写作轮换形式，例如，在轮换指标计算中，给定集合 =
{1,2,3,4}，M 的一个置换 g 若为
g(1) = 2, g(2) = 4, g(4) = 1 和 g(3) = 3，可以写作 (1,2,4)(3)，或者更常见的写作
(1,2,4)，因为 3 保持不变；若对象有单个字母或数字表示，逗号也被省去，所以可以记作(1 2 4)。
一、常见的置换群
M =
{1,2}
(1)、(1 2)
M = {1,2,3}
(1)、(1 2)、(1 3)、(2 3)、(1 2 3)、(1 3 2)
M = {1,2,3,4}
(1)、(1 2)、(1 3)、(1 4)、(2 3)、(2 4)、(3 4)、(1 2 3)、(1 3 2)、(1 2 4)、(1 4 2)、(1 3 4)、(1 4 3)、(2 3 4)、(2 4 3)、(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、(1 3 2 4)、(1 3 4 2)、(1 4 2 3)、(1 4 3 2)、(1 2)(3 4)、(1 3)(2 4)、(1 4)(2 3)
M = {1,2,3,4，5，6，7}
G = SymmetricGroup(7)
sigd=G("(1,2,7)(3,6,5,4)")；这是一个元素
for i in range(1, 30):
下面是运算结果：
the Element sigd^( 1 )
(1,2,7)(3,6,5,4)
the Element sigd^( 2 )
(1,7,2)(3,5)(4,6)
the Element sigd^( 3 ) (3,4,5,6)
the Element sigd^( 4 ) (1,2,7)
the Element sigd^( 5 )
(1,7,2)(3,6,5,4)
the Element sigd^( 6 ) (3,5)(4,6)
the Element sigd^( 7 )
(1,2,7)(3,4,5,6)
the Element sigd^( 8 ) (1,7,2)
the Element sigd^( 9 ) (3,6,5,4)
the Element sigd^( 10 )
(1,2,7)(3,5)(4,6)
the Element sigd^( 11 )
(1,7,2)(3,4,5,6)
the Element sigd^( 12 ) ()
the Element sigd^( 13 )
(1,2,7)(3,6,5,4)
the Element sigd^( 14 )
(1,7,2)(3,5)(4,6)
这说明，元素sigd可以构成一个12阶的循环群。在这个大群中，有好多个小的循环群存在。如果构造一个巨大的循环群，则其上的离散对数问题是一个困难问题。
二、求子群的方法。
If
will create
下面是在一个置换群上做一个循环子群
三、生成包含任意元素的循环群，
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