高中立体几何的“演变”

（陕西师大附中 陈法超 710061）

摘要：随着数学自身的快速发展，立体几何在高中数学中的地位和课时发生了很大的变化，又伴随着教育学、心理学的发展，新的教育思潮、新的观点、新的视角深刻地影响着高中立体几何教育定位，教材的内容的呈现方式，教学方式和学习方式，本文试图梳理立体几何的演变过程。

 关键词  立体几何   内容    演变

  随着数学自身的快速发展，立体几何在高中数学中的地位和课时发生了很大的变化，又伴随着教育学、心理学的发展，新的教育思潮、新的观点、新的视角深刻地影响着高中立体几何教育定位，教材的内容的呈现方式，教学方式和学习方式。

一、我国对几何课程基本要求的演变.

我国解放后首次制定(1952年)的中小学数学教学大纲中提出，小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维”，中学数学应“发展学生生动的空间想像力,发展学生逻辑的思维力和判断力”。以后的中小学数学教学在能力培养方面的要求一直是“通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想像力”。1963年根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为“计算能力、逻辑推理能力和空间想像力”(传统的三大能力)。1978年的中小学数学教学大纲中，又增加了“培养学生分析问题和解决问题的能力”。1988年的九年义务教育数学教学大纲中，能力培养任务改为“培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念”,这种要求一直持续至今。《义务教育阶段国家数学课程标准》(征求意见稿，2000年)在发展性领域中，明确提出能力培养任务是思维能力的培养，“应使学生在定量思维、空间观念、合情推理的演绎论证等方面获得发展”。2000年3月颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用修订版)》中指出，要“培养初步的思维能力和空间观念”。

2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”．2003年颁布的《普通高中数学课程标准》[2]指出：“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”

二、立体几何教材内容的变化

“立体几何”是高中数学非常经典的内容。回顾上个世纪九十年代以后开始的近二十年的高中数学课程改革，1997年前，“立体几何”部分单独成册《立体几何》，与《代数》（上册）同时开设，在高一两个学期完成，《立体几何》约需57课时。1997年后，《全日制普通高级中学数学教学大纲》把“立体几何”部分的内容缩为一章“直线、平面、简单几何体”，再加上“研究性学习课题  多面体欧拉定理的发现”，共39课时。

《标准》把“立体几何”部分的内容，放在数学2“立体几何初步”、选修2-1“空间向量与立体几何”，以及系列3和系列4的部分专题中，如“选修3-3  球面上的几何”中等等，而且必修课程和选修课程分的比较开。由于选修系列1的（希望在人文、社会科学等方面发展）学生只学习数学2中的“立体几何初步”，选修系列2的学生学习“空间向量与立体几何”，所以，我们认为，高中数学新课程中的“立体几何”部分包括数学2中的“立体几何初步”和选修2-1中“空间向量与立体几何”，它们共30课时。

三、新课程教材和旧教材处理的变化

1、新教材立体几何初步的编写意图

内容与结构的变化：从整体到局部、具体到抽象的原则（遵循认知规律、重在提高空间想象能力，通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法，认识和探索空间几何图形及其性质。）

传统处理方式： 点、线、面 柱、锥、台、球

新教材处理方式：柱、锥、台、球 点、线、面 计算

2、内容设计分析：

直观感知	操作确认、思辩论证	度量计算
空间几何体	点、线、面位置关系	表面积、体积

（1）空间几何体——直观感知

这部分内容的展开，首先借助于丰富的实物模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体，通过对这些空间几何体的整体观察，帮助学生认识其结构特征，运用这些特征描述现实生活中的一些简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。

平移 —— 棱柱、锥、台

旋转 —— 圆柱、锥、台、球

投影 —— 视图 ——直观图

运动变化的观点： 展现数学的统一美、和谐美；发展空间想象能力（几何体的构成）。

（2）点、线、面之间的关系 ——操作确认、思辨论证

u  以长方体为载体，直观认识和理解体会空间的点、线、面之间的位置关系，抽象出空间线、面的位置关系的定义，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解一些可以作为推理依据的公理和定理 。

u  对性质定理加以逻辑证明，至于判定定理，在选修系列2中，用向量的方法加以严格的证明。

u  要求学生能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

长方体——微型三维空间（载体）

判定 —— 操作确认 —— 合情推理

性质 —— 思辩论证 —— 逻辑推理

借助三维空间的基本模型（长方体）；

   重视合情推理与逻辑推理的结合，注意适度形式化。

   帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力。

柱、锥、台、球的表面积与体积  ——度量计算

从局部回到整体，通过计算度量对空间几何体的表面积和体积进行定量的研究。

几点说明

u 棱柱、棱锥、棱台的描述——平移

投影→视图→直观图

u 研究的载体：长方体

•  空间的基本模型就是长方体

•  认识清楚了其上的点线、线线、线面，

   基本上可以解决空间中一些基本问题。

•  长方体作为模型，贯穿于整个的教学之中。

•  判定定理和性质定理的不同要求

u 计算要求的降低(线线、线面、面面角的计算，距离的计算不做要)

u 关于反证法

关于直线与面垂直的性质定理的证明，教材采用反证法，学生理解上会有一定的困难，教学时注意引导学生理解反证法的反设、归谬，进而得出正确的结论。证明中用到“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”和“过一点有且只有一条直线与已知平面垂直”的事实。

   ◆重视类比，合情推理

空间与平面的类比，比如：平面基本性质4

   ◆强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。

（3）螺旋上升，分层递进，逐步到位。

在内容呈现上，通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质。教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明。

（4）教学内容增减：

删除（或在选修课内体现的）：①异面直线所成的角的计算。②直线与平面所成角的计算。③三垂线定理及其逆定理。④二面角及其平面角的计算。⑤多面体及欧拉公式。⑥原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）。新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）。

 

增加:简单空间图形的三视图；专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力。

 

四、新课标立体几何的教材分析

1、空间几何体具体教学要求：

（1）利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图。

（3）通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

2、点、线、面之间的位置关系

（1）借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可作为推理依据的公理和定理：

◆平面的基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

◆平面的基本性质2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

◆平面的基本性质3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

◆平面的基本性质4：平行于同一条直线的两条直线平行。

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

（２）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

◆一个平面过另一个平面的垂直线，则两个平面垂直。

通过直观感知，操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

（3）能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

《标准》与原《大纲》比较，在要求上的主要变化有

       ⑴对于“空间几何体”：

《教学大纲》要求：了解概念，掌握性质；

《课程标准》则要求：认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征。

《课程标准》把重点放在了空间想像能力上，对概念、性质则降低了要求。

⑵对于“点、线、面之间的位置关系”：

《课程标准》把重点放在了定性研究（平行和垂直）上，定量研究(角和距离)在必修中不作要求（移到选修中），对线、面垂直的判定定理不证明，移到空间向量中再证。分段设计，分层递进。

⑶对知识发生的过程提出了较高的要求：

多处使用了“观察”、“认识”、“画出”、“直观感知、操作确认，归纳”等情感、态度与价值要求的行为动词。对空间几何体的要求是直观感知；对线、面关系则要求操作确认、思辨论证；对判定定理的要求是操作确认、合情推理；对性质定理则要求思辨论证、逻辑推理。

(4)不要求用反证法证明简单的问题。

【参考文献】

[1]普通高中《数学课程标准》（实验）北师大出版社2003年4月出版。

[2]严士健 张奠宙  王尚志 普通高中数学课程标准解读（实验）[M].，江苏教育出版社   2004

[3]史宁中 义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M]，北京师范大学出版社，2012

[4]吴宪芳 .中学数学教育概论[M].武汉:湖北教育出版社，2005,(6): 455-466.

[5]《全日制普通高级中学（必修）数学第二册（下B）》[M]．北京：北京人民教育出版社，2002年．

[6]高级中学课本《立体几何》，人民教育出版社1990年10月出版。

[7]立体几何全一册（必修）《教学参考书》，人民教育出版社教学编辑室编，1990年1月。

[8 ]普通高中课标教科书《数学》（必修二、选修2-1），人民教育出版社2004年5月出版。

[9]《普通高中课程标准实验教科书》数学必修2 [M]．北京： 北京师范大学出版社， 2006 年．

[10]  杨颂．《现行两套高中数学教材立体几何内容的文本比较研究》[D]．长春：东北师范大学，2008年．