“数学归纳法”教学案例

                                                         高一数学备课组 郭漫丽

一、内容和内容分析

数学归纳法是一种重要的数学思想方法，是证明与自然数有关的命题的重要工具。它的理论依据是归纳公理(即设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M.那么M是全体正整数的集合)以及最小数原理（自然数的任何一个非空子集必有一个最小数）。数学归纳法的实质是把具有共同特征的，无限重复的递推过程用具有高度代表性的相邻两项之间的关系来代替，即把逐项验证的过程化简为由前项证明后项成立的过程。它的核心就是利用好归纳假设和递推关系。

数学归纳法是以归纳为基础，在每小节的证明中又使用演绎证明的一种方法，是归纳法与演绎的完美结合。

二、学情分析

1、学生的知识经验基础。（1）学生已有数学归纳法的经验以及知识萌芽。学生在学习本课程前没有接触过数学归纳法，但是数数，寻找数列的规律，等差等比数列的通项以及前n项和公式的推导，都蕴含着数学归纳法的思想。（2）学生已经具备了用某一确定元素代替任意元素的经验，所以学生可以理解数学归纳法中，使用k到k+1的递推去证明对所有正整数都成立的方法。（3）学生在接触数列后，接触与正整数有关的命题越来越多，因此有需要学习数学归纳法，来证明这些无法直接证明的题目。

2、学生可能遇到的困难。（1）对数学归纳法的原理及所要证明问题的特征理解不到位。（2）理解数学归纳法中用有限的步骤去代替无穷的不断重复的过程会有困难。（3）数学归纳法中第二个步骤的理解。用假设进行证明，如何用假设进行证明，都是学生理解起来有困难的地方。（4）学生可能需要经过很长时间才能理解数学归纳法的实质。（5）学生可能过于重视第二步的证明，而对第一步的奠基重视不够。

三、教学目标

1、感受数学归纳法的原理，体会其中蕴含化有限为无限的思路方法。数学归纳法的思想对学生的思维是很好的拓展。而数学归纳法应让学生通过具体的情境来掌握。因此，需要练习，重复，不断地加深对数学归纳法的理解。

2、理解数学归纳法的原理及本质，掌握其步骤与方法，较好的理解“归纳奠基”和“归纳递推”缺一不可，尤其是归纳假设在证明中的重要性。能体会到数学归纳法的实质和核心是递推。

3．能利用数学归纳法证明简单的、蕴含着递推关系的、与正整数有关的命题；能把数学归纳法与观察、归纳、演绎等其它思维方法结合在一起加以使用．

四、教学重点难点

重点： 1、使学生理解数学归纳法的实质 。

2、掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中的归纳假设和递推证明。

难点： 1、使学生理解数学归纳法证题的正确性；

2、递推步骤中归纳假设的利用。

重点难点突破：

强化数学归纳法思想的形成过程，揭示数学归纳法的本质。

教法分析：

为实现以上的教学目标，应基于数学归纳法的源头，基于学生头脑中蕴含的数学归纳法的萌芽，让学生在教师的指导下自己发现、归纳出数学归纳法，并不断完善和深化，以达到知识、能力、思维、情感教学相互渗透、相互促进之目的．

五、教学过程

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六 时间安排

引入：问题一,一分钟；问题二，三分钟；问题三，五分钟；

新课：问题四，一分钟；问题五，六，七，八，每个四分钟左右，不超过二十分钟；

课堂练习：十分钟；

小节：三分钟；

习题布置：一分钟。

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八  设计反思

本教案对教学内容，学情，都分析得很到位，也能从高观点把握数学归纳法。教学目标的制定也很合理。对重难点的把握也比较到位。教学过程的设计能够比较好的引导学生生成数学归纳法的思维，完整，清晰，逻辑严密，在时间安排上着重前面学生思维的养成，比较合理。例题，课后习题都很合理。

但是，由于经验缺乏，可能在引导学生建立数学归纳法思维的时候，不能非常有力的达到教学目标，需要多多锻炼。老师在教授这个内容的时候必须思考全面，首先建立起完备的逻辑，才能给学生讲解清楚。