如何将1~9填入九宫格，使其横竖斜都等于15？_四川乡村骆小哥

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如何将1~9填入九宫格，使其横竖斜都等于15？

(2016-01-10 22:08:06)

标签：

杂谈

教育

数学

九宫格

分类：资源分享

昨天一起拧螺丝的工友说，我读书多，让我帮他看一下他侄女三年级的数学题，如何将1~9填入九宫格使其横竖斜都等于15，倒是很快就填出来了，可是为什么要这么填呢？将问题分别发到了微博和企鹅的某某圈里面，果然得到了很多的回答，学霸还是多。。

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我已然感觉三四年级是混不下去了，准备回二年级混去了，有木有表哥在读初一的求罩啊。。。

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4 9 2

3 5 7

8 1 6

有人说，在射雕英雄传里面这个题目困扰了瑛姑20多年，后来被黄蓉分分钟就解决了。《射雕英雄传》中，英姑对黄蓉说：“你算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三个字相加都是十五，如何排列？”黄蓉当下低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，右三左七，戴九履一，五居中央。．…”其实，北宋刘牧著的《易数钩隐图》中和这个口诀匹配的还有一首诗：四季九花二重开，三杨五柳七处栽，八哥一唱六鸟应，九宫奇境仙人来。"

灵龟是又是什么？原来灵龟是背负洛书的神龟。

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相传，上古伏羲氏时，洛阳东北孟津县境内的黄河中浮出龙马，背负"河图"，献给伏羲。伏羲依此而演成八卦，后为《周易》来源。又相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮"洛书"，献给大禹。大禹依此治水成功，遂划天下为九州。又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》。《易·系辞上》说："河出图，洛出书，圣人则之"，就是指这两件事。

河图上排列成数阵的黑点和白点，蕴藏着无穷的奥秘；洛书上，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和皆等于15，十分奇妙。对此，中外学者作了长期的探索研究，认为这是中国先民心灵思维的结晶，是中国古代文明的第一个里程碑。

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怎样用数学的方法求出来九宫格里面的值？

数学里面对于不知道数的最简单的处理方法就是设置未知数，比如X、Y、Z等，当然这个跟三年级的人能够说的明白不呢？已经不记得小学的时候有木有学未知数了，如果后面出现三年级没有学过的数学方法，还请大家见谅，毕竟以三年级的智商，我就很难向你解释清楚了。

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咱们先设置九宫格分别填入的数是：A、B、C、D、E、F、G、H、I 九个数取值范围[1,9]，如图：

A B C

D E F

G H I

那么，横竖斜等于15，转化成数学表达式就是：

A+B+C=15、D+E+F=15、G+H+I=15、A+D+G=15、B+E+H=15、C+F+I=15、A+E+I=15、C+E+G=15 ………………………............................（算式组①）

将算式组①中的等式左右分别相加，合并同类项，提取公因式之后：

3（A+C+G+I）+2（B+D+H+F）+4E=120

设：A+C+G+I=X 、 B+D+H+F=Y

其中：X=A+C+G+I=（A+I）+（C+G）=15-E+15-E=30-2E

同理：Y=B+D+H+F=30-2E

即：3（30-2E）+2（30-2E）+4E=120

所以：E=5

将E=5代入算式组①：A+B+C=15、D+F=10、G+H+I=15、A+D+G=15、B+H=10、C+F+I=15、A+I=10、C+G=10

设：M=N=P=Q=10

其中：M=D+F=10 、N=B+H=10 、 P=A+I=10 、 Q=C+G=10

而从1~9中加起来等于10一共有四组数分别是：1+9、2+8、3+7、4+6

设：J=K=R=S=10

J1=1、J2=9、K1=2、K2=8、R1=3、R2=7、S1=4、S2=6

则：J=J1+J2=1+9 、K=K1+K2=2+8 、R=R1+R2=3+7、S=S1+S2=4+6

前面的这几步设置，无非就是找到四组相加等于10并设置了字母替代相关等式；

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这里需要安利两个数学概念：偶数：能够被2整除的整数；奇数：不能够被2整除的整数

所以：奇数+奇数=偶数、偶数+偶数=偶数、奇数+偶数=奇数

而且，我们可以发现刚才的J、K、R、S正好分别是两组偶数、两组奇数。

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E=5代入如图：

A B C

D 5 F

G H I

观察九宫格我们可以发现：如果确定十字形的B、D、H、F的值，并不能够写出A、C、G、I的值，但是只要确定了位于两个对角线上的A、C、G、I的值，就可以完全确定B、D、F、H的值了。

所以我们先确定A、C、G、I的值，这四个值一共有三种：四个数都是奇数、两个奇数两个偶数、四个数都是偶数。

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下面我们两验证这三种可能：

假设一：对角线上两组数都是奇数，那么中心十字形必然为偶数，以A、B、C为例，则是：A（奇数）+B（偶数）+C（奇数）=偶数而不会是奇数15。所以，假设一不成立。

假设二：对角线上两组数为一奇一偶的组合，那么以第一行为例，A+B+C=（A+C）+B=奇数+B，如果要等于15，那么B必然为偶然，同理F 也必须为偶然，所以中心十字上两组数都必须为偶数，与前面得出的四组数只有两组奇数两组偶数不符，所以假设二不成立。

假设三：对角线上两组数都为偶数，按前面的方法，以第一行为例，A+B+C=偶数+B，如果要等于15，那么B必然是奇数，同理D、F、H也为奇数。符合前面的J、K、R、S四组数两组奇数两组偶数的规律。

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那么，K、S两组数必然是放在对角线上面，J、R两组数放在十字形上面。而：J=J1+J2=1+9 、K=K1+K2=2+8 、R=R1+R2=3+7、S=S1+S2=4+6

1、当K在A—I位置、S在C—G位置时：

①K1在A位置、S1在C位置时，I=K2=8，G=S2=6：

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②K1在A位置、S2在C位置时，I=K2=8，G=S1=4：

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③K2在A位置、S1在C位置时，I=K1=2，G=S2=6：

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④K2在A位置、S2在C位置时，I=K1=2，G=S1=4：

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2、当S在A—I位置、K在C—G位置时：

①S1在A位置、K1在C位置时，I=S2=6，G=K2=2：

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②S1在A位置、K2在C位置时，I=S2=6，G=K1=8：

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③S2在A位置、K1在C位置时，I=S1=4，G=K1=8：

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④S2在A位置、K2在C位置时，I=S1=4，G=K1=8：

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经过上面的讨论，一共得到八个解。。。。。

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http://ww4/large/9e737dc3gw1ezuoclphmnj20qo0f0mzc.jpg 这样算是用数学方法解出来的不呢？但是好像这样也是无法给三年级的小朋友说不明白啊。。。。http://www/uc/myshow/blog/misc/gif/E___6706EN00SIGG.gif

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到这里，我又产生了一连串的疑问，为什么九宫格横竖斜的和等于15呢？而不可以是其它的数？3X3的九宫格有这个规律，4X4宫格、5X5的宫格是不是也有类似的规律呢？

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此篇文章发于2016年1月10日发表于@巴蜀落红的个人微博，因2016年2月10日偶登博客，发现文章自动同步到博客时候，造成某些数学标点符号遗漏，特于2月10日重新编辑发布。

微博原文地址：http://weibo.com/p/1001603929859100422066?from=page_100505_profile&wvr=6&mod=wenzhangmod

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其实，这类N*N的宫格还有一个名字叫做幻方，刚才做的3*3的幻方是最简单的幻方。人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：S=n(n^2 1) /2 其中n为幻方的阶数，所求的数为S。

关于幻方的规律，在此就不搬运度娘了，大家可以自行前往。

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