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    看完了三个概念之后，我们对三个概念有了一定了解（最起码公式要好好看看吧http://www/uc/myshow/blog/misc/gif/E___6702EN00SIGG.gif）

 

    下面，我们来进入正题，说说matlab中的方差函数var 还有 协方差函数cov ,对于这两个函数，当然我们可以通过 matlab中help两下解决，但无奈对于英语是心有余而力不足http://www/uc/myshow/blog/misc/gif/E___6706EN00SIGG.gif，假如看官自认为英语还不错的话，你可以去help matlab去了。

    好了，忠诚的小鸟们，开始上课：

    这节咱们讲的是matlab中的方差函数var的用法及具体分析 ， var 是用来求方差的，但是首先我们应该清楚的区分两个概念，即方差和样本方差的无偏估计,简要来说（你要是不想简要，详细细内容可以看上一篇http://www/uc/myshow/blog/misc/gif/E___6702EN00SIGG.gif）就是，方差公式中分母上是N，而样本方差无偏估计公式中分母上是N-1 （N为样本个数）。

   

    OK！正题！

函数名称： var

 

函数功能：求解方差

 

函数用法：var（X)   %与var(X,0)相同

          var(X,W)

          var(X,W,dim)

 

注：var(X,W)  % W可以取0或1，取0求样本方差的无偏估计值（除以N-1；对应取1求得的是方差（除以N）， W也可以是向量，但必须与X中的第一个维度数相同，即length(W)= size(X,1)          
  所以还存在：  var(X ,0 ,dim) % 除以N dim =1 对每列操作  dim = 2 对每行操作
                var(X ,1 ,dim) % 除以N-1 dim =1 对每列操作  dim = 2 对每行操作

   

    var(X,W,dim)   % 关于W取向量时，把Ｗ看做Ｘ中观察值发生的次数（或者说概率也行）

 

下面详细介绍秘籍：

.........................................................
对于X是向量时，把向量中每个元素看做一个样本
var（X)或者var（X，0)函数输出这个向量中元素的样本方差的无偏估计值，var（X,1)输出的是样本方差

例1：

>> a = [1 6 1 4];
>> aa = var(a)

aa =

     6

>> a_var = var(a,1)

a_var =

    4.5000

>> (sum((a-mean(a)).^2))/(length(a))

ans =

    4.5000

............................................................

对于X是矩阵时

把每行看做一个观察值，每列看做一个变量，函数输出一个行向量，每个元素计算的是该列的方差

例2：

>> X= [1 6 6;4 2 5;7 2 3]

X =

     1     6     6
     4     2     5
     7     2     3

>> XX=var(X)

XX =

    9.0000    5.3333    2.3333

>>  (sum((X-repmat(mean(X),3,1)).^2))/(size(X,1)-1)  %验证

ans =

    9.0000    5.3333    2.3333

>> X_var = var(X,1)

X_var =

    6.0000    3.5556    1.5556
>> (sum((X-repmat(mean(X),3,1)).^2))/(size(X,1))  %验证

ans =

    6.0000    3.5556    1.5556
——————————————————————————————
对于var(X ,0 ,dim) 或者 var(X ,1 ,dim) 前面已说 0 对应 除以N-1； 1对应除以N； dim 指维度信息，默认为1，dim =1 就指对每列操作； dim =2 就指对每行操作。

 

下面以 var(X ,0 ,dim) 为例进行试验验证：

参考结果：默认为1情况↑（往上看）

>> var(X ,0 ,2)

ans =

    8.3333
    2.3333
    7.0000

>> Y = X';
>> var(Y)

ans =

    8.3333    2.3333    7.0000  （一样吧）

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对于 var(X,W)、var(X,W,dim) 中W为向量的情况：

把Ｗ看做Ｘ中对应观察值发生的次数（或者说概率也行）处理，为了清除，现粘贴matlab部分源代码(笔者好心已加注释)如下：

function y = var(x,w,dim)

%   The weighted variance for a vector X is defined as
%
%      VAR(X,W) = SUM(W.*RESID.*CONJ(RESID)) / SUM(W)
%
%   where now RESID is computed using a weighted mean.

    wresize = ones(1,max(ndims(x),dim)); wresize(dim) = n;
    w = reshape(w ./ sum(w), wresize);                     

      % w 看做是x中每个观察值的出现次数，这样w ./ sum(w)即使每个观察样本出现的概率，
    x0 = bsxfun(@times, w, x);                             

      %根据这个概率权重求出期望值或者平均值sum(x0, dim)
    x = bsxfun(@minus, x, sum(x0, dim));                   

      %where now RESID is computed using a weighted mean. 这儿就是那个RESID
    y = sum(bsxfun(@times, w, abs(x).^2), dim);            

逐行验证：

>> clear
>> x= [1 6 6;4 2 5;7 2 3]

x =

     1     6     6
     4     2     5
     7     2     3

>> w = [1 2 3];
>> dim = 1 ;
>> n = size(x ,dim)

n =

     3

>> wresize = ones(1,max(ndims(x),dim))

wresize =

     1     1

>> wresize(dim) = n

wresize =

     3     1

>> w = reshape(w ./ sum(w), wresize)

w =

    0.1667
    0.3333
    0.5000

>> x0 = bsxfun(@times, w, x)

x0 =

    0.1667    1.0000    1.0000
    1.3333    0.6667    1.6667
    3.5000    1.0000    1.5000

>> x = bsxfun(@minus, x, sum(x0, dim));
>>  y = sum(bsxfun(@times, w, abs(x).^2), dim)

y =

    5.0000    2.2222    1.4722

>> var (x,w)  %验证下成果

ans =

    5.0000    2.2222    1.4722

你要是还感觉晕的话（http://www/uc/myshow/blog/misc/gif/E___6706EN00SIGG.gif），下面以第一列为例说明W作用

>> X= [1 6 6;4 2 5;7 2 3];
>> a = X(:,1);                 %取出第一列
>> b = w ./ sum(w);            %求出概率矩阵
>> a0=a.*b;                   
>> a1=sum(a0);                 %求出第一列在W概率加权下的平均值
>> a2=a -a1;
>> c = w.*(a2.^2)              %W看做是每个观察值的出现次数，求出在此加权下的方差
>> sum(c)

ans =

     5

注意： 需要注意的是，这种情况下求出的是样本的统计方差（也就是除以N的那种，因为式中w ./ sum(w)），并非样本方差无偏估计值

当然对于var(X,W,dim)中dim=1（对每列求方差）dim=2(对每行求方差)也可以进行验证，由于方式基本与之前的相同，在此不再赘述

                              

 二师兄，快到了！                

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