电磁场规范变换的物理意义与效应的本质

梅  晓  春

 

摘要 本文说明由于电磁场运动方程的不变性，电磁场规范变换群参数的形式不能是任意的，电磁势的规范变换实际上等于在原来的电磁势中叠加光子场。由此可以说明为什么量子理论中只能用电磁势，不能用电磁场强和来构造相互作用的原因，很好地阐明效应的物理本质。文中还证明效应等现象本质上由几率波传播过程中的推迟效应引起，不属于贝里相位的范畴。

 

 

先讨论电磁规范变换的物理本质问题。在经典电磁理论中，直接测量意义的是电场强度和磁场强度，它们与电磁势和之间的关系为：

                                                       （1）

但电磁势和被认为是不确定的，没有直接的测量意义的。之所以说电磁势和是不确定的，是由于引入任意函数或群的群参数，进行规范变换：

                                 （2）

代入（1）式可知和的形式不变。（2）式似乎表明和的形式可以是任意的，就不具有直接的测量意义，不会对实际的物理系统产生直接的影响。然而1959年由Aharonov和Bohm 提出的效应，以及其后的一系列实验彻底改变了这一看法。目前人们普遍认为在经典力学范围内电磁运动仍应由和确定。但在量子力学运动方程中，磁势对带电粒子的运动会产生影响，因此磁势就不是一个只是为了理论处理方便而引入的工具，它具有真实的物理意义。但如何正确理解电磁势规范变换的任意性问题还是有待于研究，因为一个有真实意义的物理量不可能是任意的。

以下我们将看到，只要正确理解电磁场的运动方程的解以及规范变换的真实意义，电磁势的任意性问题实际上不存在。电磁势的规范变换实际上意味着改变系统中光子场的强度，而这并不是一个可以任意的行为。将（1）式代入电磁场的运动方程：

                                                        （3）

                                                      （4）

可以得到四维电磁势满足的运动方程：

                 （5）

                           （6）

另从数学上考虑，规范变换自由度存在是由于在（1）式中只定义了的旋度，没有定义的散度知道光靠一个矢量的旋度是不足以确定矢量场的。为了确定矢量场，我们还必须定义散度。但由于电磁场和的定义中没有对的散度进行限制，我们原则上可以令取任意值来作为确定确定矢量场的辅助条件。每一种选择代表一种规范条件，以下先讨论取洛伦兹规范条件：

                                （7）

时的情况。在洛伦兹规范下四维电磁势的运动方程可以写成很对称的形式：

        或                   （8）

式中是四维电流密度。当时（3）变为齐次波动方程：

          或                        （9）

上式描写的是在全空间都没有电荷与电流存在时，电磁场的运动方程。方程（3）的一般解可以写为，其中是与电流密度有关的特解：

                        （10）

式中。是满足齐次方程（9）式通解，或代表与电流密度无关的光子场。而按上式，洛伦兹条件实际上代表电荷守恒。 在直角坐标系中，我们可将写为平面波叠加的形式：

                  （11）

另外我们可以将规范变换（1）式写成协变形式。对电磁场运动方程（8）式进行规范变换，可以得到：

                       （12）

与（8）式比较就得到：

                                                                        （13）

可见群参数的形式不能是任意的，必须受到的限制。令，则限制条件为。可见与满足相同的方程，故和一样，实际上代表光子场，规范变换就变为：

                        （14）

因此电磁势的规范变换就等于在原来的电磁势中叠加光子场，使原来的光子场的密度改变。电磁场强度和在（2）式的变换下不变的意义是，光子场对宏观电磁场强度不产生影响。因此按（11）式，或可以看成不同频率不同位相的电磁波叠加，使得光子场对宏观带电体的作用力互相抵消。也可以说光子场的电磁场的高频振荡使宏观大质量带电体无法发生感应，正负方向的作用力互相抵消。电子将（11）式代入（1）式，由于规范变换下，，可得：

                                                       （15）

将（11）式代入，得：

          （16）

           （17）

只要系数，和间满足以上关系，就可以使（15）得到满足。

由此我们就知道为什么在量子理论中要用电磁势，而不能用电磁场强度和来表示相互作用的原因。自量子力学诞生以来人们试图用电磁场强度和来构造相互作用理论，但总不能成功。原因在于若用电磁场强度来构造相互作用理论，就忽略了光子场的存在，有信息丢失。在微观条件下光子场对单个微观带粒子的相互作用是不能忽略的。因此电磁势是一个有真实意义的物理量，不存在任意性。规范变换等于在原来的电磁势中叠加光子场，而加入光子场并不是一种任意的行为。

以下继续讨论取库仑规范时，电磁势的运动方程的规范变换。此时（5）、（6）式变为：

                        （18）

在既没有电荷也没有电流存在的空间中，上式变为：

                           （19）

若整个空间都没有电荷分布，可以令库仑场的标势，得到：

                           （20）

上式与采用洛伦兹规范条件时得到的（9）式是一致的，上式是自由电磁波的运动方程，其解为：

                             （21）

从库仑规范条件可以得到，表明库仑规范确定的磁势只有横向分量，刚好足够描述辐射电磁波的两个独立偏振。事实上从量子场论中我们知道，采用洛伦兹规范条件时，我们也要假设四维磁势量第三第四分量算符之和的真空期望值为零，只存在横向光子。此结果表明实际物理过程的描述是与规范条件的选择无关的，不论采用什么规范条件，用来描述真实过程的物理必须达到一致。

同样令，，在库仑规范条件下对（18）式做规范变换，令，考虑到：

                        （22）

得：

                         （23）

上式与（20）式的形式完全一样的。故可以说在库仑规范条件下，规范变换也等价于在原来的电磁势中叠加光子场。此结果也说明规范变换不是一种任意的行为，因此电磁势应当被认为是有真实意义的物理量。电磁势的任意性来自其散度的不确定性（或规范条件的不确定性，如可选洛论兹规范或库仑规范），不是来自规范变换的不确定性。                               

    以下证明效应不是由贝里相位引起。贝里在1984年指出对于量子力学的非简并绝热过程，存在一个与时间有关的可以测量的相位，之后有许多实验证明了贝里位相的存在。贝里认为波函数的时间依赖关系可以由参数确定，可将本征态写为，求得：

     （12）

设参数经历一个循环过程的时间为，选取，对于绝热过程当时就会产生一个贝里位相：

                     （13）

可以看出贝里位相与空间坐标无关，是一种整体效应。对于任意空间点，波函数在参数经历一个循环过程后产生的位相都是一样的。目前许多文献都认为，只要在上式中令和：

                       （14）

就可以用（13）是来描写效应，因而就认为效应是由贝里相位引起，然而这实际上是不可能的。首先在效应的实验中磁势与时间无关，不存在对时间依赖的动力学参数。其次令时间依赖参数也是不可能的，因为在几率波的描述中，时空坐标和时互相独立的，我们不可能有这样的时空坐标依赖关系。如果令，我们就不得不将含时波函数写为。同样的坐标，一个与时间有关另一个与时间无关，就产生矛盾，不可能得到（12）式，因此定义贝里相位的参数空间不可能是坐标空间。可以指出效应是由几率波的推迟相位引起，而几率波推迟相位是包含在本征态波函数中的。这与贝里相位不一样，贝里相位是与本征态波函数无关的相位，以下进行讨论。

 狄拉克在1931年讨论了电荷为的粒子在磁场中的运动，运动方程为：

                （15）

方程的解为：

          （16）

将（16）式代入（15）式，可得本征方程：

     （17）

可以求得，可见加入磁势后不改变自由粒子的能量。对于绝热过程，时系统处于本征态，在任意时刻系统处于态，二者相差一个含时因子。而我们实际上是用本征态来计算效应的，就与贝里相位无关，因为贝里相位是独立于本征态的。实际上自由粒子波函数中，因子是几率波传播过程的推迟相位，由于自由粒子的是常数，此相位仅与始末态位置有关，与几率波传播的路径无关。但加入磁势后改变了几率波的位相，产生了额外的位相：

                          （18）

上式实际是几率波传播过程中由于磁势的存在额外引起的推迟位相，这个位相与几率波传播过程的路径有关。两束这样的几率波沿不同的路径运动，并在空间某点相叠加时，产生的位相差会形成干涉。令，是磁通，当几率波沿某闭合路径运动一周回到时，就有：

         （19）

最后即使令，按（14）式可得，（14）式也不成立。可见效应实际上是由几率波传播过程中产生的推迟位相引起，与贝里相位无关。实际上还有其他一些过去被认为是贝里相位效应的现象，其实是几率波传播过程中产生的推迟相位，如Aharonov—Carmi效应和Aharonov—Casher效应等，以下对此进行分析。

（1）Aharonov—Carmi效应

1973年Y. Aharonov和G. Carmi提出惯性力矢量势的几何效应问题。在一个相对于惯性参考系以恒角速度转动的参考系上，粒子受到惯性力 和科里奥利力。引入惯性矢量势和标量势，可以将哈密顿量写为：

                        （20）

显然与效应完全相似，解运动方程可得几率波：

                     （21）

产生的相位差为：

                        （22）

式中是两中子束运动路径形成的面积。可用两束热中子在地球转动引力场中进行的干涉实验来验证。显然由于哈密顿量只是坐标的函数与时间无关，此相位差是几率波的推迟相位差，与贝里相位无关。

（2）Aharonov—Casher效应

    1984年Y. Aharonov和A. Casher提出有磁矩的电中性粒子不受电磁场力，仅在电磁势的作用下产生的相位问题。设中性磁子的磁矩为，电偶极矩为，为电场强度，哈密顿为： 

                          （23）

显然也与效应完全相似，解运动方程可得几率波：

                    （24）

用两束电中性粒子波在场中进行干涉实验，产生的相位差为：

                              （25）

同样由于哈密顿量与时间无关，此相位差是几率波的推迟相位差，也与贝里相位无关。

在量子力学中，过去人们总认为波函数的相位是不可观察的。贝里相位的出现改变了人们的看法，但目前对几率波推迟相位的作用还认识不足。事实上对于一般的量子力学绝热过程，我们总可以将几率波函数写为：

         （26）

其中和是实数，即本征态中所有的相位都包含在指数的积分中。令：

                      （27）

上式表示绝热过程在时刻空间和两点间几率波的相位差，此相位差与时间有关，若设时，上式就表示几率波在时刻点的振动经过时间绝热传到点时产生的推迟相位差。此相位差一般还与积分路径有关，具有不可积性。可将上式在时间间隔内进行统计平均，将相位差写为：

                 （28）

若与时间无关时，，则几率波在时间内沿闭合回路运动一周，产生的推迟相位差就是：

                  （29）

因此对于量子力学绝热过程，一般总存在几率波的推迟相位。这种推迟相位一般与几率波传播的路径有关，属于不可积相位。若当两束这样的几率波沿不同的路径运动后进行叠加时，就会形成干涉。虽然按（26）式，几率波推迟相位的存在对几率密度不产生影响。

 

参考文献 

(1) 郭硕鸿，电动力学，人民教育出版社，163, 166 (1979).

(2) Y. Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev., 115, 485 (1959).

(3) Berry M. V., Proc. Roy. Sco. London, A392, 45 (1984).

(4) Aharonov Y., Carmi G. Found.Phys, 3, 493 (1973).

(5) Werner S.A., Standenmann J. L., Clella R. Phys. Rev. Lett., 42, 1103(1979). 

(6) Aharonov Y. Casher A. Phys. Rev. Lett. 53, 319 (1984).