一．问题描述

一根长度为0.1米m，截面为0.01m*0.01m的等截面杆，一端完全固定，另外一端自由。其弹性模量是2e11（N/M2）,密度为7800kg/m3,要计算杆纵向振动的固有频率。

二．理论分析

根据机械振动的理论，可以计算出其前五阶纵向振动的固有频率是：F1 = 12659 HZ；F2 = 37978 HZ；F3 = 63296 HZ；F4 = 88615 HZ；F5 = 113933 HZ

三．建模分析

• 由于只计算杆件的纵向振动，使用LINK180
• 逐渐增大单元数目，考察固有频率的多少及大小

四．建模过程

1. 进入ANSYS APDL.

2. 选择LINK180

3. 输入截面尺寸，只需要输入横截面积为1e-4.

4. 确定材料模型。

弹性模量为2e11（N/M2）

密度为7800kg/m3

6. 创建几何模型

先创建两个关键点（0，0,0），（0.1,0,0),然后将它们连接成为直线。结果如下图。

7. 划分网格

只划分一个单元，并打开横截面开关，结果如下图。

8. 固定左边端点（关键点）

9. 直线在Y和Z方向无位移

约束后结果如下图

10. 确定新分析是模态分析

11. 确定模态提取算法及要展开的模态数

这里使用BLOCK LANCZOS方法提取前10阶模态，并展开之。

12. 进行计算

13. 查看结果

可见，只有1阶模态，固有频率是13959，与理论值有出入。

理论值有5阶模态，而且第一阶固有频率是12659 HZ，显然与这里的13959是有差距的。

出现这种现象的原因，是这里划分的单元太少，只有1个单元，2个节点，而其中还有1个节点被固定，因此只有1个节点是自由的，而该节点的Y,Z自由度都被限定，所以最终只有X一个自由度，所以只有一阶频率。

要得到5阶频率，需要进一步增加单元数目。

 

14.讨论

（1）对直线划分2个单元，重新计算。结果如下图

计算结果如下图

可见，现在有了2个固有频率。与理论值相比

F1 = 12659 HZ；F2 = 37978 HZ；

第一阶频率已经比较接近，但是第二阶频率还颇有差距。

 

（2）对直线划分3个单元，重新计算。结果如下图

计算结果如下图

可见，现在有了3个固有频率。与理论值相比

F1 = 12659 HZ；F2 = 37978 HZ；F3 = 63296 HZ；

第一阶频率更加接近，二阶频率也更接近，而第三阶频率则还有距离。

 

（3）对直线划分5个单元，重新计算。结果如下图

计算结果如下图

可见，现在有了5个固有频率。与理论值相比

F1 = 12659 HZ；F2 = 37978 HZ；F3 = 63296 HZ；F4 = 88615 HZ；F5 = 113933 HZ

前面的2阶频率比较接近，而后面的3阶频率还有距离。

 

（4）对直线划分10个单元，重新计算。结果如下图

计算结果如下图

可见，出现了10个频率。与理论值相比

F1 = 12659 HZ；F2 = 37978 HZ；F3 = 63296 HZ；F4 = 88615 HZ；F5 = 113933 HZ

前3阶比较接近，而后面阶仍旧有距离。

 

（5）对直线划分20个单元，重新计算。结果如下图

计算结果如下图

可见，还是只有10个频率（因为只设定了计算10个频率）。与理论值相比

F1 = 12659 HZ；F2 = 37978 HZ；F3 = 63296 HZ；F4 = 88615 HZ；F5 = 113933 HZ

前5阶频率的误差进一步减小。

【小结】

对于连续体而言，其固有频率是无限多的。使用有限元方法，有几个活动自由度，就有几个频率。当网格划分增加时，节点自由度增加，从而固有频率数目增加，而同时计算精度也增加。