我们首先从材料力学中最难的问题开始，这就是超静定问题。我系每年期末考试试的最后一道题，都是超静定问题。

【问题】如图所示的刚架AB的A端固定，B端是滚动支座，而在BC的中点施加竖直向下的集中力F，已知抗弯刚度为EI，要求B点的支反力。

【问题分析】

该刚架在A端是固定端，有3个未知反力；在B端是滚动支座，有1个未知反力；一共是4个未知反力。

而只有一根杆件，按照理论力学，只能列出3个独立的平衡方程。

因此，理论力学不能求出所有的未知数，它是一个超静定问题。

对于超静定问题，需要追加一个方程，以解出这个多余的未知数。

此时要使用力法。即首先解除B点的滚动支座，并用力来代替。然后在B点列出位移协调方程，从而解出B点的未知力。

详细求解过程如下。

【求解过程】

首先是用力法，解除B点的滚动支座，并用一个竖直向上的集中力F(B)来取代，得到下图。

上图在受力形式上与原问题一致，另外对于原问题而言，B点是没有竖直位移的，因此需要追加一个方程，以保证与原问题的一致性。该方程就是B点无竖直位移。

这就是我们所需要追加的那个方程。下面我们就可以基于该方程，解出B点的约束力F(B)。

这个方程看上去非常简单，但具体操作并不容易。方程的右边是0，左边是B点在竖直方向的位移，下面的任务实际上就是求出B点的竖直位移，它一定会是F(B)的函数，即

从而原方程最终是

这样，一个方程，一个未知数，从而可以解出F(B)。

因此下面的任务其实就是得到

即计算B点的位移。

计算一个刚架上某点的位移，这属于求变形的问题。

在材料力学中，计算变形有三种方法：叠加法，积分法和能量法。

这里要计算B点的竖直位移，可以使用积分法。只需要把刚架分为三段，然后列出内力方程，从而得到三个挠曲线微分方程，积分得到转角方程和挠度方程，再使用边界条件和连续性条件，解出其中的待定系数，最后可以得到B点的挠度。

也可以使用叠加法。那就需要分别计算F和F(B)作用下刚架上A点的位移，然后叠加。

上述两种方法都很复杂。叠加法貌似简单，但它以积分法为基础。考试时也不能查表，所以仍旧需要先积分得到单独载荷下的挠曲线方程，然后叠加，实际上也很复杂。

使用能量法是解决上述问题最快的方式。

能量法有几种使用方式，我们这里只介绍如何用单位载荷法来求解B点的数值位移。

要使用单位载荷法，需要得到原结构的内力，然后得到新结构的内力，最后利用公式就可以解出B点的竖直位移。

再次抄录原结构如下（左图）。并拷贝原结构（不要外力）,并在B点施加一个竖直向上的单位力1如下图（右图），这个结构我们称为新结构。

按照单位载荷法，下面的任务主要是计算原结构下的内力，和新结构下的内力，

要计算原结构的内力，显然需要分为三段,BD,DC,CA.而要计算新结构的内力，只需要分为两段,BC,CA.

对于刚架而言，内力一般有三种：轴力，剪力和弯矩。在通常情况下，轴力和剪力都可以忽略，我们主要考虑弯矩。

首先计算原结构的内力。重抄原结构如下。

BD段的内力。使用截面法，用一平面在BD之间截断刚架，并选取左半部分为对象，绘制受力图如下。

由于我们只需要计算弯矩，因此对该截面的形心取矩列出力矩方程

再对DC段做同样的分析。

同样对该截面的形心取矩列出力矩方程

再对CA段分析，取上半部分为对象

对该截面的形心取矩列出力矩方程

 

下面转到新结构。该结构只需要分为BC,CA两段计算内力。

BC段。要高度注意，此时的内力的假设方向应该严格与原结构保持一致。而且X也是从B点开始。

该截面的内力是

然后是CA段。同样高度注意其内力的假设方向与原结构保持完全一致。而且X也是从C点开始。

好，现在内力终于计算完了，开始用公式计算B点的竖直位移。

请注意，上式中右边由三项组成，第一项实际上是新结构在BD段储存的虚应变能；第二项是新结构在DC段储存的虚应变能；第三项是新结构在CA段储存的虚应变能.请注意每一项中弯矩的对应性。尤其要注意的是第二项，对于原结构而言，内力是M(2)；而对于新结构而言，其内力仍然是M(1).

下面的任务只是把前面计算的内力往这里面代入，并积分就可以。

由于

故而有

由此解出了B点的约束力。

 

【小结】

• 计算刚架的某个支座的约束力，通常使用力法。
• 力法就是解除约束，并用反力取代，同时追加变形协调方程。
• 变形协调方程是某个位移等于零。所以关键是要计算该位移。
• 计算该位移的方法有三种：积分法，叠加法和能量法。对于期末考试而言，几乎总是用能量法求解位移。
• 本文用的是单位载荷法求解位移。
• 使用单位载荷法，要分别计算原结构和新结构的内力。
• 刚架计算中，基本上只考虑弯矩这个内力。
• 要计算内力，对原结构和新结构都要分段。
• 分段绘制内力图时，要高度注意原结构与新结构对应段的坐标系和内力假设方向完全一致。只要一致就可以，至于每一个具体的内力图中弯矩的方向是无所谓的。
• 在列单位载荷法公式时，一定要注意对照原结构和新结构，看看分几段列出右边的公式。
• 单位载荷法的关键是计算内力。
• 建议大家把这道题完整的做一遍，从中体会超静定问题的求解过程。