大家在学习理论力学的过程中应该深深的感觉到运动学的重要性。理论力学的三大模块中，除开静力学以外，运动学自成一块，而动力学的解题过程中，我们也可以充分感受到运动学在其中的重要性，因此学习好理论力学，运动学是必须花费较大精力的。

运动学问题通常有两种解法：运动方程的方法和运动链的方法。

运动方程的方法适用于那些原动件在匀速运动，而且几何关系便于建立的问题；而运动链法则具有普适性。无论是上课，还是期末考试，考研等，运动链法都是重点。

那么运动链法如何使用呢？

我在前些年写过一篇文章，发表在《力学与实践》杂志上，现在看起来，其观点依然正确，所以原文抄录如下，希望对于大家学习，理解运动学有帮助。

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求解运动学问题的运动链法

宋少云

（武汉工业学院机械系，武汉，湖北，430023）

摘要：详细阐述了求解理论力学的运动学问题的运动链法。首先进行机构分析，然后画出运动链图，根据运动链图确定求解方案，然后实施该方案。列举了两个典型例题说明使用该方法求解运动学问题的过程。

关键词：运动学，运动链

Abstract：Motion chain approach to solving kinematics of theoretical mechanics is discussed. Mechanical analysis is done at first; and then motion chain is depicted; solving scheme is decided according to the chart of motion chain subsequently; finally the scheme is carried out. Two typical examples are calculated by this approach.

Key words: kinematics, motion chain

在理论力学的三大模块中，运动学占据着十分重要的位置。除了运动学自身的重要地位以外，在动力学问题中，运动学的作用也是举足轻重。对于动力学的问题，不管是采用动力学的普遍原理，还是用达朗伯原理或是虚位移原理，在这些基本方程列出来以后，一般需要补充运动学的方程。在多年的教学实践中，笔者发现，动力学问题之难解，并不在于动力学本身，而在于运动学基础不牢。因此，如何教好运动学有着重要的意义。

以往的教科书和参考书籍中，对于运动学的综合题，大多从具体的问题出发给出其求解方法。这种方法有其合理性，但是笔者发现，仅仅对于与这些例题类似的问题，学生还可以模仿，但是题目稍微变化以后，学生又感到无从下手了。有些时候，学生也解出来了，但是他们甚至不明白自己是怎么解出来的。因此，笔者认为需要探索出一种求解运动学问题的一般方法，使得运动学的求解有规律可循，而结束这种模糊混乱的求解状态。

受到计算多体系统动力学的拓扑构型的启发，笔者探索出一种求解运动学问题的运动链法，使用该方法在连续几届学生中进行教学，得到了比较好的教学效果。本文将具体阐述这种方法，以与各位同仁探讨。

1. 运动链法的基本思想和求解方案

运动学研究的主要对象是机构，而机构是固定一个构件而形成的闭式运动链，运动链是由两个或两个以上的构件通过运动副连接而成的系统。运动学的基本目的是：对于一个机构，当已知原动件的运动后，求解从动件及其上某点的运动。

众所周知，要形成一个清晰的求解思路，最好的方式是用图形。机构的运动简图是从构件的几何性质和约束性质所作的抽象，要形成一种一般的求解思路，需要进一步的抽象。在计算多体系统动力学中，使用拓扑构型^[1]来描述多体系统中各物体的联系方式。它用一个圆圈来表示物体，用一条连接相邻物体的有向线段来表示一个运动学约束，它进一步舍弃了构件的几何外形和运动学约束的具体形式，所得到的图形更抽象。但是在运动学中，一个构件内部的点与整体的关系及约束的形式决定着求解思路。因此，我们进一步具体化拓扑构型的内容，从而形成了一种求解运动学问题的运动链分析图，其基本构件要素如下：

图1平移构件示意图 图2转动构件示意图 图3平面运动构件示意图

平移可以归结为一点的运动，因此它总是由一个已知点的运动推断另外一个点的运动（图1）。转动一般是由一个点的运动推知物体的角速度和角加速度，然后再由整体的运动推知任意一点的运动（图2）。平面运动求解速度的主要方法是瞬心法，它需要先确定瞬心及角速度，这一般是根据两个特殊点的速度来推断瞬心（整个刚体的性质），再由瞬心推断一个点的速度，所以这是由特殊到一般，再由一般到特殊的过程。如果使用基点法求速度，则还需要使用已知点的信息，因此这可能还需要另外一条从特殊到特殊的路线；求加速度的方法只有基点法，它一般需要先确定刚体的角速度和角加速度，然后由一个已知点到未知点，这也包含从一般到特殊及从特殊到特殊的两条路线，因此图3可以总结其求解路线，在某些情况下，这里的三个连接点可以合并成两个。图1到图3是常见的构件示意图，实际应用中构件元素的内容一般是其子集。

构件之间的连接分为两种形式：转动副和非转动副。转动副使得运动直接从一个构件传递到另外一个构件，而非转动副则存在运动的转换，一般需要使用点的合成运动的分析方法来进行速度和加速度的过渡，下图表示的是两个构件之间的运动传递，其间的圆圈说明是转动副（图4），矩形说明是非转动副（图5）。

图4 转动副连接示意图 图5 非转动副连接示意图

由于任意一个机构都是由构件通过运动副而形成的运动链，使用图1-图5可以把原机构示意图变成一个运动链图。下面进一步阐述运动链法的求解方案。

对一个运动学问题，使用运动链法的求解方案是：

(1) 机构分析，确定构件的运动形式和运动副。

(2) 绘制运动链分析示意图。

(3) 确定求解方向和求解步骤。

(4) 实施求解方案。

在第一步中，分析机构由几个构件组成，每个构件作什么运动（平移，转动或平面运动），分析各个构件用什么方式连接在一起（转动副或非转动副），从而便于确定对每个构件及其连接使用什么定律求解，此时滑块不作为一个单独的物体对待。第二步使用图1-5所示的方式画出机构运动简图所对应的运动链图，这一步是关键。第三步根据已知和未知确定求解方向，并对于其中的每一个箭头确定一个求解步骤。

2. 使用运动链法的例子

下面用两个例子^[2]说明运动链法的使用。图6中，曲柄匀速圆周运动，求摇杆的角速度和角加速度。图7中，OA匀速转动，求此时套筒D相对于杆BC的速度和加速度。

图6 图7

例1解：

（1） 机构分析（略）。

（2） 绘制运动链图（图8）。

图8 运动链图

（3） 确定求解方向和求解步骤。

图9 求解方案图

运动从OA传入，要求O₁C的运动，因此是一个直线式求解方案。图9中带圆圈的数字表明求解步骤（对于非转动副的地方省略了圆圈，以避免混淆转动副和圆圈），①③④⑤⑦是刚体内部的运算，②⑥是刚体之间的运算。其中在③要由瞬心法计算速度（速度分析），由基点法计算角加速度（加速度分析）。②是转动副，运动直接过渡，⑥是移动副，要使用合成运动的分析方法进行运动的过渡。

（4） 实施求解方案。（略）

例2解：为节省篇幅，直接给出其求解方案（图10）。

图10 求解方案图

运动从OA杆传入，而整个系统是一个封闭式的运动链，所以采用两边夹的计算方案，最后在移动副D处汇合。①③④⑥是刚体内部的运动转换，②⑤⑦是刚体之间的运动过渡，其中⑤⑦是移动副，要使用合成运动的分析方法。

3. 结语

运动学在理论力学中占据着重要位置，讨论其一般的求解思路十分必要。本文提出了运动链的求解方案，用这种方式求解，思路十分清晰，在以往的教学中取得了较好的效果。其本质是在机构运动简图和拓扑构型之间建立了一个过渡的桥梁，使得其图形的抽象适合做小型机构（构件数目不超过6个）的运动学分析。对于大型机构，采用计算多体动力学更合适。

参考文献

[1]洪嘉振。计算多体系统动力学。北京：科学出版社，2002。

[2]哈尔滨工业大学理论力学教研室编。理论力学（I）。北京：高等教育出版社，2003：229。