现在说明应力的概念。

应力是材料力学最核心的概念，它也是变形固体力学中最重要的概念。可以说，材料力学这门课程就是以应力为中心而展开的，所以，理解应力至关重要。

我们从简单的拉伸试验开始考察断裂现象,从而阐述应力的概念。

我们试着在粉笔的两端用力拉它，一根粉笔粗（图1-1），而另外一根粉笔细（图1-2），我们可以看到，在这两种情况下，这两根粉笔的内力是一样的（图1-3，图1-4），但是毫无疑问，较细的粉笔更容易被拉断。这意味着，粉笔断裂的原因不能简单的归于内力（这里相同的内力，较细的更容易断裂），而需要进一步去考察内力在截面上的分布。

实际上，我们需要过渡到截面上更细微的元素，比如说一个点。如图2-1所示，为了描述截面上一个点受到的力的集中程度，我们在该截面上选取一个微小的面积，则这个微小的面积上可以认为只受到一个集中力的作用。用该力除以面积并取极限，这就意味着一个点受力的紧张程度，这个极限称为应力（图2-1）。显然，应力表达了当杆件受力以后，一个点的紧张程度。当这个应力达到某种程度，而超过了材料所允许的程度后，构件就会首先从这个点开始断裂，然后裂纹产生，并向周围扩展，直到整个构件被破坏。

上面定义的应力显然是一个矢量，它的方向由ΔP决定，而ΔP可以取空间的任意方向。为了便于研究，我们把这个应力向垂直于截面和在平面内两个方向分解，得到两个应力分量。垂直于截面的那个应力分量我们称为正应力，记做σ；而在截面内的那个应力分量我们称为切应力，记做τ（图2-2）。下面我们会发现，对于不同的变形而言，有的截面上只有正应力，而有的只有切应力，而有的同时有二者。

首先考虑拉伸的应力。如图3所示，图3中的上图是用截面法后的图形，右边截面上的内力是F_N,该内力是由很多正应力合成的。可以推断，在该截面上，正应力均匀分布（见图3-中图），这样，正应力乘以面积就得到内力，从而可以得出应力的公式（见图3-下图）。从该公式可以知道，截面上内力越大，而截面积越小，则正应力越大，而且正应力在面上是均匀分布的。

接下来考虑扭转的应力。由图4的右上方扭转的内力图，知道截面上只有一个扭矩存在。该截面的右视图见图4-中图。该截面的扭矩显然是由截面内的应力合成的。而截面内的应力只能是切应力。那么这些切应力在截面内还是均匀分布的吗？经过试验发现并非如此。实际上，从中心往外走，应力越来越大，到外圆处达到最大，而且切应力的大小与该点到圆心的距离成正比。经过比较复杂的推导，得到切应力的公式见图3-右下公式。从该公式可以看到，截面上每点的切应力与该截面的扭矩M_T成正比。扭矩越大，则分布在该截面上各点的切应力越大；ρ—是该点到圆心的距离。距离越远，则应力越大；Ip---是极惯性矩，它是表达截面的惯性的一个几何量，纯粹由截面的几何形状和尺寸所决定。该量越大，就意味着截面的惯性越大，越是不容易变形。对于圆形截面而言，极惯性矩完全由圆的直径D所确定（图3-右下公式）。

接下来的剪切应力比较简单。图5-右上图是其内力图。该截面投影的右视图见图5-中图。这是一个圆形，截面内存在一个合力F_Q.同样，这个合力一定是截面内分布的切应力的合作用效果。那么，在该截面内部，切应力是怎么分布的呢？经过研究，可以认为，该截面内部，切应力是均匀分布的。其公式件图5-右下公式。可见，切应力与该截面内的剪力成正比，而与截面积成反比。

最后来到弯曲。图6-上图是用截面法求一个截面的内力（左面是截面）。该截面上本来是有一个剪力和弯矩的。经过研究发现，剪力所起的作用很小，所以这里忽略，只考虑弯矩。显然，该弯矩是由很多垂直于截面的正应力合成的。那么，这些正应力在该截面上是均匀分布的吗？经过研究发现，并非如此。实际上，该杆的中间有一个平面，截面上没有正应力。而往上走，应力越来越大，而且所有的正应力方向都指向截面内部，这种正应力是压应力。而从中面往下走，应力也越来越大，而所有的应力都离开截面向外，称为拉应力。而且还发现，每个点的应力与距中面的距离成正比。

经过一系列复杂的推导，最后得到图6-正下的弯曲正应力公式。该公式中的M就是截面内的弯矩，而Y是某点到中面的距离，I_Z是截面的惯性矩。该惯性矩也是由截面的几何性质唯一的确定的，对于矩形截面，其公式见图6-右下公式。可见，该惯性矩与截面的宽度成正比，而与高度的三次方成正比。所以，截面的高度对惯性矩影响很大。从弯曲正应力公式（图6-正下公式）可以知道，截面上的弯矩越大，则正应力越大；而某点到中面的距离越远，则应力越大；截面的惯性矩越大，则相应的各个点的正应力越小。

总之，我们可以看到，应力表达了受力杆件内某一个点的力集中程度。为便于研究，我们把应力分为正应力和切应力。对于拉伸和弯曲而言，截面上是正应力；对扭转和剪切而言，截面上是切应力。就分布而言，拉伸和剪切时，截面上应力均匀分布；对于扭转和弯曲而言，越往外，应力越大。可见，在任何一种情况下，杆件的表面都是最危险的。所以，为了增加杆件的强度，我们都会进行表面改性，例如淬火，正火，渗碳，渗氮等，以加强表面的强度。