基本图形分析法概述

    图形，是几何学科的研究对象，平面图形，是平面几何的研究对象。一道几何问题，都会以一个图形以及这个图形所具有的各种性质为研究对象。而出现在几何问题中的每一个几何图形，无论是怎样的简单还是怎样的复杂，经过观察和分析，都一定可以发现这样一个事实;即它是由一个或者若干个最简单、最基本也是最重要的图形组合而成的。

    从本期开始，由平面几何"基本图形分析法"的创始人徐方瞿老师讲解如何应用基本图形分析法揭示几何问题分析方法、思维方法规律性。

长期以来，平面几何是一门教师感到难教，学生感到难学的学科，至今仍是制约着教育质量提高和学生成才的“瓶颈”。现在社会上流行“不能输在起跑线上”，但没有输在起跑线上而倒在几何线上的学生何止成千上万。

    那么，几何教和学之难到底难在哪里?实际上就难在三个字，即“规律性”上。在教学中，老师们都有体会，学生问的频率最高的问题是什么?“老师，你拿到这个问题是怎样想的?你怎么想得出来，我怎么就想不出来?”对这样的问题，老师应该怎样回答?不就是应该回答我拿到这个问题后是怎样想的，是怎样一步一步想出来的，但长期以来我们的许多老师都不是这样回答的，而常常是说：“怎样想的?主要是多做题目，积累经验，到时候自然会想”。平面几何最难的教学难点就是添辅助线，学生同样会问：“老师，添辅助线有规律性吗?”显然，学生是在追求“科学”，那老师应该怎么回答呢?不就应该是回答有规律的，然后就应该讲清楚规律性是什么，但多少年来我们老师不是这样讲的，而是讲：“添辅助线有常法而无定法”，这里的“常法”是什么?“定法”是什么?都讲不清楚，那学生怎么能学好?有的老师的回答则是：“添辅助线就是拿到一道题目，先添一条试试看，不行再添一套试试看，多试几次总会成功的”，显然，老师所作的这样一种回答，根本无法解决学生在学习过程中出现的困惑。学生在学习几何的过程中，最迫切地想要知道的就是几何问题思考方法、分析方法的规律性，最迫切地想要知道的就是几何问题中添加的每一条辅助线是怎样想出来的。由于传统的几何教学无法对学生的这些期待给出直接的、明确的、准确的、科学的回答，所以笼罩在学生几何学习过程中的畏惧心理难以得到根本上的消除，这也就是几何难教、难学之根本所在。

    平面几何是研究平面图形的性质的数学学科领域，图形是几何研究的对象，所以任何离开对图形、图形性质的研究的分析方法，要揭示几何问题思考方法、分析方法的规律性都是十分困难的，在教学中要取得成功也是十分困难的，当然这里所指的成功是对大多数学生来说的成功，而不是仅对少数、甚至是特别优秀的学生来说的成功。

    任何离开对图形、图形性质的研究的分析方法，都不可能在几何教学中取得成功，这实际上包含着对传统几何分析方法的否定。现在我们许多老师在教学中实际采用的分析方法大多还是传统的证题术。这种方法的经典语言就是“我们怎么证明两条线段相等呢?要证明两条线段相等，可以应用全等三角形;可以证明这两条线段都和第三条线段相等;可以应用等腰三角形;可以应用平行四边形;可以应用正方形;可以应用比例性质等等。”然而，在实际教学中，没有一位老师是能够列举完的，一般都是列举了几条就结束了，那为什么列举到这里就刹车了呢?显然老师无法讲清楚。

   从思维的角度来看，这里应用的是列举的方法，就是属于扩散思维的范畴，于是首先出现的问题就是在具体教学活动中，尤其是在课堂教学过程中，无论哪一位老师都不可能进行完美的、毫无遗漏的列举，所以这样的方法在理论上是存在缺陷的。另外，即使有老师进行了完美的、毫无遗漏的列举，将所有的可能性都列举了出来，但由于其中的相当一部分可能性对这个具体问题的解决来说，又是毫无价值的，所以许多老师也会感到没有必要去作这样详尽的列举，因为这也确实会包含许多无效的思维和努力。然而实质性的问题还不仅是在这里，关键的问题是当你列举出了这样许多方法或可能性以后，对这道具体的题目来说，你是怎样作出选择的?是根据什么来作出这样的选择的?

    从思维形式上讲，前面的列举是属于扩散思维，而后面的比较和作出选择是属于集中思维。当列举出这么多的可能性以后，进行集中思维就需要对这些可能性进行逐一的比较，才能最后作出选择，但在实际教学工作中，这几乎是不可能做到的。而在没有进行充分的、完整的比较之前，就作出的选择，显然就会面临讲不清楚道理的困惑，或者也就是只能用“经验”来作出选择。

    如果从数学思维的本质上来看，问题就是出在一位数学老师应该具有的“基本功”，即“充分”、“必要”的正确理解和准确表述上。如：由全等三角形可以推得两条对应线段相等;但要证明两条线段相等，却得不出要证明两个三角形全等，也就是两条(对应)线段相等是两个全等三角形的必要条件，却不是充分条件，所以老师们在教学中只能转而使用“要证明两条线段相等，可以应用全等三角形”这样的(正确的)语言，但学生能真正明白其中的道理吗?学生遇到的困惑一定是在遇到同样是证明两条线段相等的题目，怎么就不想到应用全等三角形了呢?什么道理呢?进一步的问题也必然是在什么情况下，证明两条线段相等的题目，才应该想到要应用全等三角形?显然，传统的分析方法很难作出正确的回答，并给学生正确的引领。

    从上述讨论中，我们可以发现传统的几何分析方法也是在对几何问题进行分类讨论。从理论上讲，分类也有科学的分类和经验性的分类，实际上也就是将一个集合分成若干个真子集。那么，科学的分类必须满足两个条件，就是：所有的真子集的并集应该是全集;所有的真子集的两两的交集应该是空集。在传统的几何证明方法进行的分类中，就以证明两条线段相等的问题为例，首先所有的几何问题就是一个集合，就是一个全集，而全等三角形、两条线段都和第三条线段相等、等腰三角形、平行四边形、正方形、比例性质等等，就是进行分类后得到的一个一个真子集。那么，首先要满足的就是所有的真子集的并集应该是全集，显然由于我们无法进行完美的、毫无遗漏的列举，所以这些真子集的并集就不可能达到全集，总是会出现遗漏，当然我们能够做到的就是尽可能地逼近全集。然而更为严重的问题则是出现在所有的真子集的两两的交集应该是空集上，实际上证明两条线段相等的问题，是所有这些真子集的公共的交集，由于交集不空，所以在这个公共的交集中的证明两条线段相等的问题，就不知道应该属于哪一个真子集，就不知道应该用哪一个真子集的方法来进行讨论和论证，一旦选用某一个真子集的方法来进行讨论和论证就会说不清楚道理。这就是同样是一道具体的证明两条线段相等的问题，为什么这道题目来选择的是用全等三角形来进行证明，而另一道也是证明两条线段相等的问题，却不用全等三角形，甚至连想都没想过，这是什么道理呢?常常是无法自圆其说。

    由于采用传统的证题术的方法来进行教学有时很难讲清楚分析方法，很难在理论上讲得通，所以有的老师又转而采用传统的证题法的方法来进行教学。为此我们可以先看如下的一道例题;

    一般老师们都是这样讲的：“同学们，这是一道证明两套线段相等的问题，所以我们可以想办法把这两条线段AB和AC放到两个三角形中，然后证明这两个三角形全等(这段话本身是有问题的，在这里我们暂且不进一步讨论)。现在这两条线段可以看作是ABD和ACD的对应边，所以我们可以想办法证明这两个三角形全等。由于条件给出了D是BC的中点，BD=CD，∠BAD=∠CAD和AD=AD,但出现的是两边和其中一边的对角对应相等，所以还不能证明这两个三角形全等。那怎么办呢?我们就可以想办法造一对全等三角形(这段话本身实际上也是有问题的，在这里也暂且不进一步讨论)，那么怎么来造这对全等三角形呢?”实际上问题就到了关键点上，这时许多老师接下去都是这样讲：“同学们，这道题目的条件中还给出AD是ABC的中线，在几何问题中，出现了三角形的中线，通常是将中线延长一倍，于是延长AD到E，使DE=AD，……”接下来问题看上去也就可以解决了，这里采用的实际上就是传统的证题法的方法，然而关键的问题是什么?实际上就是这个“通常”，什么是“通常”?没有一位老师能讲清楚，深入的研究可以发现被称作“通常”的恰恰是“不通常”，上面这道例题出现了三角形的中线以后，将中线延长一倍后问题是可以解决的，但接下来一道题目，也是出现了三角形的中线，但我们却不延长了，而且恰恰延长了以后发现是没有用的，那为什么前述那道题目出现了三角形的中线后要将中线延长一倍，而后面一道题目，也是出现了三角形的中线，但我们却不延长了，这里的道理是什么?说得清楚吗?进一步的研究可以发现，在几何众多出现三角形中线的问题中，要通过延长中线一倍来解决问题的是一部分，而且是很少的一部分，大部分的问题都不是通过延长中线一倍来解决问题的，这就说明我们在教学中经常说的“通常”恰恰是“不通常”。从科学性的角度来分析，我们的教学出了一个问题，就是我们在将特殊的方法作为一般的、普遍的方法来介绍，那我们的教学当然就会出现问题。事实上，我们许多老师在学生的心目中的地位还是很高的，具有相当高的权威性，老师讲的话在学生的心目中常常就是“真理”，现在我们老师讲了“在几何问题中，出现了三角形的中线，通常是将中线延长一倍”，学生听了，记住了，同时也完全毫无疑义地接受了，但回去做习题时，今天一道题目出现了三角形的中线，而将中线延长一倍以后没能解决问题，明天一道题目也出现了三角形的中线，将中线延长一倍以后也没能解决问题，后天一道题目又出现了三角形的中线，将中线延长一倍以后还是没能解决问题，三次下来，学生对老师的信任、信心和信念就会逐渐淡化，甚至消失。所以教学中最关键的问题，也就是在这道例题中，你怎么会想到将中线延长一倍实际上并没有解决，那要学生理解、掌握到“懂”的境界当然也就有困难了。深一步的研究我们还可以发现，将中线延长一倍实际上并反映这个问题的本质，而仅仅是一种展现的现象，是一种解题的结果。

    现在，我们再回顾以上的讨论过程，还不难发现所有的讨论都是离开了图形而进行的。这实际上也就是传统的几何分析方法存在的最根本、最严重的缺陷，尽管对每一道具体的几何问题来说，是有图形的，但就分析方法的整体而言，却是离开了图形来进行的。就以证明两条线段相等的问题来说，尽管我们可以列举种种方法，但却能发现每一种方法的列举都是离开了图形来进行的，既不解决每一种方法应在怎样的图形中来应用，也不解决出现了什么样的图形时应该选用哪一种方法。所以传统的几何分析方法，无法揭示几何问题思考方法、分析方法的规律性，从而也就不可能是一种成功的方法。

    图形，是几何学科的研究对象，平面图形，是平面几何的研究对象。一道几何问题，都会以一个图形以及这个图形所具有的各种性质为研究对象。而出现在几何问题中的每一个几何图形，无论是怎样的简单还是怎样的复杂，经过观察和分析，都一定可以发现这样一个事实;即它是由一个或者若干个最简单、最基本也是最重要的图形组合而成的。

    从而应用平行线的性质就能证明DG=JE，分析就可以完成。这里应用的平行线就是这个问题的第五个基本图形。

    通过这一例题的分析，就可以发现象这样一道比较复杂的几何问题(图形)，实际上是由五个基本图形组合而成的，分析并找到这五个基本图形，再应用这五个基本图形的性质，就可以使问题得到解决，这样一种分析方法就是基本图形分析法。

    接下来，我们可以再任意选择一个几何问题，将它的图形进行剖析，也可以发现它是由几个基本图形组合而成的，于是我们可以将这几个基本图形和上述五个基本图形放在一起进行比较，比较的结果可能是两组基本图形中没有一个是相同的，也可能是有一个或若干个是相同的。如果两组基本图形中没有一个是相同的，就将这两组基本图形合并到一起，成为一组新的基本图形。如果两组基本图形中有一个或若干个是相同的，那么每两个相同的基本图形就只要保留一个，然后也和其它的基本图形合并到一起，成为一组新的基本图形。显然这组新的基本图形的个数比原来的一组是增加了一个或几个。然后，我们将这个过程继续进行下去，很快我们就可以发现，在这个过程的开始阶段，随著讨论题目数量的增加，基本图形的数量也在不断地增加，但是渐渐地就发现增加的速度在逐渐放缓，再接下去，有可能在讨论了几道、十几道甚至几十道题目以后，才增加一个新的基本图形。如果这个过程继续进行下去，那么到一定的时候，就会发现在剖析更多的题目的过程中，基本图形却几乎不再增加了，这样实际上我们就得到了一个基本图形的集合或者系统。而接下来的问题则是对这样的一个基本图形的集合进行科学的分类，显然这时的问题就很容易解决了。

    在这样一个研究、探索的过程中，实际上也就得到了一种新的分析方法，即基本图形分析法。那么，什么是基本图形分析法呢?

    基本图形分析法就是：在几何学科中，根据问题的条件和结论，分析并找到组成这个几何问题的一个或若干个基本图形，再应用这些基本图形的性质，使问题得到解决的几何分析方法。

    基本图形分析法，就是一种建立在对图形和图形的性质的认识、分析、应用基础上的思考方法和分析方法。任何一个几何图形，都是由一个或若干个基本图形组合而成的，当若干个基本图形组合而成为一个几何问题的时候，许多图形的性质就隐去了，所以几何问题的分析和思考过程实质上就是要将这一综合过程逆过来进行，也就是要剖析并找到这些基本图形，并应用这些基本图形的性质，使问题得到解决，基本图形分析法就是在这样的基础上诞生的。

    在以上的论述过程中，出现了基本图形这个概念，所以应首先明确什么是基本图形。如果仅从文字上解释，基本图形应该是组成几何图形的最基本的元素，这样就会很自然地想到点、线段、弧、三角形这些构成几何图形的最简单、最基本的元，然而基本图形分析法最重要的内涵就是要应用这些基本图形的性质去解决问题的分析过程，这就必须要回答每一个基本图形在什么条件下用和怎样应用的问题。而恰恰是在这两个问题上，点、线段、弧甚至三角形都无法讲清楚，因为它们不仅可以在几乎所有的几何图形中不止一次地出现，而且也无法讲清楚它们在分析过程中应在什么条件下应用和怎样应用。所以基本图形并不是几何图形的“基本元”，当然，基本图形也不是几何题目，不是许多复杂的几何图形，它们应该既具有组成几何图形的基本元的功能，又必须是具有特定性质和应用条件的图形。

    于是就有：在几何问题的分析中，组成一个几何问题的图形的最简单、最重要、最基本的，但又是具有特定的性质，能明确地阐明应用条件和应用方法的图形，称为基本图形。

    在对数以千计的几何问题进行图形剖析后，就会发现几何学科中的基本图形的数量是30多个，但就是这30多个基本图形的无限组合就演绎出一部能显现无穷变化的平面几何学。这30多个基本图形可以分成七大类：平行线、等腰三角形、与圆有关的角、全等三角形、相似三角形、特殊角三角形、与面积方法有关的三角形等。

    在一个几何问题中，为什么会想到要应用这个基本图形而不是想到要应用另外的一个基本图形，显然是决定于这个基本图形的特征，决定于这个基本图形不同于其它基本图形的属于它本身独具的本质属性，决定于这个基本图形和其它基本图形的本质上的差异。所以，要解决基本图形的应用条件问题，首先就要研究和讨论每一个基本图形的特性，然后，我们就可以根据这些特性，来归纳、发现并最终得到每一个基本图形的应用条件。在我们的研究中，还发现在所讨论的基本图形的特性和随之得到的应用条件中，除了很少量的且必须要用数量关系表达的性质以外，相当一部分都是位置关系的表述，这也是基本图形分析法和传统的几何分析方法的一个重要的区别。在根据应用条件确定并找到基本图形以后，相应的应用方法一般来讲都比较容易确定。在以后的讨论中，我们可以进一步发现，应用方法实际上是基本图形完整化的具体表述，所以基本图形一经确定，应用方法也就相应地确定了。因此，在基本图形的介绍中，从某种意义上讲，应用条件和应用方法甚至要比基本图形本身还重要得多。

    接下来要解决的问题就是：怎样应用基本图形分析法添辅助线?

    添辅助线是教好、学好平面几何的关键问题，然而，长期以来它又是平面几何教学中最难的难题。由于添辅助线这个难题多年来得不到有效的、很好的解决，平面几何的教育质量长期以来在大范围内都是居低不上，而不少学生又产生了很强的畏难心理以至放弃几何学习的心态，这也就造成了数学教育界出现了一种祈求通过降低教学要求、删减内容以摆脱这种困境的倾向，这种现象不仅在我国存在，在国外也是相当普遍地存在。其实，这种回避问题的实质和要害的做法，并不是解决问题的根本的、有效的办法，也不是摆脱平面几何教学的这种困境的正确的出路。内容删减了，要求降低了，平面几何内容的科学体系支离破碎了，但教学质量并没有明显提高，学生的畏难心理以至放弃几何学习的心态依旧存在。所以关键的问题不在于内容的深浅、多少，不在于教学要求降低多少，而是在于揭示分析方法的规律性，揭示添辅助线的规律性。所以，几何问题最大的困难就在于添辅助线，任何一种成功的几何分析方法都必须对添辅助线的问题作出正确的、科学的、正面的、直接的回答，都必须正确地揭示、并使学生能够掌握添辅助线的规律性。

应用基本图形分析法，怎样解决添辅助线的规律性呢?

    应用基本图形分析法，首先就是要根据问题中出现的应用条件，找到基本图形，显然这时还不存在添辅助线的问题。接下来则是要应用基本图形的性质来解决问题，这时就会出现两种情况：

    一是所有分析、找到的基本图形都是完整的，这样应用这些基本图形的性质就不会有什么困难，问题自然也就得到了解决，显然这时也就不存在添辅助线的问题。二是在分析、找到的基本图形中，有一个或者若干个是不完整的，这样在应用这些基本图形性质的时候显然就会发生困难，因为基本图形不完整，相应的性质就不出现，就不能用。从而就使我们在应用这些基本图形的性质之前，必须要先将不完整的基本图形补完整，这就出现了添辅助线的需要。由此也就可以发现：添辅助线的实质也就成为是将不完整的基本图形补完整的问题。

    根据以上对添辅助线的基本方法的讨论，我们还可以发现，应用基本图形分析法来讨论添辅助线的问题时，我们的着眼点已经不再聚焦在作为图形的局部的“线”上，而是着眼到一个完整的“图形”上。因此，我们就认为添辅助线也已经不再仅仅是一个添线的问题，其实质应是一个补图的问题，是一个基本图形完整化的问题，也就是说添辅助线实质上是基本图形完整化的必然结果。在长期的教学实践过程中，许多教师都体会，学生只要根据应用条件找到基本图形，就不怕添不出辅助线，而且也必然会出现辅助线的正确添加超前于正确的推理、证明的获得的现象。所以学生学习、掌握了基本图形分析法，也就能体会到只要找到基本图形，辅助线也就必然正确地添出来了的成功喜悦和乐趣。他们也就能在很短的时间里进入“一看就明白，一想就出来”的境界，从而也就可以从根本上消除学生对几何学习的畏惧心理。对学生来说，基本图形分析法是一种简单易学、容易掌握并进行应用的方法，主要是对每一个基本图形都系统地介绍了图形名称、图形性质、位置特征、应用条件和应用方法。

    综上所述，基本图形分析法的独创之处，就在于详尽地、完整地介绍、剖析了每一个几何问题的思维过程，全面地介绍了每一个几何问题是怎样一步一步想出来的，基本图形也是随着分析过程的进行逐个逐个发现出来的，辅助线也是随着分析过程的进行、基本图形的发现而一条一条添出来的。

    在讨论了应用基本图形分析法添辅助线的基本方法以后，当然还要回答一个问题，这就是这种基本方法是否解决了几何问题中添辅助线的所有问题?对此我们的回答是还没有。我们只能说凡是涉及基本图形的添辅助线的所有问题都是可以解决的，但在几何问题中，还有一些问题是直接应用基本概念的定义来进行分析，有的问题没有直接与具体的、特定的基本图形相联系的性质，对这些问题的添线方法就不是属于应用基本图形分析法添辅助线的基本方法，而应是基本方法的必要的、有效的补充。这些补充的方法，主要有以下三种：

    1、应用几何概念的定义添辅助线的方法

    在几何问题中，经常会出现一些与某一个或某几个具体的几何概念有直接联系的性质，或者是直接给出了一些几何概念，而这些几何概念又常常被用来作为分析、证明的出发点，而在已知条件所给出的图形中，又缺乏构成这些概念所必需的某些线段，这时就可以直接根据几何概念的定义将这些必需的线添上，其目的就是要使有关的几何概念及其性质能得到应用，这种添线的方法就是应用几何概念的定义添辅助线的方法。

    2、将多边形问题、尤其是梯形问题转化为三角形问题来讨论的添辅助线的方法

在几何问题中，三角形是边数最少，最简单也是最基本的多边形，几何问题所讨论和研究的对象，所研究的许多性质也都是围绕着三角形来讨论和展开的，也是以三角形的性质为基础的，而平面几何中的基本图形也几乎都是集中在三角形上，因此，对于几何问题中出现的许多有关多边形的问题，在分析时的基本思路或方法就是将多边形的问题转化为三角形的问题来进行研究和讨论，这时也就会出现添辅助线的问题。

    将多边形问题转化为三角形的问题来进行分析的方法，主要是两类：一是添对角线;二是将梯形问题转化为三角形问题来进行讨论。

而将梯形问题转化为三角形问题的添线方法又有：平移对角线;平移腰;添加梯形的高;延长两腰到相交等。

    3、将线段或角改变位置的添辅助线的方法

    当几何问题中出现了具有某种等量关系或数量关系的线段、角是位于不易建立这种数量关系的位置上时，就需要将线段或角改变位置，改变线段或角的位置的基本方法是：平移和旋转。当需要改变位置的线段或角是与圆或等腰三角形有联系时，首先考虑旋转;当需要改变位置的线段或角是与圆或等腰三角形没有直接联系时，首先考虑平移。

    对于以上介绍的三种添辅助线的方法，都可以看作是辅助性的、补充的方法，这主要是因为：一是这些添辅助线的方法都不是普遍适用的方法，它们都只适用于某些特定的问题，也只能在这些特定的问题中应用，应用的面也比较小，而前面介绍的基本方法则是属于普遍适用的方法;二是对一个具体的问题来说，应用这些方法中的某一种方法添出辅助线后，常常还仅仅是完成了整个问题分析中的某一个特定的步骤，以后(在有些问题中也可以包括以前)的分析，直至整个问题的解决和分析的完成，还是要应用基本方法来完成的。

    在完成了以上的讨论以后，我们就可以提出这样一些关于几何问题中添加辅助线的基本观点：

    1，几何问题中的添辅助线是有规律性的，是有规律可循的。

    对添辅助线的规律性的揭示和认识，是应用基本图形分析法的几何教学与传统的几何教学的根本的分水岭。在几何教学中，学生常常会向教师提出这样的问题：“老师，添辅助线有规律吗?”“添辅助线的规律性是什么?”“老师，这条辅助线是怎样想出来的?”“老师，为什么你会想到这样添辅助线，而我就想不到?”等等，要对这些问题作出正确的回答，其前提就是要能揭示添辅助线的规律性。

    由于应用基本图形分析法来添辅助线，可以从根本上解决添辅助线的规律性问题，所以在这样一个前提下，我们就可以明确地阐明这一基本观点：平面几何问题中的添辅助线问题是有规律性的，是有规律可循的。

    2，几何问题中的每一条辅助线都是分析的结果，因此，对每一条辅助线都能够讲清楚它是怎样想出来的。

    几何问题中的所有的辅助线是从哪里来的?它们都应该是由人的大脑想出来的，应该是人们经过分析、思维得到的，而绝不是从天上掉下来的。因此，几何问题中的每一条辅助线都应该是分析的结果，从而对每一条辅助线，我们也就能够明白它是怎样想出来的。在平面几何教学中，教师应将每一条辅助线想出来的过程，剖析出来并展示在学生们的面前，在一个几何问题的分析过程中，在任何一个步骤上，教师都能接受并经受得住学生的提问：“老师。你这条辅助线是怎样想出来的?”并能给予正面、直接和正确的回答。

    3，几何问题中的每一条辅助线都是分析的结果，因此，它们应该随着分析过程的进行，分析到哪里，添到哪里，因而是逐步添加出来的。

    几何问题中出现的辅助线是从哪里来的?尤其是当一个问题中出现了多条辅助线时，这些辅助线是一下子、一起添加出来的吗?结论应该是否定的，几条辅助线在几乎所有的问题中都是不可能同时一起添出来的，这里有一个先后的次序和过程，故只能是一条一条、有先有后地想出来或添出来，从而也就只能随着分析过程的进行和发展，逐步添加，逐步完成，也就是分析到哪里就添到哪里，这样就能够完整地向学生显示出每一条辅助线是怎样想出来的，整个问题的解决又是怎样一步一步想出来的。在这样一个前提下，我们还可以进一步发现，几何问题中的辅助线是既不能少添，这样问题就会解决不了;也不能多添，因为这时多添加出来的部分就会是说不清楚道理的。

    4，几何问题中添辅助线的规律性，只要经过认真的学习，是可以学会，可以掌握的，所以平面几何学科也是可以学好的。

    由于平面几何问题中的添辅助线问题是有规律性的，而且这种规律性已经可以用明确的语言来向学生进行介绍和教学，所以学生就会感到、体会到能够学，学得会，这就从根本上消除了学生长期以来存在着的对平面几何学习、实质上就是对添辅助线问题学习的畏惧心理，这样学生能够学好平面几何，能够掌握学好平面几何的方法当然也就是必然的结果。

    在进行了上述讨论以后，教师在面对学生有关辅助线问题的提问时，再作如下的回答就是不可取的：

    几何问题中的辅助线无规律可言，主要靠多做题目，积累经验，到时候自然会添;

    几何问题中的添辅助线有常法而无定法;

    拿到一个几何问题要添辅助线时，可以先添一条试试看，不行就再添一条试试看，多试几次总会成功的。

    在几何教学中，教师使用还是不使用上述教学内容和教学语言，实际上也就构成了基本图形分析法和传统的几何思考方法的分水岭。

    平面几何的教学和学习问题，包括平面几何中的添辅助线问题，都如同世界上的任何一门科学一样，是有规律性的，而且这种规律性也一定是可以认识、可以掌握的。当我们的教师和学生都能掌握这些规律，学会和掌握正确的分析方法，从而具备和形成一定的分析能力，那么我们所遇到的许多新的几何问题也都是可以迎刃而解的，平面几何教学质量的大面积提高的目标也是一定可以实现的。

    基本图形分析法问世以来，作为一种有显著成效的几何教学和几何学习的方法，一直受到许多学校领导、教师、学生和家长的重视，国内先后有600 多所学校采用基本图形分析法进行教学，教学质量都取得了显著的提高。近30 年来，参加过基本图形分析法教学培训的教师近两万名，他们中有数十人已经获得特级教师称号，有数百人次获得优秀园丁奖，不仅培养了一大批优秀的人才，也为形成一支优秀的骨干教师队伍打下了坚实的基础。

    实践证明，基本图形分析法是一种能使学生在启迪思维、增长兴趣、发展智能、提高素质的基础上，取得优异成绩的卓有成效的方法。

    正因为这样，所以：

    当你遇到几何学习的困难时，基本图形分析法就是你最好的老师;

    当你不知道怎样添辅助线时，基本图形分析法会给你最好的启迪;

    当你希望破解几何学习的玄妙时，基本图形分析法会交给你最好的钥匙。

    以基本图形分析法为基本内容的《几何王》初中平面几何学习软件，必将成为你在几何学习或几何教学中的最好的助手。