案例1无理数的引入

方案一,教师请学生代表上讲台用掷正方体骰子的方式得到一系列1~6之间的整数,然后请另一位同学将这些数记录下来并写在0. 的后面,让学生观察所得小数的特点,从而得到一系列无限不循环小数,引入无理数的概念.

方案二(课堂教学实录)

教师:先讲一个发生在数学史上的惨案.古希腊有一个著名的学派叫做毕达哥拉斯学派,这个学派有一个信条:万物皆数 ,即宇宙间的一切现象都可以归结为整数或整数之比 .同学们,这是两千五百多年前人们对于数学的最高等的认识,以你现在的知识,你能看出来他们当时都已经知道了些什么数?

生1:整数和分数.

教师:好.那么大家同意他们的看法吗?

学生2:不同意,他们当时可能还不知道负数呢。

教师:你很有想象力.但事实上他们当时已经知道了负数的意义,比如,一只羊平均分成两份,一个人拿走了其中的一份,他们就用亏空了一半来表示少了的那部分,其实就是-1/2.也就是说他们当时已经认识到有理数了.看来同学们早已掌握了那时候的最高学问.(学生笑了起来,似乎有些自豪.)

不妨让我们再一起来具体地研究一下他们所提出来的所谓整数之比 .请同桌的同学任意写一个数,另一位同学将它表示成小数,##,你发现了什么现象吗?学生3:有的是有限小数,有的是无限循环小数.教师:原来毕达哥拉斯学派所指的数其实就是有限小数和无限循环小数.他们还没有发现什么数?学生4:(打趣似地插嘴)肯定是无理数 了!教师:(很惊讶)为什么?学生4:有有理 数,就必然有无理 数.既然只知道有理数,肯定还不知道无理数喽.教师:你的类比推理思想掌握得真好!学生5:有一个数他们没有想到,就是.它是无限不循环的,也不能用两个整数之比来表示.教师:好.是无限不循环的,不能用整数之比来表示，显然毕达哥拉斯学派那时候没有认识到这一点,其实人类最早研究是在两千三百多年前.看来这个学派的学说是有漏洞的.就像刚才大家找到的一样,当时有一位该学派的成员希伯索斯也发现边长为1的正方形的对角线长不能用整数或整数之比来表示 ##这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,引起了信徒们的恐慌,成为数学史上的第一次危机.据说希伯索斯为此被投进了大海,他为发现真理而献出了生命.但真理是不可战胜的,希伯索斯的发现已经被我们所正视,进而促进了数学的发展##我们将类似于和希伯索斯发现的这个数称为无理数##对比认识: