例析高考数学中的“分段”数列

徐辉

本文所述之“分段”数列，是指以“分段”的形式给出的数列，既可以是以分段的形式给出数列的通项公式，也可以是以分段形式给出数列的递推公式.高考中涉及的“分段”数列一般以分两段较多，如最常见的http://s12/middle/8ac252fb4bc639c095bbb&690，也有少数是分为三段的，三段以上的基本没有.“分段”对同学们来说是个逻辑上的难

 

点，而数列又是高中数学最为重要的考点之一，因此，“分段数列”在高考中往往以“把关题”的面目出现，不仅考查学生的基础知识，更侧重考查学生的运算能力、理解能力、推理能力、论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法等.

一．数列的通项公式是分段的形式

（一）数列的前若干项与后若干项具有不同的通项公式而形成的“分段数列”

例1（2007上海）.数列http://s1/middle/8ac252fb4bc639c263a40&690的极限值（ ）

  

     Ａ．等于http://s4/middle/8ac252fb4bc639c3b0ac3&690      Ｂ．等于http://s8/middle/8ac252fb4bc639c4310e7&690       Ｃ．等于http://s6/middle/8ac252fb4bc639c5473e5&690       Ｄ．不存在

分析：此数列的前1000项与后面的项的通项公式是不一样的，但数列的极限与数列的前有限项是没有关系的，因此，只需考虑当n≥1001时数列的通项公式来求极限.

解：http://s11/middle/8ac252fb4bc639c5b82ea&690，选B.

 

例2（2007上海）.如果有穷数列http://s13/middle/8ac252fb4bc639cae58fc&690都是“对称数列”．

（1）设http://s5/middle/8ac252fb4bc639ceb37e4&690的每一项；

    （2）设http://s15/middle/8ac252fb4bc639d3a49ce&690；

    （3）设http://s1/middle/8ac252fb4bc639da58cb0&690．

分析：此题首先大家通过阅读要“读懂”什么叫“对称数列”.通过分析大家可以知道“对称数列”它的前若干项与后若干项通项公式是不一样的，它们之间存在着一种“对称”关系，而解此题的关键就在于理解并应用这种“对称”关系.尤其是第三问，由于数列的前后若干项的通项公式不同导致它们的前http://s9/middle/8ac252fb4bc639db3afc8&690项和也只能以“分段”的形式给出.

解：（1）由题意，数列http://s12/middle/8ac252fb4bc639de8e2eb&690．   

（2）http://s16/middle/8ac252fb4bc639e078ebf&690 

      http://s4/middle/8ac252fb4bc639e1daf23&69067108861． 

    （3）http://s13/middle/8ac252fb4bc639e4a0b3c&690的等差数列．

     当http://s9/middle/8ac252fb4bc639e6eb2a8&690． 

     当http://s1/middle/8ac252fb4bc639e868500&690 

                          http://s11/middle/8ac252fb4bc639e99437a&690．

     故http://s5/middle/8ac252fb4bc639eac5894&690    

 

 

（二）数列的奇数项与偶数项具有不同的通项公式而形成的“分段数列”

例3.已知数列http://s12/middle/8ac252fb4bc639ecce02b&690．

分析：很显然，此数列的奇数列项与偶数项的通项公式不一样，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，因此我们在求其前http://s4/middle/8ac252fb4bc639ef49143&690为首项公比为4的等比数列.

解：当http://s12/middle/8ac252fb4bc639f12d5cb&690项，

∴http://s4/middle/8ac252fb4bc639f295aa3&690

当http://s16/middle/8ac252fb4bc639f30579f&690项，

∴http://s6/middle/8ac252fb4bc639f457fc5&690

所以，http://s16/middle/8ac252fb4bc639f3e0a0f&690

 

例4（2010天津）.在数列http://s8/middle/8ac252fb4bc639f764ed7&690成等差数列，其公差为2k.

（1）证明http://s11/middle/8ac252fb4bc639f7d1b0a&690成等比数列；

（2）求数列http://s2/middle/8ac252fb4bc639f812c31&690的通项公式；

   分析：本题最核心的条件当然是http://s1/middle/8ac252fb4bc639fa094d0&690成等比数列，而对于题(2),则可利用这一核心条件，先得到所有奇数项中的后一项与前一项的关系，从而通过累加的方法等到奇数项的通项公式，然后再得到偶数项的通项公式.

解：（1）证明：由题设可知，http://s4/middle/8ac252fb4bc639fbbe3b3&690，

http://s13/middle/8ac252fb4bc639ffe9aac&690成等比数列.

（2）解：由题设可得http://s1/middle/8ac252fb4bc639ff7ea40&690

所以http://s13/middle/8ac252fb4bc63a00d22dc&690

                    http://s3/middle/8ac252fb4bc63a01e0542&690.

由http://s14/middle/8ac252fb4bc63a0360dad&690.

所以数列http://s4/middle/8ac252fb4bc63a04aeaf3&690.

 

 

二．数列的递推公式是分段的形式

（一）数列的项数为奇数或偶数时其递推公式不一致而形成的“分段数列”

例5（2005北京）设数列{a_n}的首项a₁=a≠http://s1/middle/8ac252fb4bc63a06766c0&690,

记http://s2/middle/8ac252fb4bc63a0600631&690，n＝＝l，2，3，…．

（1）求a₂，a₃；

（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

（3）求http://s8/middle/8ac252fb4bc63a078e4d7&690．

分析：此数列当项数为奇数或是偶数时，它的后一项与前一项的递推关系是不一样的.解决此类问题必须先弄清楚项数是奇数或偶数所对应的递推关系是什么，千万不能弄反了，然后再利用递推关系进行求解.必要的时候可先列出若干项，猜想出结论然后再进行论证.

解：（1）a₂＝a₁+http://s5/middle/8ac252fb4bc63a0a30644&690；

（2） a₄=a₃+http://s3/middle/8ac252fb4bc63a0bb44f2&690, a₅=http://s2/middle/8ac252fb4bc63a0e278f1&690,

所以b₁=a₁－http://s2/middle/8ac252fb4bc63a1014d21&690, b₂=a₃－http://s9/middle/8ac252fb4bc63a11af6e8&690), b₃=a₅－http://s7/middle/8ac252fb4bc63a144c606&690),

猜想：{b_n}是公比为http://s13/middle/8ac252fb4bc63a1543a5c&690的等比数列·

            论证如下：因为b_n+1＝a_2n+1－http://s10/middle/8ac252fb4bc63a1a415a9&690b_n, (n∈N*)

            所以{b_n}是首项为a－http://s7/middle/8ac252fb4bc63a1b31c16&690的等比数列·

       （3）http://s3/middle/8ac252fb4bc63a1c7b2b2&690.

 

 

（二）数列的项为奇数或偶数时其递推公式不一致而形成的“分段数列”

例6(2009湖北).已知数列http://s2/middle/8ac252fb4bc63a1ff34f1&690

  分析：此数列分段的原因在后一项依赖前一项是奇数还是偶数来确定，在这种情况下，我们只能从讨论数列的项是奇数还是偶数来加以考虑.

解：若http://s14/middle/8ac252fb4bc63a23f53ed&690=2.

若http://s13/middle/8ac252fb4bc63a26682fc&690=4. 继续讨论如下：

     http://s3/middle/8ac252fb4bc63a26db002&690

 

 

 

 

故答案为4，5，32

 

 

（三）数列的项比某个数大或小时其递推公式不一致而形成的“分段数列”

例7（2008上海）已知以http://s13/middle/8ac252fb4bc63a288bb0c&690．

（1）当http://s6/middle/8ac252fb4bc63a29dfc95&690的通项公式；

（2）当http://s2/middle/8ac252fb4bc63a2e0be41&690.

    分析：此数列后一项与前一项的关系依赖于前一项的大小。对于这样的数列，我们对其“特性”不明，最好先具体写出它的前几项，以观察研究它的特点，然后再进行求解.

解：（1）由题意，http://s5/middle/8ac252fb4bc63a2f03124&690

(2) 当http://s12/middle/8ac252fb4bc63a337917b&690，

http://s6/middle/8ac252fb4bc63a35d8c75&690

http://s16/middle/8ac252fb4bc63a373e9df&690

http://s14/middle/8ac252fb4bc63a36de2ed&690

http://s15/middle/8ac252fb4bc63a379c6ae&690

 

 三．一段是通项公式另一段是递推公式的分段数列

http://s11/middle/8ac252fb4bc63a38fcc6a&690

例8.将边长分别为1、2、3、4、…、n、n+1、…（http://s6/middle/8ac252fb4bc63a3bfc7f5&690.

（1）求http://s15/middle/8ac252fb4bc63a3ce707e&690的表达式；

（2）写出http://s14/middle/8ac252fb4bc63a3d6886d&690的通项公式.

分析：题（1）是容易得到解答的，对于题（2）中的数列，其第一段是给出项与项数之间存在的关系，另一段是给出前一项与后一项之间的关系，这时可先处理第一段的通项公式，然后再研究另一段与前面这段是否有联系，根据它们的联系进行求解.

解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为http://s9/middle/8ac252fb4bc63a3fd8948&690.

故http://s3/middle/8ac252fb4bc63a44f0032&690

  （2）http://s11/middle/8ac252fb4bc63a45e6eea&690, http://s2/middle/8ac252fb4bc63a46591e1&690, http://s4/middle/8ac252fb4bc63a46f9a43&690

     当n为偶数时，http://s10/middle/8ac252fb4bc63a4843c59&690

     当n为大于1的奇数时，http://s4/middle/8ac252fb4bc63a47c6383&690

     故http://s12/middle/8ac252fb4bc63a492644b&690.