如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C. P是线段BC上方抛物线上的一动点，设△PCB的面积为S，求S的最大值．

http://hiphotos.baidu.com/%EF%BF%BD%EF%BF%BD%C9%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD123/pic/item/48e1478fa0ec08fa82c1efeb59ee3d6d57fbda99.jpg

解：方法一，要使△PCB面积最大，须使动点P到定直线BC的距离最远，过动点P作BC的平行线y=-x+b，当直线y=-x+b与抛物线相切时，切点即为最远的。

把y=-x+b代人y=-x²+2x+3中，得x²-3x+b-3=0，

令△=9-4（b-3）=0，得b=21/4，即直线y=-x+b与y轴交于21/4

∴两平行线间距离为（21/4-3）sin45°=9√2/8

而BC=3√2

∴△PCB的面积S的最大值为（3√2×9√2/8）/2=27/8．

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方法二，过P作y轴平行线，交BC：y=-x+3 于D

设P（x，-x²+2x+3），D（x，-x+3）

则PD=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x

∴S=S△CPD+S△BPD=PD·x/2+PD·（3-x）/2=3/2×PD=3/2（-x²+3x）=-3/2（x-3/2）²+27/8

即x=3/2时，S有最大值27/8.

方法三，设P（x，y），连接PO

则S=S△PCO+S△PBO-S△OBC

=3x/2+3y/2-9/2=3/2（x+y）-9/2=3/2（x-x²+2x+3-3）=-3/2（x²-3x）=-3/2（x-3/2）²+27/8

即x=3/2时，S有最大值27/8.