SAS里面可以使用PROC GENMOD來处理Poisson Regression(卜瓦松回归)。

Poisson regression主要使用在计次或计数资料分析上，属于Generalized linear model（广义线性模型）的一支，而且会令我们的Y(outcome, independent variable)背后的分布为Poisson分布。

特別是若用在列联表分析(contingency tables)时，又称为 Log-linear model。

Model简单的示意为 Log(E(Y|x))=a+bx

下面我们来看一个SAS help里面的范例

资料背景：这是Aitkin等人于1989年出版的书內提到的例子，是对于保险赔偿(insurance claims)资料建模型。

变量n是保险拥有人数量、变量c是保险赔偿的数量、变量car分作三组分別为small, medium与large、而保险拥有人的年龄分成两组(变量age)。

data insure;
     input n c car $ age;
     ln=log(n);
     cards;
500  42  small  1
1200 37  medium 1
100  1   large   1
400  101 small  2
500  73  medium 2
300  14  large  2
;
run;
proc genmod data=insure;
     class car age;
     model c=car age /dist=poisson link=log offset=ln;
run;

我们所需要的指令如上述，其中class 后面是资料内的类别变量(car,age)，

接着在model statement 后面先摆上想看的outcome变量(c,赔偿资料)，

等号右边放入想调整个dependent variables(如此范例的car,age)。

最重要的是在model后面面的option设定，需要告诉SAS你假设的资料分布dist为？

以此为例是Poisson regression，因此输入关键字poisson；而link要设定poisson regression所对应的

log-linear model，因此关键字为log。接着还有offset要设定，offset是指针对每个观察值去设定的一个常数回归系数(constant coefficient)。 

结果如下

报表第一部分会先描述使用者所做的设定，包含所设定的背后分布(poisson)、link function(Log)、Outcome(c)以及offset变量，

最后是读入的观察值笔数，以及x变量们分组的说明。

http://r97846001.blog.ntu.edu.tw/files/2010/09/poi_output01.jpg

第二个部份是提供Criteria For Assessing Goodness of Fit 结果，

这些统计量有助于我们去跟其他model比较时，以挑选最适合的model使用。

从表內资讯来看，Deviance为2.8207、DF为2，所对应的卡方统计量查表会得到P=0.24，也即這个model还不错。

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http://r97846001.blog.ntu.edu.tw/files/2010/09/poi_output02.jpg

报表第三部分是参数估计的结果，提供了回归系数、标准误、置信区间、Wald卡方值以及P值，

最后面有提供scale parameter。而PROC GENMOD提供使用者去设定scale parameter去

fit overdispersed  poisson 与 binomial分布

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http://r97846001.blog.ntu.edu.tw/files/2010/09/poi_output03.jpg

Poisson 分布特性之一是他的平均值(mean)会等于會等於变异数(variance)。

在某些情況下会发现变异数大于平均值，就是所谓的overdispersion，表示這个model可能不适合这笔资料。

Overdispersion是一种发生在Binomial或Poisson regression资料的现象。

而这个dispersion是可以由deviance或Pearson’s chi-square除以他们的自由度，看是否为1。

如果大于1，会说笔资料有overdispersion的现象，反之若小于1則会称为underdispersed。

然而这样子的现象发生意味着，该笔资料似乎不适合这个model、或者是资料內有outlier，因此需要小心使用。