专题讲座

初中数学教学建议

马复（南京师范大学教授）

程燕云（湖北宜昌市长江中学书记、副校长，高级教师）

秦书锋（北京市第十五中学高级教师）

一、教学中如何把握“四基”

《标准》在课程目标中提出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。这意味着，数学教学目标由传统的“双基”发展为“四基”。

“双基”是“基础知识、基本技能”的简称，这一个提法至少可以追朔到 30 多年前。而“基础知识扎实，基本技能熟练”的基本含义是：深刻理解、牢固记忆数学定理；准确、迅速地运用公式、法则进行运算；正确、熟练地从事几何证明等。

（一）双基内涵应当与时俱进

随着时代的发展，知识在更新，技术也在突飞猛进，从而，“双基”的内涵也不能墨守成规，必须与时俱进。比如，一、二百年前，有一手好毛笔字是读书人的基础，但现在已经不是必备的了；类似地，熟练的珠算技能曾经为小学生必备、熟练地使用计算尺曾经是中学生的基本技能。现在，由于计算器和计算机的普及，它们也都不是必备的技能了。相反，《标准》中提到的估算、算法、认识和处理数据、数学建模初步等以往没有涉及的内容，由于在当今社会生活中常常被用到，所以应当成为学生必备的基本技能。

按照《标准》的要求，这些基础应当是学生“适应社会生活和进一步发展所必需的”，具体说，就是：学生后继学习的基础，未来社会生活的基础。

《标准》继续保留了“双基”，这意味着数学教学应该继续注重学生在“基础知识”、“基本技能”的发展。长期以来，广大教师基于对“双基”的认识，摸索出了一套较为固定的“双基”教学程序，教学效果也比较好。那么，教学中应该如何去落实《标准》中“双基”的要求呢？

（二）“双基”教学方法也应与时俱进

教师的“启发式”讲授仍然是“双基”数学教学的主要方法。根据具体的教学内容既可以适当采用以往的“精讲多练”、“变式练习”，也可以采用现在的“自主探究”、“小组合作交流”等方法。

需要注意的是，“双基”的教学应该注重“理解和掌握”。《标准》中指出：学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化；在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。

所以，数学概念、定理和公式的教学，要注重其来龙去脉、与其他数学知识之间的联系、与其他的学科知识之间的关联。特别是与学生日常生活、社会生活的联系。在联系中理解数学的知识，而不是仅仅记住这些表述。

基本技能的形成和熟练，必须要有一定量的训练和重复，但是，这种训练不是僵化的训练，这种重复不是呆板的重复。尤其应该注意的是，为了达到“熟练”的程度，训练和重复应该掌握适当的“度”，否则物极必反。近年来，在习题训练方面，有些教师选编数学开放题进行教学，或者加强数学应用题的解题训练，由此开展数学“双基”的教学，是值得提倡的。

（三）以知识和技能为载体，引导学生感悟数学思想，积累数学活动经验。

首先，数学思想不是单独存在的，而是融于数学知识、技能和方法之中的，而且数学思想的获得在不同的数学内容教学中通过提炼、总结、理解、应用等循环往复的过程。学生只有经历这样的过程，才能逐步“悟”出数学知识、技能中蕴涵的数学思想；

数学活动经验也是在学习和掌握知识、技能的活动过程中，通过经历观察、试验、猜测、验证、推理与交流、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等活动方式才能够逐步积累的。

因此，教学中应提倡以知识和技能为载体，引导学生感悟数学思想，积累数学活动经验。特别地，《标准》明确指出： 综合与实践 领域的学习应当成为帮助学生有效积累数学活动经验的主要途径。

此外，在教学中应鼓励学生去自己探索结论，教师要善于启发，与学生“合作”。通过一步步引导，让学生经历探究的过程，自己获得结论。这样的活动有利于学生获得活动经验，和创新意识的培养。

二、教学中如何培养数学思考和问题解决能力

数学思考和问题解决是《标准》中提出的两个课程目标，自然就应当成为数学教学的重心。按照《标准》的界定，数学思考包括思考数学和用数学思考其他现象或问题。

这里包括数学思维和数学方法。而问题解决则主要包括发现问题、提出问题分析问题和解决问题。

（一）设置恰当问题情境，为培养学生的数学思考和问题解决能力提供环境

问题是思维的源泉，没有问题就没有思维的动力。所以要从学生已有的生活经验和数学知识的实际出发设计问题情境，使学生能基于情境进行思考，发现要解决的数学问题。

（二）设计有效的数学活动，培养学生数学思考和解决问题能力

首先，有效的数学活动应当是“数学”的。学生所从事的活动要有明确的数学目标，动手实践、小组合作、同伴交流等都是活动的形式。因此，通过活动促进学生对数学对象的理解（包括内涵、与其他内容的联系、在实际中的应用），是最重要的。一般而言，数学建模，数学探究都是一些有效的数学活动方式。一道数学问题的分析和解决过程也可以看成是一个“有效的数学活动过程”。

让学生从事“做数学”的活动，也是让学生经历从具体到抽象的过程；而提出问题实际上就是引导学生进行初步的“数学化”——从数学的角度思考现实中的现象（问题）；抽象归纳则是真正的“数学化”过程——形成对数学的理解；应用举例是让学生通过数学建模的活动，发展用数学解决问题的能力，并体验到“生活中处处有数学”。

需要说明的是，这样的活动对许多教师而言还是很有挑战性的。因为以往的教学中，教师大多习惯于“讲授”，而一旦学生进行自主活动，教师如何应对，教师应该做什么便成为一个问题。

（三）准确定位教师角色，促进学生数学思考和问题解决能力的提高

《标准》对数学教学过程给出的说明是：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。作为组织者：要确定合理的教学目标，设计教学方案时要留有学生主动参与教学活动的空间与时间；作为引导者，要实行启发式教学，引导学生积极参与教学过程；作为合作者，要以平等的态度与学生共同参与数学活动，与学生一起感受成功和挫折、分享成果。

三、教学中如何落实学生在学习活动中的主体地位

让学生真正成为数学学习的主人，是新课程提倡的教学理念之一。生活中常常见到这样的现象：如果一个学生喜欢上某个事物、并且常常主动去摆弄它、研究它，那么他就能很快地了解这个事物、并把握它（比如电脑）；相反，如果这个学生不喜欢某个事物，不能够主动地思考它，而仅仅是听从别人的解释、模仿别人的做法，那他多半不能很好的理解这个事物，更谈不上把握这个事物。学习数学也是类似的，如果学生能够积极主动地参与各种教学活动，并且在活动中使用一些有效的方法，他就很可能学好数学，反之，如果这个学生仅仅通过死记硬背、模仿复制的方法学习数学，他多半学不好数学。因此，使学生成为学习活动主体的意义在于，学生通过自己的探索、发现所获得的知识，远比仅仅经由老师的讲授所了解的知识要理解的深刻、有效。那么，学生成为学习主体的重要标志是他们 积极参与各种教学活动，如观察、操作、实验、概括、交流等，并且在活动过程中主动地思考、探究学习对象。

（一）教学活动设计要体现知识产生、发展和应用的过程

数学教学不是把现成的结论教给学生，而是数学活动的教学。教学中要让学生经历自己寻求知识产生的过程，探索数学知识与其他事物的联系。在自主学习和探索的过程中，能够逐渐了解概念、寻求规律、获得结论。

（二）根据教学内容的特点，设计问题（问题串）引导学生积极开展思维活动

问题的设计要基于学生的实际，由浅入深、体现层次性和阶梯性，指向核心的数学知识。问题要有思考的空间——让学生有东西可想，又要符合学生实际——让学生想得出。即学生在课堂上经过自己的思考或与同伴的简短交流、或者在教师的引导之下能够获得解决问题的思路。

（三）教师当好学生学习的合作者，激励学生更加积极地参与教学活动

教师要作为学生学习活动的“合作者”，以平等的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生自主探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果，这将极大地提高学生参与教学活动的主动性和积极性。

作为“合作者”，教师应耐心地倾听学生的意见，这是尊重学生的人格的重要表现。教师要善于发现学生的“闪光点”，并及时鼓励。当学生说出了他们自己解决问题的思路和方法时，对于学生的“创造”，教师应当充分肯定；有的同学得到结论不正确，但得出结论的过程中有一些正确的思想和方法，教师应该肯定这些有价值的东西；也有的同学反映了他们学习中的困难和问题，这也是有价值的，它们可以对后续的教学提供参考，…… 即使学生的意见是错误的，教师也应视为重要的教学资源，及时给学生反馈，调整自己的教学，充分保护学生的学习积极性。

四、教学中如何实施“综合与实践”

《标准》指出：积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标，应贯穿整个数学课程之中。“综合与实践”是实现这些目标的重要和有效的载体。

按照《标准》的界定，“综合与实践”是通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动，它大体包括 问题引领、探求解法、实践操作、交流评价这样四个教学环节。其中，“活动”是“综合与实践”的主要形式，这里的活动不仅指课上的活动，也包括课外的、需要经历一段时间完成的活动。

（一）活动是“综合与实践”的主要形式，学生在活动中积累经验，通过活动“会学数学”

经验是教不出来的，只能是学生自己在实践中感悟和积累，教师讲的是自己的经验，代替不了学生自己经验的生成和积累。“活动经验”是指学生直接或间接经历了活动过程而获得的经验。从培养创新型人才的角度，教学不仅要教给学生知识，更要帮助学生形成智慧。知识的主要载体是书本，智慧则存在于经验的形成过程中，存在于经历的活动过程中，如教师为学生创造的思考的过程、探究的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等。

从具体操作过程来看，“综合与实践“活动提倡以学生的现实生活和学习实践为基础，以活动为主要形式，要求学生积极参与到活动中去，在“做”、“观察”、“实验”、“探究”等一系列的活动中发现和解决问题、体验和感受生活。它以做数学、用数学等活动引导学生开展丰富多样的实践性学习和探究，帮助学生学会发现、学会探究，学会实践，超越单一的书本知识的学习，引导学生自觉地把直接经验学习和间接经验学习相结合。

学生经历自主的探究发现、大胆质疑、调查研究、实验论证、合作交流、选择工具、汇报交流等过程，对他们今后甚至一生的发展都具有重要意义，伴随这些过程，学生才有可能真实地积累数学活动经验。

教学中要引导学生从“学会数学”转向“会学数学”。目前学校内数学教学的讲授式、传授式还大量存在，甚至在某些地区和学校是主流的形式。“教师讲解概念方法、例题示范、学生模仿练习、作业巩固、复习提升”，这是“先教后学”的模式。这种模式教师和学生都很熟悉，也积累了不少有效的教学经验。但它不应该是学数学的唯一模式。“不教不会、不练不会”并不是学数学的最主要的东西，现在学生较普遍缺少的是自主学习、独立思考、自主解决实际问题的机会和能力，缺少应用意识、问题意识，这些恰恰是创新人才的核心素质所在。因此，在数学课程中，要给学生提供机会，让他们尝试用自主、主动的方式，做数学、用数学、学数学。在 综合与实践 活动中，不是不要教师“讲”，而是要把解决问题的“重头戏”留给学生。学生在解决这些问题时，需要时间，有时也会“走弯路”，不如教师给出一个解法来得直接。但应从学生的可持续发展来讲，需要给学生提供这样的时间和空间。通过综合与实践活动，让学生认识到数学有用、可用、能用，进而想用、会用，这是十分重要的。

（二）教师是“综合与实践”实施的组织者与引路人，在“综合与实践”实施过程中扮演多重角色

在综合与实践的活动中，教师并不是被动的的旁观者，而是学生的伴学、助学者。教师应该是一个身负重任、身兼数职的“组织者、引领者、高参、裁判、拉拉队长、…… ；教师也应该是一个播种者、耕耘者、收获者；当然教师还应该是一个欣赏者，也可以和学生一起“秀一把”。教师可以在以下环节发挥自己的教学智慧。

一是教师可以研制、开发、生成出更多适合学生特点的、有利于实现“综合与实践”课程目标的好问题。 要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的问题是关键。这些问题可来自教材，更多的问题来自教师、学生的生活和社会实践，也可以来自其他学科。如八年级的课题： 我们的恩格尔系数、商品的包装与商品的价值、打折销售与优惠率、如何存款最划算、如何测量旗杆的高度等。

二是教师鼓励学生自己寻找解决问题的方案。学生在教师的指导下，从他所能接触的情境和资源中收集解决问题的资料，并自主地制定求解模型、推进方案。正是在这样的过程中，学生获得了实际的体验和发展。所以，在设计解决问题方案时，切忌“包办代替”，要发挥学生的潜能。启发、帮助、鼓励学生解决工作过程中的困难，努力引导他们“自救”，自己解决困难。

三是教师及时发现学生中存在的问题，并给予帮助。在综合与实践的过程中，由于学生的程度不同，出现困难是难免的。教师要针对学生的困难所在，对症下药。首先是要“确诊”，学生的困难是知识问题，还是方法问题？是能力问题、还是态度问题？。其次是“帮扶”，帮扶的的策略是：启发引导，“互救、自救”为主。教师可以通过提供参考资料，介绍“类似问题”的求解思路，参与学生的讨论、做引导性的发问等手段，让学生尽量自己“找到”走向成功的路。

（三）“综合与实践”活动的评价

综合与实践活动的评价是一个新的课题，它与知识技能的学习评价不同，一般来说，在综合与实践活动中，需要过程性、多主体的评价策略。

首先，要关注过程性的评价。在综合与实践教学过程中，教师要关注过程、关注学生的差异、学生在活动前后发生的变化。具体说来，可以从以下几个角度入手观察、评价：学生提出问题是否有新意，操作求解是否有创意，合作学习是否有效率，结果呈现是否有特色，反思拓展是否有眼光，自我感受是否有收获，兴趣动力是否有增强，数学素养是否有提高，所完成的小论文能够把自己理解的、做过的事情说出来，说清楚。等等。

其次，在“综合与实践”活动中，关注多主体的评价，即教师评价学生、学生之间互评、学生自我评价，将评价贯穿于整个活动过程之中。同时要关注发展性的评价，要使评价能有利于学生彰显个性，有利于“扬长”而不是一味“改短”。

五、教学中如何培养学生的情感态度

促进学生在情感态度方面的发展也是数学课程的一个目标。这是数学课程改革的一个标志性进步。情感态度包括：引起好奇心和求知欲、锻炼克服困难的意志、建立自信心、了解数学的价值、养成良好的习惯和科学态度等四个方面。可是由于这一目标的隐性性质，以及提出“情感态度”方面的目标时间还不长，教师对此较陌生，尤其是在实际教学活动中如何实施，颇具有挑战性。

（一）将情感态度的发展融于教学过程中

情感态度对于学生的未来起着非常重要的作用，而且其形成是需要一定的过程。一方面，情感态度的发展对于学生而言，并不仅仅有益于某一段时期的数学学习，而是长期起促进作用的因素，会影响他们的终身，无论他将来从事什么职业；另一方面，情感态度的发展也不是一朝一夕可以完成的，而是一个渐进的过程。因此，应当将情感态度的发展融于教学过程中。只有让学生在学习的过程中有较多正面的情感体验，才能激发起他们的兴趣，去积极主动思考、探索。

为了更好地实现“情感态度”的课程目标，教师在设计和进行教学活动时要考虑九个“如何”：

如何引导学生积极参与教学过程？

如何组织学生探索，鼓励学生创新？

如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣 （引起好奇心和求知欲）？

如何引导学生感受数学的价值（了解数学的价值）？

如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心？如何帮助学生锻炼克服困难的意志（锻炼克服困难的意志、建立自信心）？

如何引导学生善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆质疑？

如何让学生做自己能做的事，并对自己做的事情负责？

如何培养学生良好的学习习惯（养成良好习惯和科学态度）？

需要注意的是，“情感态度”的目标不是在学习知识技能的过程中“顺便”达成的“副产品”，教师应该在设计教学方案、进行教学活动时，主动地、经常地考虑上述这九个“如何”的问题，将“情感态度”的目标有意识地融合在教学过程中。

（二）教师要以自身的表率作用促进学生的情感态度发展

教学活动是师生双方的共同活动，在学生面前，每位教师都应该是一部活的教材，是一个生动的榜样。榜样的力量是无穷的，在促进学生“情感态度的发展”上尤其是如此。教师自身的表率作用可以表现在：

1. 教师对数学有兴趣→感染到学生对数学有兴趣；

2. 教师对于问题有锲而不舍的探索精神→感染到学生有锲而不舍的探索精神；

3. 教师勇于独立思考、反思质疑→感染到学生养成独立思考、反思质疑的习惯；

4. 教师尊重学生→感染到学生尊重他人；

5. 教师有强烈的责任心→感染到学生有强烈的责任心；

6. 教师有严谨的治学态度→感染到学生有严谨的治学态度；

7. 教师有健全的人格→感染到学生有健全的人格。

六、教学中应注意处理的几个关系

（一）面向全体学生与关注个体差异的关系

面向全体学生是所有学科教学的基本原则。努力使全体学生达到数学课程目标的基本要求，既是数学教学活动的出发点，又是数学教学活动的落脚点。在教学活动中，问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等都要尽可能地让所有学生参与，调动每一个学生的主动性和积极性，给每位学生提供发表意见的机会，形成有效的合作交流、师生互动的良好氛围。

但在数学学习过程中，学生的个体差异比较突出。出现差异是客观事实，那么如何处理好面向全体学生与关注学生个体差异的关系呢？

一是对于学习困难的学生和学有余力的学生要采用不同的教学方式方法。对于学习有困难的学生，教师要鼓励他们主动参与数学学习活动，并尝试用自己的方式解决问题。在教学过程中，要对于这些学生进行及时鼓励，肯定他们的点滴进步，耐心地引导他们分析产生困难或错误的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣和信心。在评价时，可以对这些学生采用“推迟判断”的做法。对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展他们的数学才能。

二是采用小组教学方式，关注差异，促进发展。在小组活动中，通过讨论、交流、使层次不同的学生能够取长补短。在小组教学中，教师要有一定的策略引导，使全体学生都有参与的机会，避免出现少数反应灵敏，基础较好的学生积极主动，而反应较慢，基础薄弱的学生消极被动的局面。

（二）“预设”与“生成”的关系

“预设”是指教师在教学开始之前所设计的教学方案。一般而言，为此而做的主要工作包括：以《标准》为依据，领会教学的目标和要求；分析教材，把握教材的编写意图和教学内容的教育价值，选择贴切的教学素材；了解学生已有的学习准备，分析学生的认知水平，预测学生可能出现的思维障碍，以及不同层次的学生可能出现的思维状态；等等。在此基础上选择有效的教学方式，设计合理的教学流程，就形成了一个“预设”方案。

“生成”是指在具体的教学过程中，随着教学活动的展开，所出现的有一定教学价值的新目标、新问题等未含在预设中的新的教学资源。

教学中常常出现这样的情境：由于教师恰当的 启发和引导，学生的学习欲望和兴趣被激发，进而开动脑筋，在课堂思考出许多教师意想不到的新东西——问题、方法、结果，等等。面对这种情况该怎么办？首先，应当耐心听取学生们的想法；其次，迅速发现和捕捉其中的思维亮点、有价值的内涵；随后，尽可能及时做出反应，包括鼓励、质疑、分析等。这里，强调的是以平等的姿态与学生交换意见，共同探讨。而且在交流过程中把握正确的思维方向，因势利导，充分挖掘新资源的教育价值。

（三）合情推理与演绎推理的关系

推理是数学思维的主要形式，发展学生的数学推理能力是数学课程的重要目标之一。《标准》指出：数学推理包括合情推理与演绎推理。那么，教学过程中如何正确处理两者的关系，使得学生在这两个方面能得到均衡的发展？

一般说来，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，应用归纳和类比等方法推断某些结果；演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理常常用于探索思路，发现结论；演绎推理则用于证明结论。

教师在教学过程中，可以引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动尝试发现规律，猜测结论，发现问题，或者解决问题的思路；这就是发展学生的合情推理能力。再通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要经过演绎推理的确认，然后引导和帮助学生学会演绎推理的方法，掌握演绎推理的基本格式，理解演绎论证的含义，逐步养成“言必有据”的良好习惯。

在初中阶段，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式。

（四）使用现代信息技术与教学手段多样化的关系

数学课堂中较多使用的现代信息技术主要包括：计算器（包括图形计算器）、计算机以及有关软件、投影、视频等多媒体设备。

在学生理解并能正确应用公式、法则进行基本计算的基础上，应当在课堂教学、课外作业、实践活动中，根据内容标准的要求，鼓励学生用计算器和图形计算器完成较为繁杂的计算、数据的处理。在认识图形性质时，可以借助于计算机及其有关软件进行图形的绘制，这样可以使学生的注意力放在观察图形的各种变换，探索图形的变化规律上。

值得一提的是，使用现代信息技术的意图在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果。比如，近年来网络的发展可以给老师与学生提供一个交流的平台。教师不仅借助于网络获得大量的本校的、外校的，本地的、外地的，本国的、外国的大量的教学资源，而且还可以进行网络的互动、交流，改进教学的手段，实现数学教学的直观化。但使用现代信息技术并不意味着用它完全替代原有的教学手段，一些传统的教学手段有其自身的价值，如实时性板书，它有利于实现学生的思维与学习过程同步，有助于学生更好地理解教学内容的脉络。此外，对于暂时没有条件的地区，应鼓励数学教师细心钻研，自制教具和学具，弥补教学设施的不足，充分发挥教学手段的作用。