将函数概念的学习与实际背景密切联系起来

史炳星

摘要：对抽象数学概念的理解一直是数学教育关注的热点。新课程标准下的数学课程提出将对抽象数学概念的学习与实际问题背景密切地联系起来，不仅可以增强学生对数学概念的理解和提高学习兴趣，而且还可以使学生进一步体会数学的方法和意义。本文以“ 函数”概念为例，给出了国内外的一些做法。

关键词：函数；变量；图象；表达式；背景

在学习一个新的数学概念时，抽象地引入、或者说形式化地引入，会给学生的理解带来一定的困难，也就是说，对于一个抽象概念的理解，学生往往需要借助于一些有意义的背景。比如说“函数”的概念，依数学教科书，函数是一个集合到集合之间的对应，函数刻画的是变量与变量之间的关系。如何理解这一概念？如何抓住这一概念的本质？让我们看以下的几种处理方法。

1. 北师大新世纪版数学实验教材是这样引入“函数”概念的：

   我们生活在一个变化的世界中，时间、温度，还有你的身高、体重等都在悄悄地发生着变化。从数学的角度研究变化的量，讨论它们之间的关系，将有助于我们更好地认识世界、了解自己和预测未来。

下面是青春期男女平均身高曲线图：

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    观察上图，你能大致地描述男女生平均身高的变化情况吗？你的身高在平均身高之上还是之

下？你能估计自己18 岁时的身高吗？身高，是青春期男女学生关注的一个话题，借助图象讨论身高随年龄的变化情况、进行个人身高与平均身高的比较及对自己18 岁时身高的预测，学生很容易理解什么是函数以及函数的图象表示和学习函数的作用。以这样的方式，数学概念与学生所熟悉的实际背景密切地结合起来了。

2. 下面的例子选自一本澳大利亚教材，问题是这样叙述的：

 http://s2/bmiddle/9cea536dgbdd55a9d4471&690

    上图中有三个容器（a）、（b）和（c），如果我们以同样的速度向这三个容器中注水，随着时间的变化，水面的高度也应该变化。容器下面的三个图象，表示的是容器中水面的高度随着时间的变化而变化的情况，但要注意它们不是正好相对应的，需要你调整它们的位置。你知道哪一个图象应该与哪一个容器相对应吗？

根据容器的形状和题目的条件，很明显，中间圆柱形容器中水面的上升应该用直线来刻画，

而圆锥形容器中水面的上升应该是越来越慢的、圆台形容器中水面的上升应该是越来越快的。这个问题原本并不困难，但一些人（包括教师）感到困难，主要是在他们考虑这个问题时，并没有把函数图象与实际问题背景密切地结合起来。因此在教学中，重要的是让学生感受到教学表示是对实际问题情境的一种刻画，一种抓住了问题变化过程中最本质、最核心的特征的刻画。

3. 如果说上面的例子反映了函数的图象表示与实际问题背景之间的联系，下面的例子则反映了函数的代数式表示与实际问题背景之间的密切联系。这个例子选自美国教材，和我们听说过的“伊索寓言”中的故事差不多。

  “渡鸦”问题：

    这个活动的名称来自一个古老的传说，在这个传说中，一只快要渴死的渡鸦，将小石子投进一口深井中使得水面上升，直到它的嘴能够喝到水为止。

    从这个故事出发，教师引导学生进行了实验。实验进行的情况是这样的，教师把学生分为两组，分别向盛水的普通玻璃杯和一个100 毫升有刻度的量杯中投入大小相同的玻璃球（代表石子），观察水面高度与投入的玻璃球的数量的关系。由于玻璃球大小相同，水面高度是投入玻璃球的数量的一次函数，设为y=mx+b。

   下面是老师和同学的一段对话：

  “你们能告诉我，b 的物理意义是什么吗？”

   没有回答，大家看起来很迷惑。

  “看看你们的表格，x 为0 时y 是多少？汤姆？”

  “10 个半。”

  “那就是b，对吗？从物理意义讲，如果当x为0 时，y 为 厘米，那是什么意思？”布兰科一时答不上来。

  “好吧，如果投入玻璃球的个数是零，或者说杯子中没有石子，那么水的高度为厘米，”玛吉有些兴奋地补充说：“既然在这个实验中b是 厘米，那么你怎样按照水的高度和石子

的数目来描述b 的物理意义呢？”

  “b 是杯子中没有石子时水面的高度。”维达终于答道。

  “那么，在这个研究中斜率m 的物理意义是什么呢？玛吉问。没有人回答。

  “如果让水面上升 厘米需要2 颗石子，那么让水面上升整整1 厘米需要多少石子呢？”

  “4 颗。”汤姆打断说。

  “你肯定吗？”

  “是的。”

  “因此水面上升1 厘米需要4 颗石子，假如 是这个意思，请解释斜率是什么。”

  “它的意思是使水面上升1 厘米要用4 颗石子。”

    通过课堂讨论，一次函数y=mx+b（m、b 是常数，m≠0）在这样的实际背景下意义是十分明确的，即函数表达式中的b（截距）是杯子中没有石子（玻璃球）时水面的高度，m（斜率）是放入一个石子（玻璃球）时水面的上升高度。这一例子告诉我们，作为教育的数学，我们不仅让学生知道函数表达式y=mx+b（m、b 是常数，m≠0）是抽象的，它表达一次函数，还应该让学生知道函数表达式中的字母在特定的问题中有着特定的和确定的含义，就象上面的例子一样。学生经历更多的类似的例子，就会对表达式中m、b 的意义有深刻的理解，同时知道实际问题中哪些量的变化会影响到m、b 的变化，从而达到对函数概念的理解和应用。

    我们还可以举出一些这样的例子来。数学学习的过程应该是一个从具体到一般、从直观到抽象的过程。一开始就对内容进行一般化和抽象化的学习，不利于学生理解和形成概念，不能理解和形成概念就谈不到思维层次的提高。我们都知道数学是抽象的，学生要在学习的过程中，逐步学会使用符号语言，学会进行理性的思考，但这是一件欲速则不达的事情，我们在教学中注意创设有意义的问题情境、注意引导学生关注问题情境的数学表示、问题情境与数学表示之间的联系，就是在为学生抽象思维的发展搭建脚手架，帮助他们更好地过渡到形式化的思考。