數學是科學的皇后嗎？一位物理學家权衡

    物理學家唐林肯(Don Lincoln) 解釋為什麼數學对科學建模是一个強大的工具，但本身不是一門科學。

HARD SCIENCE — JANUARY 16, 2025

Don Lincoln

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關鍵要點

在就哪門科學學科是最基本的爭論中，一些人争论數學提供現實的最佳代表。

然而，數學是一個从自然世界獨立的存在的純邏輯領域。

科學家選擇並應用一个模型的準確的描述觀察到現象的能力中最佳帮助的數學邏輯。

    社交媒體能是一個尖刻的地方，以人們被锁在一个無休止的單打獨鬥遊戲中。我悲伤的来說這種行為也能被在当科學愛好者中爭論哪個學科是更基礎時看到。人們往往在這些論點中採取一种還原論的觀點，聲稱社會學只是應用的心理學，心理學源自生物學，生物學源自化學，當然化學是應用的物理學。作為一名物理學家，我能领会這種思維方式的背后。对我的思维物理學是科學的皇后。

    然而，一個思想流派更進一步来將所有科學都忽视為只是應用數學的一个遞歸應用。如果物理學是科學的皇后，那麼數學就是女皇。有一幅幽默的描述這場辯論的单元圈子(xkcd )漫畫，而一些值得注意的物理學家已经做出了類似的說法。

    例如，1960 年物理學家尤金·維格納 （Eugene Wigner） 發表了一篇名為“數學在自然科學中的不可究因的有效性”的論文。雖然在網上的爭論者中他的立場往往被誇大，但他評論數學和物理學之間不可思議的平行，驚奇在數學多好起作用上。物理學家馬克斯·泰格馬克 （Max Tegmark） 已经假設現實不只是平行數學, 相反，現實就是數學，所有的數學結構都是各種現實的代表。在他的提議中，不同的數學描述嵌入在一个更大的多元宇宙中的真實宇宙。這個提議是有爭議的——在理論界的一些人將泰格馬克指為“瘋狂的麥克斯”有一个原因——但肯定有一些會争论數學優先於物理學的人。

    也没有數學為專業物理學家帶來價值的否认。我的大學時光中可怕多的時間都致力於學習數學技能以及如何將它們應用到需要解決特定研究問題的理論。真的，支配所有已知亞原子現象的方程的一種表示需要被寫在一整頁上。

    那只是来寫下方程式而不是實際上用它做任何事情。鑒於數學对現代物理學的中心性，有些人認為這種中心性隐含着首要地位是完全的可以理解的。雖然這些人可能尊重所有科學，但對他們數學是最重要的。

    我有一种不同的对待。我会争论那些在科學对數學的相對地位上爭論不休的人兩者都不理解。

    科學是自然世界的研究。 物理學——尤其是基礎物理學這是我的專業——是自然的最深奧規則的研究。当我們正处在宏大時，我的同事可能會說我們通過深潜入物質和能量、空間和時間的法则调查物理現實的支撑。粒子物理學家和宇宙學家尋找物質和能量的已知行為之間的聯繫，希望来證明看似完全不同的現象真实上是同一事物的不同代表。一個例子是物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋 （James Clerk Maxwell）如何證明了電和磁是一种稱為電磁的綜合現象影響世界的兩種方式。

    相比之下，至少内在的數學对物理現實绝对没有任何要做的。 相反，數學可以被稱為邏輯的一个子集。採取一些可能冒犯專業哲學家的自由，數學可能被廣泛認為是數字和數量的邏輯。

    現在當我說 「數學」 時我不意味算術、幾何或微積分。這些是數學學科的例子，但我在思维中有一個更抽象的意义。我正在谈论智力結構，其中一個人選擇一組物件（通常是數字）和一个支配它們的規則的列表，然後用邏輯來弄清楚這些選擇的含義。拋在一種符號語言中，你有一種數學形式。

    例如，基本算術可能被特征為规制整數與加法和減法運算結合的規則。數學设定如果你取那組數字並應用這些運算發生的。加上或減去兩個整數你得到另一個整數。將 0 加到一個數字上，你得到相同的數字。涵蓋這類事物的數學的形式被稱為「群論」。

    如果你需要表示不是完整單位的对象 – 就说半個餅 - 這種原始形式的數學不起作用。您需要对組合添加乘法和除法。当你這樣做時，你發明了額外的數字特別是分數。 

    人们能繼續添加其他數字來構成實數（這是從負無窮大到正無窮大的所有可以想像的數字）。您能想像规制越发增長的數字列表的其他操作和規則。 

    運算和數學規則不必是熟悉的規則。用普通數學如果你將 11 和 4 相加，你得到 15..然而有一種數學形式——俗稱“時鐘數學”——其中 11 + 4 = 3。毫無疑問你沒有欣賞它是什么用过這種形式的數学邏輯。如果現在是 11 點並且 4 小時後一些事情要發生它將在3 點發生。這是一個实在的數學邏輯;它只是不是规制普通計數方式的那種。

    如此這些科學和數學的定義如何混合呢？畢竟，數學被深深嵌在当代科學世界中是無可爭辯的。它以幾個更深的想法開始。

    自然世界是它是的樣子。它獨立於人類，並被源自我們目前未知的根本原因的規則规制。下雨時水落下。星星在晴朗的夜晚劃過天空。星系懶洋洋锝旋轉着億萬年。宇宙的法則就是它們是的樣子，关于它们我們没有任何能做的事情。

    科學是一种来理解這些行為的嘗試。我們提出有假設的模型。我們仔細選擇最能代表在我们的模型中嵌入的假設的數學邏輯子集，然後用它來執行計算。這些計算不是物理的世界。它們是模型的操縱，用正在被應用的數學邏輯。

    並非所有數學对所有科學模型都起作用的。例如，如果我們試圖了解水的行為，我們通常會將它視為某些我们能切割成越來越小的量的東西。對於這樣一种範式，我們會選擇用高中代數和入門微積分的連續數學。

    然而，当我們達到足夠小的尺度時我們會遇到不能被切成兩半而仍然是水的單個水分子。在這裡連續數學不是最佳的選擇;相反我們應該用離散數學的邏輯。如果我們不改變正在被用的數學形式主義，我們將做出与自然界行為不一致的預測。

    我的立場首先是數學是一種純粹的邏輯練習。它不是一种人類構建。其次宇宙被凡是规制它的規則支配，而這些也不是人類構造。

    現代科學基于假設創建模型，並用凡是似乎与支配自然的規則平行的數學邏輯子集。這是一种人類構造，而且是那个的一個強大的構造。如果一个模型被比較它的对測量的預測驗證，那麼我們希望用此模型和數學邏輯來預測还没有被測試的現象。如果發生這種情況，我們有一些我們對模型的猜測是現實的一个合理代表的希望。

    一個很好的例子是阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對論。它于1915 年發布，它很快被準確預測水星軌道的運動和在一个日食期間恆星的表觀位置的扭曲驗證。該理論還預測了黑洞和引力波，這兩個想法花了近一個世紀来驗證。數學允许研究人員来做出理論模型的含義和支配它的數學邏輯的定量调查。

    但數學不是科學。數學本身就是一個領域，沒有科學它會存在。從一种科學家的角度數學是一個強大的工具，能被用來創建一系列更準確的模擬現實的理論。如果原来是通過解釋性舞蹈每個模型的含義可以更容易被確定，科學家們會拋棄數學並繫上他們的舞鞋帶。

    不可否認一代又一代才華橫溢的数學家，他們喜歡玩數字並深入探究每種數學形式假設的後果。我向那些承擔所有這些繁重工作的人致敬。真的，在我年輕的時候我就是他們中的一員，已经獲得數學的大學學位。

    但隨我職業生涯的进步，我不是一名數學家变得明顯的。我是一名科學家。 理解自然法則比理解邏輯的後果吸引我更远。这样，我將把數學留給數學家，我仍然感謝他們的工作，因為這使科學家来调查宇宙如何運作更容易。

    因此對于那些在互聯網上爭論关于科學層次結構的頑強坚持者，我想說所有這些都很有趣（儘管我確實相信物理學支撑所有其他的理論）。數學存在于科學之外——甚至是一門更純粹的學科。它簡化科學家在試圖理解一切的最雄心勃勃的目標中的工作。

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