什么是斐波那契序数？

By Tia Ghose

 last updated November 7, 2024

Mathematics

了解斐波那契序数的起源、它与黄金比例的关系以及关于它的在自然和建筑结构中重要性中常见的误解。

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 许多植物生长展示遵循斐波那契序数的模式，但这并不是一个严格的规则。(Image credit: Serisha Nagothu / 500px via Getty Images)

斐波那契序数是一个著名的数学序数，其中每个数字是前两个数字的和。人们声称关于这个数字序列有许多特殊属性，诸如对建造完美的结构它是“自然的密码”的事实，像吉萨大金字塔或可能装饰你的学校数学教科书封面上的标志性贝壳一样。但更多的这个更多是神话而不是事实，而该系列的真实历史是有点更接地的。

斐波那契序数解释

斐波那契序数是一系列数字，其中每个数字都是它前面的两个数字的和。从0和1开始，序数的前10个数字看起来像这样：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34，如此一直下去。

斐波那契序数能被用一个数学方程描述：Xn+2=Xn+1+Xn

斐波那契序数历史

第一件事是要知道这个序数最初不是斐波那契的，事实上斐波那奇从来不是被这个名字发生的。斯坦福大学数学家基思·德夫林说：“我们叫莱昂纳多·费波那契（Leonardo Fibonacci）的意大利数学家诞生于1170年左右，最初被称为比萨的莱昂纳多（Leonardo of Pisa）”。

德夫林说，仅在19世纪中历史学家想出了斐波那契这个绰号（大致意味着“波那契家族的儿子”），来将这位数学家与另一位著名的比萨的莱昂纳多区分开。

德夫林说，比萨的莱昂纳多实际上并没有发现这个序数，他也是《寻找斐波那契：来重新发现改变了这个世界的被遗忘的数学天才的乞求（Finding Fibonacci: The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World）》（普林斯顿大学出版社，2017年）的作者。用印度-阿拉伯数字系统的古代梵语文本在公元前200年首次提到它，比比萨的莱昂纳多早了数个世纪。

德夫林告诉生活科学杂志， “它永远一直存在着”。

一幅莱昂纳多·费波那契（Leonardo Fibonacci）的肖像，他在他的1202年的巨著《阿巴奇书（Liber Abaci）》中发表了斐波那契序数，但并不是第一个来发现这种数学模式的人。(Image credit: Stefano Bianchetti/Corbis via Getty Images)

德夫林说，然而1202年中比萨的莱昂纳多出版了巨著《阿巴奇书（Liber Abaci）》，一本 “如何做计算的数学烹饪书”。他补充说，为商人写的《阿巴奇书》摆出了印度语-阿拉伯语算术对跟踪利润、损失、剩余贷款平衡等是有用的。

在书中的一个地方，比萨的莱昂纳多用一个涉及兔子的问题引入了这个序数。问题如下：从一只公兔和一只母兔开始。一个月后，它们成熟并与另一只公母兔产下一窝。一个月后，这些兔子繁殖并出来——你猜了它——另一只雄兔和雌兔，它们也能在一个月后交配。（忽略这里不可能的生物学。）一年后，你会有多少只兔子？

原来是答案是144，而用来得到这个答案的公式就是现在被称为斐波那契序数的。

《阿巴奇书》首次将这一序列引入到西方世界。但在几段关于繁殖兔子的简短段落后，比萨的莱昂纳多再也没有提到过这个序数。事实上直到19世纪当数学家们关于这个序数的数学属性计算出了更多的时为止大多被人们遗忘。德夫林说，1877年法国数学家爱德华·卢卡斯（Édouard Lucas）正式命名兔子问题为“斐波那契序数”。

斐波那契序数和黄金比例是雄辩的方程式，但它们并不像它们看起来一样神奇的。 (Image credit: Shutterstock)

斐波那契序数与黄金分割率

不是是一个整齐的教学工具，斐波那契序数在自然中的一些地方出现。德夫林说，然而规制宇宙的结构的并不是一些密码。

斐波那契序数被与现在所谓的黄金比率phi紧密相连是真的，phi是一个有很多它自己的可疑的传说的无理数。在斐波那契序数中连续数字的比率越发更接近黄金比率，就是1.6180339887498948482...

德夫林说，黄金比例设法来捕捉某些类型的植物生长。例如，按照《植物的叶序，:一个植物形态发生中的系统研究（Phyllotaxis: A Systemic Study in Plant Morphogenesis）》（剑桥大学出版社，1994），一些植物的叶子或花瓣的螺旋排列遵循这个黄金比例。松果和向日葵的种子一样展示一种金色螺旋。但刚好有同样多的植物不遵循这一规则。

德夫林说，“让我们把它这么说这不是为生长的东西的‘上帝的唯一规则’”。

鹦鹉螺贝壳的螺旋形状让人联想到黄金比例，但这些生物不一定坚持斐波那契序数。. (Image credit: Rpsycho via Getty Images)

在自然与建筑结构中的斐波那契序数

他补充道，也许所有最著名的例子是被称为鹦鹉螺的贝壳，事实上不按照斐波那契序数生长新细胞。当人们开始得出与人体、艺术和建筑结构联系时联系到从微弱的到完全虚构的斐波那契序数。

当时在缅因大学的数学家马尔口斯基（George Markowsky）在1992年发表在《大学数学杂志》上的一篇论文中写道，“要用一本大书来记录所有关于黄金比例的错误信息，其中大部分只是被不同作者相同错误的重复”。

这些错误信息大多能被归到由德国心理学家阿道夫·蔡辛1855年出版的一本叫《美学研究（Aesthetic Research）》的书。蔡辛声称人体的比例是基于黄金比例的。在随后的几年里，黄金比例涌现出了“黄金矩形”、“黄金三角形”以及关于这些标志性维度出现地方的各种理论。

从那时起，人们已经说黄金比例能被在吉萨金字塔、帕特农神庙、达芬奇的《维特鲁威人》和一系列文艺复兴时期的建筑中发现。德夫林说，声称关于这一比例对人眼是“唯一的令人愉悦”的总体说法一直被不加批判的陈述。他补充道所有这些说法当它们被测试了时是测量上伪的。

德夫林说，“我们是很好的模式识别者。无论模式是否它在那里我们能看到一种模式，这都是一厢情愿的想法” 。

编者按：Adam Mann贡献本文。

最初发表在Live Science上。

德夫林（Keith Devlin）是斯坦福大学的名誉数学家，斯坦福H-STAR研究所的联合创始人兼名誉执行董事，斯坦福mediaX研究网络的联合创始人，以及语言与信息研究中心的名誉高级研究员。他是世界经济论坛研究员、美国科学促进会研究员和美国数学学会研究员。他已经写了33本书和80多篇研究文章。

https://www.livescience.com/37470-fibonacci-sequence.html