数学仍正在追赶斯里尼瓦萨拉马努金的神秘天才

出生于殖民时期印度家境贫寒的拉马努金在32岁去世，有过迷人的、出自无出处的至今仍在形成这个领域的愿景。

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Kristina Armitage/Quanta Magazine

ByJordana Cepelewicz

Math Editor

October 21, 2024

2011年1月的一个下午，侯赛因（Hussein Mourtada）跳到他的桌子上开始跳舞。他并不孤单：一些与他共享巴黎办公室的研究生也在那里。但他不在乎。这位数学家意识到他终于可以证实他在几个月前在写他的博士论文时第一次有过的偷偷怀疑。他一直在研究叫奇点的特殊点，在那里曲线它们相交或来到尖锐转弯的地方。现在他已经意外的发现了他一直在寻找的，一种来证明这些奇点有一个令人惊讶的深层支撑结构的方法。隐藏在这个结构内的是一个世纪前被一位名叫斯里尼瓦萨·拉马努金的年轻印度数学家首次写下的神秘数学陈述。它们已经在一个梦中来到他。

拉马努金把生命带到自学成才天才的神话。他很穷长大并没受过教育并且在印度南部在与世隔绝时做了很多他的研究，几乎买不起食物。1912年当他24岁时他开始给著名数学家写一系列信。这些大多被忽视，但一位收件人英国数学家哈代（G.H. Hardy）与拉马努金通信了一年最终说服他来到英国，为殖民官僚机构铺平了道路。

对哈代和他的同事们拉马努金可以感知数学真相变成明显的——可以访问整个世界——而其他人只是不能。（哈代本身就是一位数学巨人据说他已经打趣说他对数学的最大贡献是发现了拉马努金）。在拉马努金于1920年享年32岁去世之前，他提出有数千个优雅和令人惊讶的往往没有证据的结果。他喜欢说他的方程式已经被神赐予他。

100多年后，数学家们仍正在努力追赶拉马努金的神圣天才，因为他的愿景一次又一次出现在数学世界的不同角落。

英国数学家哈代在收到一封来自拉马努金的来信并认识到他的才华后安排他在剑桥学习和工作。Alamy

拉马努金可能最著名的是提出分区同一性，关于你能分解一个整数成更小部分的不同方法的方程（例如7=5+1+1）。在20世纪80年代，数学家们开始发现这些方程和其他数学领域之间深刻和令人惊讶的联系：在统计力学和相变研究中、在结理论和弦理论中、在数论和表示理论中以及对称性研究中。

更最近，它们出现在侯赛因的关于被代数方程定义的曲线和曲面的工作中，一个叫代数几何的研究领域。侯赛因和他的合作者已经花了十多年的时间试图来更好理解这种联系，并利用它来发现与拉马努金所写的那些相似的大量全新同一性。.

澳大利亚昆士兰大学的万阿尔（Ole Warnaar）说，“原来是这些结果种类已经基本上发生在数学的每个分支中。这是一件令人惊讶的事情，这不仅仅是一个愉快的巧合。我不想听起来宗教的，但数学之神正试图告诉我们某些东西” 。

新世界

拉马努金的数学才能对那些认识他的人是明显的。没有受过正规训练他表现出色，到他在高中时他已经吞下了先进不过往往过时的教科书并对不同类型的数值属性和模式做着独立的研究。

1904年，他在他长大的小城市库姆把柯南获得了一个政府艺术学院的全额奖学金，在位于现在的印度泰米尔纳德邦。但他忽略了除数学以外的所有科目并在一年内失去了奖学金。后来他进入了另一所大学，这次是在马德拉斯（现在的钦奈），位于北部约250公里处的省会。他又一次不及格了。

大学毕业失败后，拉马努金离家出走，促使他的母亲在《印度教徒报》上发布了一份失踪人员通知。The Hindu

多年来他继续在健康状况不佳的同时靠他自己继续研究。在那段时间里他辅导学生数学来养活他自己。最终他于1912年在马德拉斯港口信托公司找到了一份职员的工作。他在业余时间追求了数学，并在印度期刊上发表了一些他的成果。

拉马努金希望他的一些研究成果发表在更有声望和更广泛阅读的出版物上，他给几位英国数学家写了信，附上了几页供他们审阅的研究结果。他写道 “我已经没有走过一座大学课程中遵循的传统常规课程，但我正在为我自己踏出一条新的道路” 。剑桥大学数论和分析专家哈代就是接信者之一。

拉马努金的给哈代的第一封信包括公式（5）、（6）和（7），哈代说这些奇怪被嵌套的分数“彻底打败了我；我以前已经从未见过像至少像它们一样的东西” 。Courtesy of Ken Ono

哈代被他看到的震惊。拉马努金已经识别并然后解决了许多连续的分式——能被写成在分数内无限个分数的嵌套表达式，例如：

哈代后来写道，它们“彻底打败了我；我以前从未见过至少像它们一样的任何东西，它们一定是真实的，因为如果它们不是真实的，没有人会已经有过去发明它们的想象力” 。这些未经证实的公式是如此引人注目以至于它们灵感了哈代来在剑桥大学给拉马努金提供奖学金。1914年，拉马努金抵达英国，在接下来的五年里他与哈代研究了和合作了。

罗杰斯（L.J. Rogers）在1894年证明了一组方程，但没有人读过他的工作。20年后当拉马努金独立的发现了这些公式时他后来变得出名。Wikimedia

拉马努金的首要任务之一是来证明关于他的连续分式的一般性陈述。为此，他需要来证明另外两个陈述。但他不能。哈代也不能，他联系到的任何同事也不能。

原来是他们不需要来做。更早20年前一位鲜为人知的名字是罗杰斯的英国数学家已经可怜的写了，当时这些证明被发表没有人给予注意。（罗杰斯满足于在相对默默无闻中做他的研究、弹钢琴、园艺，并将他的业余时间用于各种其他追求）。拉马努金于1917年发现了这项工作，这两个陈述后来变得被称为罗杰斯-拉马努金同一性。

在拉马努金的奇妙的输出中，这些陈述脱颖而出。他们已经带它过了几十年并跨几乎所有数学。它们是数学家们继续来播种的种子，无论它们落在哪里生长灿烂的新花园。

拉马努金生病了并于1919年返回印度，次年他在那里去世。来探索他的同一性已经揭示的世界将会落到其他人。

游戏的音乐

侯赛因·穆塔达（Hussein Mourtada）于20世纪80年代长大在黎巴嫩一个名为巴阿勒贝克的小城市。十几岁时他不喜欢学习而更喜欢玩：足球、台球、篮球。数学也是。他说“这看起来像是一场游戏一样，而我喜欢玩”。

作为一名贝鲁特黎巴嫩大学的本科生，他学习了法律和数学，着眼于一个法律事业。但他很快发现虽然他喜欢法律的哲学方面但在实践中不喜欢它。他把注意力转向了数学，在那里他特别被社区吸引。小时候即便他往往在课堂期间睡着，但他的老师和同学们是兴奋他去上学的。作为一名初露头角的数学家，他说“我有这些是美丽的人的印象，他们是诚实的。要成为一名数学家你需要对你自己是诚实的。否则，这不起作用” 。

侯赛因一直将拉马努金的工作带入21世纪。Basma Jaffal

为他的博士学位他搬到法国并开始来集中在代数几何上——研究代数变体或被多项式方程切出的形状。这些是能被写为整数幂变量之和的方程。例如，一条线被方程x+y=0切出，一个圆被x＾2+y＾2=1，一个数字8被x＾4=x＾2-y＾2切出。虽然直线和圆是彻底的平滑的，但数字8有一个在那里它相交它自己的点——一个奇点。

当你正在用你能画在一张纸上的形状处理时来发现奇异点是容易的。但更高维代数变体远更复杂并且不可能来可视化。代数几何学家也正处在理解它们的奇点的事业中。

他们已经开发了各种各样的工具来做这个。一个追溯回到数学家约翰·纳什（John Nash），他在20世纪60年代开始研究叫弧空间的相关物体。纳什会取一个点或奇点并定义无数个穿过它的短轨迹——小弧线。通过一起观察所有这些短轨迹，他可以测试他的变化在那个点上有多平滑。法国巴黎综合理工学院的格列部（Gleb Pogudin）说 “如果你要看它是光滑的，你要抚摸它。”。

按实际的话，一个弧空间提供一个无限的多项式方程的集合。侯赛因在巴黎居西尤数学研究所的同事泰西尔（Bernard Teissier）说，“这真的是侯赛因是专家在的事情：理解这些方程的意义。因为这些方程能是非常复杂的。但对它们有一定的音乐。有很多其中规制这些方程的性质的结构，我认为他就是最善于听这个音乐并理解它意味的人” 。

拉马努金丢失的笔记本上的几页。Trinity College, Cambridge

研究生毕业后不久，侯赛因和另外两位年轻数学家谢珀尔斯（Jan Schepers）和克里门斯（Clemens Bruschek）正在研究与弧空间相关的一种非常简单的奇点。他们打破了空间来更好理解它，就像一个考古学家单独检查一个古代遗址的各个层一样。

最终他们陷住了，但某些东西保持了困住侯赛因。他和他的同事们已经计算了一系列数字。这些数字对应到在弧空间的前几段中有多少个多项式。不知怎的，它们看起来很熟悉。他说 “我像个孩子一样保持了重复它们。然后我突然想起了” 。

到处是隐藏的图案

罗杰斯·拉曼努金同一性就像一块巨大的切割祖母绿一样：广大的复杂和美丽的，依靠你的视角出现完全的不一样的。

拉马努金已经变成数学界的一个名人。2011年，印度为纪念他发行了一枚纪念邮票；几年后，一部关于他的生活的电影上映了。IndiaPost, Government of India

每个同一性设定一个复杂的无穷和等于一个复杂无限积。因此，陈述揭示两个数学函数（加法和乘法）之间一个奇怪的在这个上下文中不应该有太多要与彼此做的联系。

其他研究人员很快在它们中看到了意想不到的数学奇迹。英国数学家珀西·麦克马洪（Percy MacMahon）在19世纪末作为一名士兵开始了他的职业生涯，只因病他从军队离开并从事数学。1915年他正在写第一本关于组合数学的广泛的教科书，一门应对计数方法的学科。他阅读了后来被标榜为罗杰斯-拉马努金同一性的方程式并意识到刚好在这个表面之下等号两侧的函数也关于计数。

考虑一个整数如数字4。它能被分成一个有限数量样子的部分：你能把它写成4、3+1、2+2、2+1+1或1+1+1+1。数学家说数字4有五个“分区”。更大的数字有远更多的分区：例如，数字200有近4万亿个。乔治亚南方大学的安德鲁（Andrew Sills）说分区是如此基本以至于“人们已经只要想到关于数学已经想到分区”。

这不只是一个愉快的巧合。我不要听起来宗教的，但数学之神正试图告诉我们某些东西。Ole Warnaar, University of Queensland

第一位系统的来研究分区的数学家是18世纪的莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）。他证明了非常第一个分区同一性：对任何整数（比如4）它的部分分区的数量都是（在这个案例中两个分区：3+1和1+1+1+1）等于它的部分都是分明的分区的数量的奇数，意味着在它们中没有重复（4和3+1）。

麦克马洪看到罗杰斯-拉马努金的两个同一性可以被一种类似的方式解释。（由于第一次世界大战被孤立的德国数学家伊赛·舒尔独立发现了同一性并得出了相同的结论）。第一个罗杰斯-拉马努金同一性的求和边计算一个给定的没有任何重复或连续部分整数中的分区数。（对数字4有两个：4和3+1。）乘积方计数分区的当被5除（4和1+1+1+1+1）时它们的部分都留下一个1或4余数的数量。对任何整数满足每个条件的分区的数量将总是相等的。

Mark Belan/Quanta Magazine

丹佛大学的卡纳德（Shashank Kanade）说，“这是一个非常奇怪的事实。这是神秘的。我的意思是5是从哪里来的？”

在20世纪的大部分时间里，数学家们都乐于思考拉马努金已经发掘出的奇怪的隐藏现象。例如，在第二次世界大战期间，物理学家弗里曼·戴森（Freeman Dyson）写道他“闲逛在拉马努金的花园里保持了理智”。

在20世纪70年代和80年代，罗德奈（Rodney Baxter，上图）和詹姆斯（James Lepowsky）发现了罗杰斯-拉马努金同一性和其他数学领域（分别是统计物理和表示理论）之间令人惊讶的联系。

但直到20世纪70年代末，他们才发现了罗杰斯-拉马努金同一性的另外的方面。它始于当一位名叫罗德尼·巴克斯特的澳大利亚物理学家创建了一个简化的气体模型来了解相变时即一个系统的行为突然变化的点（比如液态水变成冰时）。在他的模型中计算某些关键数字时，他通过统计力学的视角重新发现了罗杰斯-拉马努金同一性。

大约在同一时间，罗格斯大学的数学家詹姆斯和萝卜特证明了罗杰斯-拉马努金同一性也在表示理论中发生，特殊对称性的数学研究。他们的结果开辟了一个全新的领域——所谓的涡旋算子代数理论，该理论今天被用在弦理论中，并在群论中最近最大的结果之一中起了一个关键角色： “怪物的月光（monstrous moonshine）”猜想的证明。

Teissier说，“你开始看到这些同一性是自然的。它们是事物总体框架的一部分，比仅分区同一性远远更普遍”。

罗杰斯-拉马努金同一性在各个数学领域的这一趋势继续进入20世纪90年代和21世纪初。它们出现在数论中，在叫模形式的中心函数研究中、在概率论中、在马尔可夫链方面的工作中、在拓扑学中、在被用来区分和分类结点的多项式中。每次，这些同一性都可以被用来自这些领域的技术重新证明——每次数学家可以利用这些联系来产生新的同一性，在拉马努金的花园里种下越来越多的种子。

神奇数字

2010年，当侯赛因好奇一个叫脂肪点的简单奇点的弧空间时他有过某些一个启示的东西。为理解奇点的更深层结构，他将相应的弧空间——本质上是一个无穷多个多项式方程的复杂系统——划分成多个层，并已经开始计数每个层中的多项式数量。

哈代和拉马努金密切合作多年。他们交换了关于数学的信件直到拉马努金去世。Trinity College, Cambridge

他注意到他最终得到的数字不是随机的。罗杰斯-拉马努金同一性的总和方面——没有相等或连续部分的分区的数量——他说“突然的来到我的思维，我弄清楚了即便我正在计算某些与分区不同的东西，这实际上正是我正在算的” 。

他意识到这有意义的。人们早就知道你能将一个多项式方程相关联到任何分区。但侯赛因的弧空间的每一部分都仅包括多项式的一个特定子集，因此只包括分区的一个特定子集。侯赛因要来计数它们——正是罗杰斯和拉马努金的那些区分同一性的权限。

1976年，乔治·安德鲁斯发现了拉马努金的“丢失的笔记本”——拉马努金在去世前一年提出的100页（未被证明的）结果。Vladimir and Mariana Tonchev

他、谢珀尔斯和克里门斯证明了他们的弧空间结构可以被用这个同一性描述。谢珀尔斯说，“令人惊讶的是如此简单一个奇点可能有如此一个深层的支撑结构，我们非常兴奋” 。兴奋得侯赛因跳上了桌子。

不久之后，谢珀尔斯和克里门斯离开了数学。但侯赛因继续在他们的工作基础上发展。泰西尔说“你可以说这是婴儿案例”。在接下来的十年里，“他使整个事情远更概念化……一种完全通用的业务” 。

2015年，一位名叫普奴（Pooneh Afsharijoo）的年轻伊朗数学家抵达法国来开始她的与侯赛因攻读研究生。从那时起两人一直一起工作来了解许多其他（更复杂的）奇点和它们的弧空间。这导致了他们发现大量新的同一性以及一个最古老同一性的延伸。罗杰斯-拉马努金同一性说相同数量的分区总是满足两个非常不同的条件。普奴现在是马德里康普顿斯大学的博士后研究员他发现了一个第三种条件，扩大拉马努金100多年前已经写下的原始同一性的范围。

现在，侯赛因和普奴也在用叫图的点和边网络来代表关于它们的弧空间的信息，允许他们能够应用来自图论的工具来发现其他的新颖分区同一性。普奴说，这种新的联系为“在整数内部的魔力”添加甚至更多的证据。

分区和素数

每当罗杰斯-拉马努金同一性出现在某些新的地方时数学家们即感到惊讶又不惊讶。这些同一性的意外出现为探索提供一种新的联系，是许多不同数学领域之间进一步神秘统一的证明。宾夕法尼亚州立大学的乔治·安德鲁斯说，“它的惊奇已经没有消失掉。所有这些事情都是真的似乎仍然是不可究因的”。

但当到这些同一性时每个人都期待着意想不到的。弗吉尼亚大学的小野（Ken Ono）说，“这是种拉马努金那种数学的商标”。

9月，小野和两位合作者——克莱格（William Craig）和易特尔苏木（Jan Willem van Ittersum）——又发布了另一个分区同一性应用。不是寻找会从这些同一性涌出的新来源，而是他们能够将它们用于一个完全不同的目的：来检测素数。

他们采用了计数分区的函数并用它们来构建一个特殊的公式。当你把任何素数插入这个方程时它吐出零。当你插入任何其他数字时它反而吐出一个正数。以这种方式分区同一性能给你一种从整数挑选出整个素数集的方式，小野说，“这难道不疯狂吗？”

他说，“分区是关于加和计数的。为什么它们能够在鼻子上检测出哪些数字是素数或不是素数这是一个乘法的事情？”

通过开发模形式的丰富数学理论，他和他的同事们发现了这个公式只是对一类远更大的检测素数的函数的一瞥——事实上无限多的。小野说“这对我是冲击思维的，我希望人们发现它美丽的” 。这表明数学家们现在希望来探索分区和乘法数论之间一个更深层次的关系。

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以某些方式分区保持渗透数学的每个角落是有意义的。安德鲁斯说 “分区的理论是如此基础。在数学的几乎每一个分支中计数东西并相加东西发生” 。

不过这些联系的确切性质是难来计算出的。小野说：“这真的是关于让观点正确的”。

卡纳德说，“这是关于拉马努金工作的伟大的东西”，这不仅是他发现的一个同一性和一条死胡同。这总是冰山一角。你只不得不跟随它走下去” 。

侯赛因说，“拉马努金是某个能想象像我这样的人不能想象的东西的人”。但数学的新领域的发展已经给了“我们来发现拉马努金可能已经仅凭想象发现的新的分区同一性” 。

他补充道“这就是为什么数学是如此重要的，它也允许像我这样的普通人来发现这些奇迹” 。

https://www.quantamagazine.org/srinivasa-ramanujan-was-a-genius-math-is-still-catching-up-20241021/