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(2024-08-18 17:49:53)
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解决了爱因斯坦的相对论问题的几何工具
张量被用在所有数学和科学来揭示隐藏的几何真相。它们是什么？
EXPLAINERS
Michele Sclafani for
August 12, 2024
在阿尔伯特·爱因斯坦于1905年发表了他的狭义相对论后，他花费接下来的十年试图想出一个引力的理论。但多年来，他保持碰到一个问题。
他要来证明引力真的是被物质的存在造成的空时的几何形状的一个翘曲。但他也知道时间和距离是反直觉的相关的：它们靠你的参照框架变化。快速的移动使距离缩短和时间减慢下来。那么无关你是否是静止的还是运动的你可能如何客观的描述引力呢？
爱因斯坦在由意大利数学家库尔巴斯特罗（Gregorio Ricci Curbastro）和西维塔（Tullio Levi-Civita）几年前发表的新几何理论中找到了解决方案。在这一理论中奠定后来会被标榜为一个“张量”的数学基础
从那时起，张量不仅在爱因斯坦的广义相对论中而且在机器学习、量子力学甚至生物学中变得有用的。伦敦国王学院的理论物理学家安尼诺斯（Dionysios Anninos）说，“张量是我们不得不组织我们的方程的最有效的包装装置，它们对几何对象是自然语言” 。
它们也很难来定义。与一个计算机科学家交谈，他们可能告诉你一个张量是一个存储重要数据的阵列。一个单一的数字是一个“秩0”张量。叫一个向量的是一个秩为1的张量。一个数字网格或矩阵是一个秩为2的张量。等等。
但是与物理学家或数学家交谈，他们会发现这个定义是不可取的。对他们来说，虽然张量可以用这样的数字数组来表示，但它们有更深层次的几何意义。
要理解一个张量的几何概念，用向量开始。你能把一个向量认为是一个漂浮在空间中的箭头——它有一个长度和一个方向。（此箭头不需要被锚定到一个特定点：如果你在空间中移动它，它仍然是相同的矢量）。一个矢量可能代表一个粒子的速度，例如，长度表示它的速度，方向表示它的方位。
这些信息被打包在一个数字的列表中。例如，二维空间中的一个向量被一对数字定义。第一个告诉你箭头向右或向左延伸多少个单位，第二个告诉你它向上或向下延伸多远。
但这些数字依靠你如何已经定义你的坐标系。说您更改你的坐标系：
All graphics: Mark Belan
for
现在，您按它在新坐标系中每个方向上延伸多远表示矢量。这给你一对不同的数字。但向量本身已经没有改变：无论你处在哪个坐标系中它的长度和方向仍然相同的。此外，如果你知道如何从一个坐标系移动到另一个坐标系统，你也将自动知道你的数字列表应该如何变化。
张量一般化这些想法。一个向量是一个秩为1的张量；高阶张量包含更复杂的几何信息。
例如，想象你有一块钢，你要描述能施加在它上的所有力。一个秩2张量——写成一个矩阵——能做这个。方块的每个面都感受到三个不同方向的力。（例如，方块的右表面能体验上下方向、左右方向和前后方向中的力）。
因此，囊括所有这些力的张量能因此被一个九个数字的矩阵代表——三个面中每一个方向中一个数字。（在这个例子中对面被认为是多余的）。
数学家往往将张量感知为将一个或多个向量作为输入并产生另一个向量或一个数字为输出的函数。此输出不依靠坐标系的选择。（这种约束就是使张量与更一般的函数分明的）。例如，一个张量可能采取形成一个矩形边的两个向量并输出矩形的面积。如果你旋转这个矩形，它的沿x轴的长度和沿y轴的高度将变化。但它的面积不会。
在爱因斯坦的相对论中，距离和时间——从前被认为是绝对的——原来是对不同的观察者变化的。但正如长度和高度能被结合来计算面积一样，距离和时间能被结合来定义其他固定属性或不变量。张量使爱因斯坦能够来有效的操纵这些不变量，并来描述质量和空时之间的关系。他可以写一个单一的方程描述物质如何弯曲空时，压缩否则会已经是16个独立、相互关联的方程。
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自1915年该方程发表以来，张量已经变得无处不在。物理学家用它们来特征化电子围绕原子核的运动，或来描述一个纠缠的量子系统的状态。计算机科学家用它们来存储机器学习模型的参数。生物学家用它们来追踪回到谱系中的特征。数学家将它们一起相乘来构建更复杂的张量，然后研究这些张量生活在的新空间。张量能帮助数学家探索复杂的对称性，分析叫流形的特殊形状的属性，并在其它事情中探索不同函数之间的关系。
爱因斯坦曾恳求一位朋友来帮助他理解张量，恐惧他要发疯。但他确实理解了它们，从那以后它们对科学家的来描述我们的世界的能力一直是关键。
https://www.quantamagazine.org/the-geometric-tool-that-solved-einsteins-relativity-problem-20240812/
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