数学家们让数字处在运动中来解锁它们的秘密

NUMBER THEORY

Kelsey Houston-Edwards

Contributing Writer

February 22, 2021

 

    一个新的证据展示算术动力学的力量，这是一门结合来自数论和动态系统洞察的新兴学科。

算术动力学利用数论中的对象如椭圆曲线和动态系统中的对象如茱莉亚集合之间的相似性来产生关于两者的新洞察。Vignette for Quanta Magazine

    约瑟夫·西尔弗曼记得当他开始连接最终将导致数学的新分支的点时：1992年4月25日，在纽约舍内塔迪联合学院的一次会议上。

    这件事偶然发生了在他参加装饰数学家约翰·米尔诺做的一个演讲时。米尔诺的主题是一个叫做复杂动力学的领域，这西尔弗曼知之甚少。但随米尔诺介绍了一些基本想法，西尔弗曼开始了来看在那里他是一个专家的数论领域的惊人相似之处。

    他记得他自己想，"如果你只是改变了几个词，有一个类似类的问题"。.

    西尔弗曼是布朗大学的数学家，受到启发离开了房间。第二天，他在早餐时问米尔诺一些后续问题，然后着手来追求这种类似。他的目标是来创建一本会在动态系统和数论之间翻译的字典。

    乍一看，这两个看起来像不相关的数学分支一样。但西尔弗曼承认，他们以一种特定的方式彼此互补。虽然数论在数字序列中寻找模式，但动态系统实际上产生数的序列，就像有规则的定期定义一颗行星在太空中位置的序列一样。当数学家寻找隐藏在这些序列中的数论模式时两者合并。

    自从西尔弗曼参加米尔诺的演讲以来的几十年里，数学家们已经急剧的扩大了数学的两个分支之间的联系，并建立了一个全新的领域的基础：算术动力学。

    该领域的到达继续生长。在去年发表在《数学年鉴》上的一篇论文中，三位数学家将这个类比扩展到了迄今为止最雄心勃勃和最意想不到的一个。通过这样做，他们解决了数论中数十年的一个以前似乎毕竟与动态系统没有任何明显联系的老问题的部分。

    新的证明量化一种曲线能在一个周围空间中相交特殊点的次数。数字理论家以前好奇了是否刚好在那里能有多少相交有一个上限。证据的作者使用算术动力学来证明对一种特定曲线的集合有一个上限。

    哈佛大学数学家劳拉·德马科说， "我们想了解数论。我们不在乎是否有一个动态系统，但因为有一个，我们就能把它作为一个工具"，他与剑桥大学的霍莉·克里格和浙江大学的何西叶共同撰写了这篇论文。

在一条曲线上移动

    2010年5月，一群数学家聚集在巴巴多斯的一个小研究机构，在那里他们度过了阳光灿烂的日子，在离海滩只有几十英尺的地方讨论数学。甚至这个讲座设施没有墙壁和简单的木凳，让也们尽可能的接近大自然。

    西尔弗曼说，"有一天晚上当下雨时，你甚至听不到人的声音，因为在金属屋顶上的雨"。

    这次会议是在算术动力学的发展中的一个关键时刻。它把来自数论的专家如西尔弗曼和动态系统如德马科和克里格带在一起。他们的目标是通过结合这两种观点来扩大可以被解决的问题的类型。

    他们的起点是数论中的核心对象之一：椭圆曲线。就像圆圈和线条一样，椭圆曲线既是数字又是形状。它们是数字对 x 和 y，作为对一个代数方程如 y^2 = x^3- 2 x的解。这些解的图形创建一个看起来模糊的像挤压一个气泡的垂直线一样的几何形状。

Samuel Velasco/Quanta Magazine

    长期以来，数学家一直对量化和分类这些曲线的各种属性感兴趣。迄今为止最突出的结果是安德鲁·威尔斯的著名的1994年证明费马的最后定理，一个关于哪些方程有是整数解的问题。证据在很大程度上依赖于椭圆曲线的研究。一般来说，数学家集中在椭圆曲线上，因为它们占据着探究的甜蜜点：它们不足以容易是微不道的，也不是如此艰难以致它们不可能来研究。

    佐治亚理工学院的数学家马特·贝克说，"椭圆形曲线仍然足够神秘，它们一直都在产生新的数学"。

    数学家们特别对椭圆曲线上用一种特别方式围绕曲线移动行为的椭圆曲线上的一个大本营点感兴趣。在一条椭圆曲线上你能使用标准添加对彼此的点，但此方法不是很有用的：总和不太可能是曲线上的另一个点。

    但椭圆形曲线带有一种特殊的内部结构，创建一种不同类型的算术。这种结构被称一个群，使用它的自包含的算术规则将点加在一起的结果是大不相同的。

    如果按照群结构在一条椭圆曲线上添加两点，则总和始终是一个在曲线上的第三点。例如，如果你继续这个过程，一遍又一遍地给它自己添加一个点，结果就是一个全沿着椭圆形曲线所在的无限点序列。

    不同的起点将造成不同的序列。"大本营"点是具有一个非常独特属性的起点。如果你反复的给它自己添加其中一个点，它不会生成一个无限序列的新点。相反，它创建一个回到你开始于的点的循环。

Samuel Velasco/Quanta Magazine

    这些创建循环的特殊起始值被称为扭转点。它们立即的引起数字理论家的兴趣。它们也对一种关于动态系统的点的特定类型有一个惊人的对应关系，而正是这种对应关系才真的让算术动力学处于运动中的。

    克里格说， "这确实是为什么这个领域已经成为一个领域的基础"。

重复的模式

    动态系统通常被用于描述按照一种重复规则及时移动前进的真实世界现象，如与牛顿的法则一致一个台球的敲打。你从一个值开始，将它插入一个函数并获得一个成为你的新输入的输出。

    一些最有趣的动态系统是被函数如 f （x） = x^2-1驱动的，这些函数与复杂的被称为茱莉亚集合的分形图片相关联。如果你用复数（带有一个实数部分和一个虚数部分的数字）并一遍又一遍地应用该函数-----将每个输出作为下一个输入馈回给函数-----你在复平面中生成一系列的点。

一个朱莉娅集合的例子。Quanta Magazine; original: Víctor J. García-Garrido

    这只是所谓的一个二次多项式的一个例子，其中变量被升到二次方。二次多项式是动态系统中研究的基础，就像椭圆曲线是数论中许多基础询问的焦点一样。

    贝克说："（动态系统中的）二元多项式在数论中与椭圆曲线起相似的角色。它们是我们似乎总是回到来尝试实际的证明某些东西的基础"。

    动态系统随它们演变生成数字序列。以二次函数 f （x） = x^2 - 1 为例。如果你从值 x = 2 开始，你生成无限序列 2、3、8、63 等。

    但并非所有的起始值都会触发一个永远越发更大的级数。如果你从 x = 0 开始，同一的函数会生成一个非常不同的级数类型：0、-1、0、-1、0 等。而不是一个无限的明显数字的串，你终结在一个小的，封闭的环中。

    在动态系统的世界，其序列最终的重复的起点被称为有限轨道点。它们是椭圆曲线上扭转点的一个直接类似。在这两种情况下，你都从一个值开始，应用这个系统或曲线的规则，最终处于一个循环中。这是三位数学家在他们的新证明中利用的类比。

    德马科说，"这种简单的观测------在椭圆曲线上的扭转暖点是与某些一个动态系统的有限轨道点相同的------是我们在我们的论文中反复使用的"。

设定一个天花板

    在德马科的监督下克里格和叶于2013年从芝加哥伊利诺伊大学获得博士学位。三人于2017年8月在加州圣何塞的美国数学研究所再次开会，该研究所举办密集的短期研究项目。

    叶说，"我们在一个房间里呆了五天。我们需要解决一些问题"。

霍莉·克里格（左）和叶河西（右）在数特殊种类点的新工作中扩展了算术动力学的到达。Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach; Courtesy of Hexi Ye

    在此期间，他们开始设想一种扩大椭圆曲线的扭转点和动态系统的有限轨道点之间的关键类比的方法。他们知道了他们改造一个看似无关的问题成一个其中类比是直接适用的问题。这个问题产生于某些叫做马宁-芒福德猜想的东西。

    马宁-芒福德猜想是关于比椭圆曲线更复杂的曲线例如 y^2 = x^6 + x^4 + x^2 - 1 。这些曲线中的每一个都带有一个叫做雅各比的相关的更大的几何对象，它模仿曲线的某些属性，通常比曲线本身更容易让数学家来研究。一条曲线位于它的雅各比里面，像一块拼图坐在一个拼图内一样。

    与椭圆曲线不同，这些更复杂的曲线没有在一条曲线上添加点来获得曲线上的其他点的群结构。但相关的雅各比的这样的。雅各比的也有扭转点，就像一个椭圆形曲线一样，在反复的内部添加下靠它们自己回旋回来。.

    马宁-芒福德猜想必须用这些复杂的曲线做多少次坐落在它的雅各比内相交雅各比的扭转点。它预测这些交叉只发生有限多次。该猜想反映一条曲线的代数性质（以扭矩点是定义曲线的方程的特殊解的方式）和它的作为一个几何对象的生命之间的相互关系（反映曲线如何被嵌入它的雅各比内部，就像另一个形状在另一个形状中一样）。扭转点挤满在雅各比的每个区域中。如果你放大它的任何微小部分，你会发现它们。但马宁-芒福德猜想令人惊讶的预测窝巢的曲线仍然设法错过所有但它们有一个有限的数。

    1983年，米歇尔·雷诺证明了这个猜想是真实的。从那时起，数学家们一直在试图升级他的结果。不是仅知道交叉的数字是有限的，而是他们想知道它低于某些特定值。

    克里格说，"现在你知道它们只有有限的许多共同点，那么你遇到的每个数学家都会说，嗯，有多少呢？"

    但是，由于缺乏一个明确的其中来思考定义这些点的复数的框架，来计数交叉点的努力受到阻碍。算术动力学最终提供了一个。

转化这个问题

    德马科、克里格和叶在他们的2020年的论文中建立了一个曲线家族在交叉数字上有一个上限。由另一位数学家、哥本哈根大学的拉尔斯·科恩的一篇更新的论文提供一个对所有曲线建立有一个上限的证据。这篇论文于1月下旬发布，尚未经过全面审查。

    雷诺之前的结果只是证明了交叉的数字是有限的，但它为该有限数字使其尽可能大（从某种意义上说你总是可以制作一个更大的有限数字）留有余地。三人的新证据确定了所谓的一个统一界定，一个那个交叉能是多大的上限。德马科、克里格和叶没有确切的识别这个上限，但他们证明了它存在，他们还识别了未来工作可以采取来计算这个数字的一系列步骤。

劳拉·德马科和她的两个前学生一起演示了动态系统怎样能解关于椭圆曲线的问题。Adrian Popa

    他们的证据依赖于雅各比与这个特殊的曲线族相关的独特属性：它们能被分开成两个椭圆曲线。

    构成雅各比的椭圆形曲线的解来自实数。而不是一条摇摆的线它们看起来像一个甜甜圈的表面一样。德马科、克里格和叶研究的特定曲线族有雅各比的它们看起来像双孔甜甜圈一样。它们很好的分开成两个普通的甜甜圈，每个甜甜圈都是组成椭圆曲线两个成分之一的图形。

    新的工作集中在这些椭圆曲线的扭转点上。三位数学家知道他们感兴趣的数字-----复杂曲线和它们的雅各比的扭转点之间的交叉点数------可以按照从其中一条椭圆曲线的扭转点与来自另一条曲线重叠的扭转点的次数被重新构架。因此，要对马宁-芒福德猜想放上一个约束，作者所要做的就是计数这些扭转点之间的交叉点数。

    他们知道这不可能被直接的完成。不能立即的比较两个椭圆曲线及其扭转点，因为它们不一定重叠。扭转点被洒在椭圆曲线的表面上，但两个曲线可能有非常不同的形状。这就像比较在一个球体表面上的点对在一个立方体表面的点一样------这些点能无需实际重叠有类似的相对位置。

    克里格说，"你真的不能比较这些在椭圆曲线上的点，因为它们位于不同的地方：它们生活在不同的几何对象上"。

Samuel Velasco/Quanta Magazine

    但是，虽然扭转点实际上并不一定重叠，但来认为它们的对为在每个甜甜圈上处于相同的相对位置。在各自甜甜圈上占据相同相对位置的对扭转点能被认为是相交的。

    为了准确确定这些交汇发生的位置，作者必须将扭转点从各自的曲线上抬起来并相互转换过来------几乎是你应该将一个恒星图拟合在夜空中的方式。

     数学家知道这些星图，但他们没有一个好的允许他们来计数重叠点的视角。德马科、克里格和叶用算术动力学管理它。他们把两个椭圆曲线转换成两个不同的动态系统。两个动态系统在同一实际空间复平面上生成了点。

    德马科说，"对有一个动态系统的两个空间，更容易来认为一个有两个独立的动态系统的空间"。

    两个动态系统的有限轨道点对应于支撑椭圆曲线的扭转点。现在，要对马宁-芒福德的猜想放上一个约束，数学家们只需要来计数这些有限的轨道点重叠的次数。他们使用来自动态系统的技术来解决这个问题。

计数这个重叠

    为了计数这个重叠，德马科、克里格和叶转向一个测量随初始点被反复添加到它自身生长了多少的工具。

    在椭圆曲线上的扭转点没有增长或长期变化，因为它们循环回到它们自己。数学家用一个"高度函数"来测量这种生长或缺乏。当应用于椭圆曲线的扭转点时它等于零。同样，当应用于动态系统的有限轨道点时它等于零。高度函数是一个算术动力学中的重要工具，因为它们能被用于两个分支之间每个分界的两侧。

    作者研究了零高度点多经常与代表椭圆曲线的动态系统巧合。他们表明了这些点被足够分散在复平面上，因此它们不太可能巧合------事实上如此不可能它们不可能超过一个特定次数做它。

    这个数字很难计算，而且它可能比实际的巧合点数要大得多，但作者证明了这个硬上限确实存在。然后，他们把这个问题转换成数论的语言来确定在两个椭圆形曲线上的最大共享扭转点数-----他们原始问题的关键以及一个算术动力学力量的挑衅性演示。

    多伦多约克大学的帕特里克·英格拉姆说，"他们能够来回答一个在数论中已经存在没有人认为这与动态系统有任何关联的特别问题，这得到了很多关注"。

    在德马科、克里格和叶首次发布了他们的对马宁-芒福德猜想一个统一约束的证明后不久，他们发表了第二份相关论文。后续工作是关于动态系统中的一个问题而不是数论的，但它使用类似的方法。从这个意义上说，这两篇论文是西尔弗曼近30年前注意到的类比的一个精髓的产物。

    德马科说，"从某种意义上说，这是适用于两个不同范例家族的相同论点"。

    这两篇论文综合了数学家在过去三十年中在算术动力学方面已经发展的许多想法，同时也添加全新的技术。但西尔弗曼视这些论文为建议性大于结论性的，暗示一个对新学科的更大影响。

    西尔弗曼说，"特别定理是大猜想应该是什么的特例，但甚至那些单独的定理真的、真的很美丽"。

    更正：2021 年 2 月 23 日

    本文已被修订以避免暗示拉尔斯康涅（Lars Köhne）的新工作使用算术动力学。

 

Kelsey Houston-Edwards

Contributing Writer

 

February 22, 2021

 

https://www.quantamagazine.org/with-arithmetic-dynamics-mathematicians-unlock-new-insights-20210222/