可能支持自然法则的奇特数学

QUANTA MAGAZINE

07.28.18

07:00 AM

剑桥大学的数学物理学家科尔弗雷(Cohl Furey) 正在寻找粒子物理学标准模型和八元值子之间的联系, 八元值子的乘法规则被一种叫做范诺平面的三角形图编码。SUSANNAH IRELAND/QUANTA MAGAZINE

    2014年, 加拿大滑铁卢大学的一名名叫科尔弗雷的研究生租了一辆车并驱车六小时到南宾夕法尼亚州立大学, 急切的想和一位在那里的名叫穆拉特谷奈丁(Murat Günaydin )的物理教授交谈。弗雷已经弄清楚了怎样来建立一个关于谷奈丁40年前的发现------一个基本上被遗忘的支持一个基础物理及其与纯数学的关系的强大的怀疑。

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    原故事许可从量子杂志转载, 量子杂志是西蒙斯基金会的独立编辑的发行物, 它的使命是通过涵盖数学和物理和生命科学的研究发展和趋势加强公众对科学的理解。

    几十年来许多物理学家和数学家怀有这种怀疑, 但积极的从被称为八元值子的八维数字的属性追求逻辑上包含现实源泉的力和粒子的特殊的盛装是罕见的。

    像数字那样, 熟悉的实数------在数字线上发现的比如1、π和-83.777------才刚刚让事情开始。十六世纪第一次在意大利研究,实数可以以特定的方式配对形成"复数",行为像在一个2维平面上的坐标一样。加法、减法、乘法和除法就像是围绕这个平面平移和旋转位置一样。适当配对的复数形成4维 "四元值子", 1843年被爱尔兰数学家威廉·罗恩·汉密尔顿发现, 汉密尔顿当场心醉神迷的把这个公式凿进都柏林的布鲁姆桥。汉密尔顿的律师朋友约翰·格雷维斯随后表明了四元值子对能成八元值子的: 八元值子是在一个抽象的8维空间中定义坐标的数字。

在1843年发现了八元值子的爱尔兰律师和数学家约翰格雷维斯（John Graves）。MACTUTOR HISTORY OF MATHEMATICS

    游戏在这里停了。证据在1898年浮出水面, 即实数、复数、四元值子和八元值子是唯一能被加、减、乘和除的数字类别。这些 "分法代数" 的前三个将很快为二十世纪物理学打下数学基础, 实数字无处不在出现, 复数提供量子力学的数学, 四元值子支持爱因斯坦的狭义相对论。这使得许多研究人员来好奇关于最后的和最不理解的分法代数。八元值子能掌握宇宙的奥秘吗？

    佛罗里达大学的粒子物理学家和弦理论家皮埃尔·拉蒙德在一封电子邮件中说， "海妖对尤利西斯的是八元值子对物理学的"。

    宾州州立大学教授谷奈丁当他和他的导师费萨谷尔赛发现了一个八元值子和强力之间有一个惊人的联系时的1973年是耶鲁大学的一名研究生, 强力在原子核内将夸克绑定在一起。最初对这一发现感兴趣的热潮没有持续多久。当时的每个人都对粒子物理学的标准模型感到困惑------一组描述已知基本粒子及其通过强、弱和电磁力 (除引力之外的所有基本力)相互作用的方程。不是寻找标准模型奥秘的数学答案, 而是大多数物理学家把他们的希望放在高能粒子对撞机和其他实验上, 期望额外的粒子显示出来并将引导超越标准模型到一个更深的现实描述的途径。加拿大滑铁卢理论物理周边研究所的理论物理学家撒拉·博伊尔说，他们 "想象了下一点进展将来自一些新的被扔到桌上的片断, 而不是更加努力的考虑我们已经有的片断"。

    数十年来, 没有发现超过标准模型的粒子。与此同时, 八元值子的奇特之美已经继续吸引着偶尔独立思维的研究员, 包括在四年前访问过谷奈丁的加拿大研究生弗雷。看起来像一个星际旅行者一样, 尖锐的蓝色眼睛之间有起伏的到一个点的银色刘海, 弗雷在黑板上潦草奇异的符号, 试图通过构建一个强和电磁力的八元值子模型向谷奈丁解释她已经扩展了他的和谷尔赛的工作。

    弗雷回忆道，"与他交流细节原来是比我已经预想的更有挑战性, 因为我挣扎着要找一个在边上的词"。自70年代以来谷奈丁继续通过它们与弦理论、M 理论和超引力的深刻联系研究八元值子,试图用其它基本力来统一引力的相关理论。但他的八元值子追求一直处于主流之外。他劝告弗雷为她的博士学位来找另一项研究项目, 因为八元值子可能会对她关闭大门, 就像他觉得它们对他一样。

SUSANNAH IRELAND

    但弗雷没有------不能放弃。被一个八元值子和其它分法代数支持自然法则的深刻直觉驱动， 她告诉一位同事如果她没有找到在学术界的工作她打算带上她的手风琴到新奥尔良并在街头表演来支持她的物理习惯。相反, 弗雷落在了在英国剑桥大学一个博士后上。此后, 她已经产生了一系列的将八元值子与标准模型联系在一起的专家们正在叫有趣的、好奇的、高雅的和新颖的结果。罗格斯大学的数学物理学家沙地塔维尔达尔扎德说，"她已经采取了重大步骤来解决一些真正深刻的物理谜题"，他在观看了她在剑桥做了的工作的在线系列演讲视频后最近访问了弗雷。

    弗雷还必须构建一个简单的所有标准模型粒子和力在一起的八元值子模型, 她没有触及引力。她强调数学的可能性是很多的, 专家们说, 要告诉融合八元值子和其它分法代数 (如果有的话)的哪种方式将会导致成功还为时过早。

 伦敦帝国学院的先驱弦理论家和教授迈克尔·达夫说,"她已经发现了一些有趣的链接", 他已经研究了八元值子在弦理论中的作用。"这当然值得追求, 在我看来。是否它最终将是标准模型被描述的方式很难说的。如果是,对所有最高级的它是质化的------革命的等等"。

奇怪的数字

 我在6月遇见了弗雷, 在通过进入在卡姆河岸上特里尼提大厅的港口小屋中。身材娇小, 肌肉发达, 穿着一件无袖黑色 t恤衫 (显示混有武术的瘀伤), 卷起的牛仔裤,在它们上有卡通外星人的袜子和素食鞋商标的运动鞋, 个人上她比她的演讲录像中的超凡脱俗的身影更温哥华人的。我们在大学的草坪上漫步,在炎热的太阳下穿过中世纪的门道。在不同的一天, 我可能会看到她在草地上的紫色瑜伽垫上做物理。

  39岁的弗雷说她是在不列颠哥伦比亚省高中的一个特定时刻第一次被吸引到物理学。她的老师告诉全班同学只有四种基本力支持世界上所有的复杂性, 而且, 自二十世纪七十年代以来物理学家们一直在试图把它们统一在一个单一的理论结构中。她钢铁般的眼睛对我说, "这刚好是我听过的最美的东西"。几年后, 她有过几个类似的感觉,作为一名温哥华的西蒙弗雷泽大学的学生她了解到了四分代数。一个这样的数字系统或无限多的会似乎是合理的。她回忆着思考，"但四呢？多么奇特的"。

 在作为一名混杂的武术艺术家从学校度过滑雪流浪、在国外酒保和强烈训练中断后, 弗雷后来在一个高等几何课程再次遇见了分法代数并且了解到了它们以四个过

程变得多么奇特。她解释说, "随你从实数到复数到四元值子到八元值子当你每个步骤倍增维数时,在每一步你失去一个属性。例如,实数能被从最小到最大排序",而在复平面中没有这样的概念。其次, 四元值子失去交换性，对它们来说 a x b 不等于 b x a。这有意义的, 因为乘更高维数涉及旋转, 当你在两个以上的维度中切换旋转顺序时,你最终会在不同的位置。更奇怪的是, 八元值子是非相关联的, 意思是 (a x b) x c 不等于a x (b x c)。加州大学河滨分校的数学物理学家和八元值子的主要专家约翰贝兹说,"数学家强烈不喜欢非相关联的东西，因为, 虽然很容易想象非交换的情况------穿上鞋子, 然后袜子是来自不同的袜子, 然后鞋------但想象非相关联的情况是很难的。如果,不是穿袜子然后鞋, 而是你首先把你的袜子穿到你的鞋上, 技术上你应该仍然能够把你的脚穿在这两个上的并得到相同的结果。插话感觉人为的"。

 八元值子的看似非物理的非相关联性已经削弱了许多物理学家的来利用它们的努力, 但贝兹解释说它们特有的数学也一直是它们的主要魅力所在。自然用它的四种力打击几打粒子和反粒子本身就很奇特。他说, 标准模型是"古怪的和特殊的"。

 在标准模型中, 基本粒子是三个"对称群" 的证明------实质上是使方程保持不变的粒子的内交换子集的方式。这三对对称群SU (3)、SU (2) 和 U (1) 分别对应于强、弱和电磁力, 并且它们 "作用" 在六种类型的夸克、二种类型的轻子加上它们的反粒子上,每类粒子以除了它们的质量是同一的外的三个拷贝或者"世代"来的 (第四基本力引力被单独地描述, 并且不兼容爱因斯坦的广义相对论, 广义相对论在空间时间的几何中把自己铸造为曲线)。

 粒子集以相同的为实现90度旋转的对称性一个正方形的四个角一定存在的同一方式证明标准模型的对称性。问题是, 为什么这个对称群------SU (3) x SU (2) x U (1)？为什么这个特殊的粒子用观察到的粒子电荷的有趣的归类、好奇的手性和三代冗余代表呢？传统的对此类问题的态度一直是把标准模型看作是一些更完整的理论结构的碎片。贝兹说，但一个竞争的趋势是尝试使用八元值子并"从逻辑的不知怎的规律中获得这个怪异"。

 弗雷在研究生院当她知道了四元值子捕获粒子转换并在4维空时中旋转的方式时开始认真地追求这种可能性。她想知道粒子的内部属性, 就像它们的电荷。她说，"我意识到八自由度的八元值子可以对应于一代粒子: 一个中微子、一个电子, 三个上夸克和三个下夸克"-----一点之前已经让人皱眉的数字学。巧合从那以后已经激增。她说,"如果这个研究项目是一个谋杀的奥秘,我会说我们仍然在收集线索的过程中" 。

迪克森代数

 为重建粒子物理, 弗雷使用四分代数的乘积ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 (ℝ为实数, ℂ为复数, ℍ为四元值子和𝕆为八元值子)------有时称为迪克森代数, 以杰弗里·迪克森命名的, 杰弗里·迪克森在二十世纪七十年代和八十年代在未能获得教师工作并离开这个领域之前第一次采取了这个策略(迪克森向我转达了他回忆录中的一段，"我所拥有的是一种失控的直觉,这些代数是来理解粒子物理的关键, 如果需要的话, 我愿意跟随这个直觉跳下悬崖。有人可能会说我做了")。

 而迪克森和其他人则通过用额外的数学机制混合这种分法代数, 弗雷限制她自己，在她的计划中, 代数 "作用在它们自己上"。结合为ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆, 四数字系统形成一个64维的抽象空间。在这个空间里, 在弗雷的模型中, 粒子是数学的"理想物": 一个当乘以其它元素时停留在这个子空间中的子空间元素，允许甚至随它们移动、旋转、交互和变换粒子来保持粒子的。想法是, 这些数学理想物是自然的粒子, 它们体现ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆的对称性。

 正如迪克森知道的, 这个代数整齐的分为两部分: C⊗H和C⊗𝕆,各自有四元值子和八元值子复数的乘积 (实数是微不足道的)。在弗雷的模型中, 对称性与粒子怎样在空间时移动和旋转有关, 一起知道洛伦兹群源自于代数的四元值子C⊗H部分。对称群SU (3) x SU (2) x U (1), 相关联的粒子的通过强、弱和电磁力的内部属性和相互作用来自八元值子部分C⊗𝕆。

    谷奈丁和谷尔赛在他们的早期工作中已经发现了SU(3)在八元值子内。考虑八元值子的基础集1、e1、 e2、 e3、e4、e5、 e6 和 e7, 这是在八个不同正交方向中的单位距离: 它们相对于一群称为G2 的对称, G2恰好是一个罕见的不能数学上分类为其它现有的对称群家族的"特殊群"。八元值子与所有特殊群和其它特殊数学对象的亲密联系已经使人们更加相信它们的重要性, 例如,令人信服的著名的领域奖得主和阿贝尔奖获得者数学家迈克尔阿提延,自然的最终理论一定是八元值子的。他在2010年说,"我们希望得到的真正理论应该包括有所有这些理论以这样一种引力被认为是八元值子和特殊群的结果的方式的引力"。他补充道, "这将是困难的, 因为我们知道八元值子是困难的, 但当你已经找到它时, 它应该是一个美丽的理论并且它应该是独一无二的"。

    在变换其它单位八元值子时保持e7将降低它们的对群SU (3)的对称性。谷奈丁和谷尔赛利用这个事实建立了一个强力作用在单一代的夸克上的八元值子模型。

LUCY READING-IKKANDA/QUANTA MAGAZINE

    弗雷已经进一步前进。在她最近发表在5月的《欧洲物理杂志 C 》上的一篇论文中, 她巩固了几个发现来构建完整的标准模型对称群SU(3) x SU (2) x U (1), 对于一个单一世代的粒子, 用数学产生电荷阵列和对一个电子、中微子、三个上夸克、三个下夸克和它们的反粒子的其它属性的更正。这个数学也暗示为什么一个电荷在离散单元中被量子化的原因------本质上, 因为整数是。

    然而, 在这个模型的排列粒子的方式中，不清楚怎样自然的把模型扩展到涵盖所有在自然中存在的三个粒子世代。但在另一篇新的目前正在专家和物理来信B审查的论文中, 弗雷使用C⊗𝕆来构建标准模型的两个不间断对称 SU (3) 和 U (1)。(在自然界中, SU (2) x U (1) 被希格斯机制分解成 U (1), 这是赋予粒子有质量的过程)。在这种情况下, 对称作用在所有三个粒子世代上并也允许称为中性中微子粒子的存在------物理学家现在正在积极寻找的暗物质候选。弗雷告诉我，"三代模型只有 SU (3) x U (1), 因此它更基本",笔在白板上动着，"问题是, 是否有一个明显的从一代图片到三代图片的方式？我认为有"。

    这是她现在之后的主要问题。数学物理学家米歇尔-杜宝伊斯、伊万托多罗夫和斯维尔拉德伦斯卡也正在尝试用一个包含八元值子的叫做特殊乔丹代数的结构来模拟三个粒子世代。经过多年的独奏工作, 弗雷正在开始与那些采取不同方法的研究人员合作, 但她更愿意坚持在作用在它自己上的四分代数积R⊗C⊗H⊗𝕆上。它是足够复杂的, 并以很多方式提供它能被细碎起来的灵活性。弗雷的目标是在这个目障之后发现模型,感觉不可避免的包括质量、希格斯机制、引力和空时。

    在数学中已经有了空时感。她发现R⊗C⊗H⊗𝕆元素的所有乘法链都能被称为 "生成器" 的10的矩阵生成。生成器的九个像空间维度一样行为, 第十个有相反的符号, 行为像时间一样。弦理论也预测10个空时维度-------八元值子也参与其中。弗雷的工作是否和怎样联系到弦理论还有待解谜的。

 她的未来也是如此。她现在正在找一份教师工作, 但没能做到, 总是有滑雪坡道或手风琴的。她说, "手风琴是音乐世界的八元值子,可悲的误解了" ，她补充道, "即使我追求这一点, 我也会一直致力于这个项目"。

最后的理论

    弗雷主要是对我关于物理与数学关系的哲学问题提出异议, 比如是否深往下它们是一个并且是同一的。但她却带着为什么分法的属性是如此关键的神秘。她也有一个预感, 反映一个对无穷大的普遍的过敏, R⊗C⊗H⊗𝕆实际上是一个那个将被替换的近似, 在最后的理论中有另一个相关到不涉及实数的无限连续的数学系统。

    这只是正在直觉谈话。但是, 随着标准模型通过惊人完美的测试,以及在欧洲的大型强子对撞机没有新的粒子物质化的启示, 在空气中一种新的感觉, 既是令人不安又令人兴奋的, 迎来一个回到白板和黑板。周边研究所的博伊尔说,有一种新兴的"也许我们还没有完成将当前的碎片配在一起的过程"的感觉。他评价这种可能性"比许多人意识到的更有希望", 并说它 "应该受到比它目前得到的更多关注, 因此我很高兴一些像科尔这样的人正在认真地追求它"。

    博伊尔他自己没有写关于标准模型的与八元值子的可能关系。但和其他许多人一样, 他承认听到了它们的警笛歌。他说,"我共享希望甚至怀疑, 八元值子不知怎的可能在基础物理中最终扮演一个角色,因为它们是非常美丽的"。

    原故事许可从量子杂志转载, 量子杂志是西蒙斯基金会的独立编辑的发行物, 它的使命是通过涵盖数学和物理和生命科学的研究发展和趋势加强公众对科学的理解。

https://www.wired.com/story/the-peculiar-math-that-could-underlie-the-laws-of-nature