数学家测量无穷大并发现它们是相等的

    证据取决于一个令人惊讶的无限的规模和数学理论的复杂性之间的链接

   By Kevin Hartnett, Quanta Magazine

   September 16, 2017

Credit: Saul Gravy Getty Images

    在一个否定了几十年的传统智慧的突破中，两位数学家已经证明了两个不同的无穷变量实际上是大小相同的。这个进步触及数学中最著名和最棘手的问题之一： 是否自然数的无限大小和实数的更大无限大小之间存在无穷大。这个问题在一个世纪前第一次被辨识。一道与耶路撒冷希伯来大学和罗格斯大学的撒哈伦·谢兰工作在这个新工作上的作者之一芝加哥大学的马里安瑟·马利亚里斯说，当时数学家已经知道了"实数是大于自然数的，但不是更大很多的。它是下一个最大的还是这两者之间的一个呢？"。

    在他们的新工作中，马利亚里斯和谢兰解决一个相关到70年老的关于是否一个无穷大（称之为p）比另一个无穷大（称之为t）更小的问题。他们证明了这两个其实是相等的，这令数学家惊讶的。

    谢兰说，"那当然是我的意见，而一般认为p应小于t"。

    马利亚里斯和谢兰去年在美国数学学会杂志上发表了他们的证明并荣幸的在今年七月份获得了集合领域中的最高奖。但他们的工作影响范围已经远远超出这个那些两个无穷大怎样被相关的具体问题。它打开一个意外的无限集合的大小和一个同样的来映射数学理论复杂性的努力之间的联系。

许多的无穷大

    无穷大的概念很令人费解。但可能有不同大小的无限大的想法呢？这也许是有史以来做出的最有悖常理的数学发现。然而，它来自一个甚至孩子们能理解的配对游戏。

    假设你有两组对象或两个"集合"，如数学家会称之为：一个汽车的集合和一个司机的集合。如果刚好一个司机一辆车，之后没有空的车和没有司机剩下，然后你知道车的数量等于司机的人数（即使你不知道这个数字是什么）。

    在19世纪晚期，德国数学家乔戈·康托尔以数学中的正式语言捕获了这种匹配策略的精神。他证明了两个有相同大小的集合或"基数"，当它们能被彼此一对一对应放在一起时------刚好一辆车有一个司机。或许更令人惊讶的是，他证明了这种方法也适用于无限大集合的。

    考虑自然数：1、2、3并继续。自然数的集合是无限的。但只是偶数的这个集合是怎样呢或只是质数的这个集合是怎样呢？这些集合中的每一个开始时似乎是一个自然数的更小子集。确实的，在数字的任何有限延伸上，有大约一半多的为自然数的偶数，而质数仍然更少的。

    然而无限的集合不一样的行为。康托尔证明了这些无限集合的每个元素之间有一对一的对应。

    正因为如此，康托尔得出了所有三个集合是同一大小的结论。数学家们把这种规模的集合叫做“可数的”，因为你能对每个集合中的每个元素分配一个可数的数字。

    在他建立了无限集合能通过把彼此放成一一对应被比较大小后，康托尔做出了一个甚至更大的飞跃：他证明了一些无限集合甚至是比自然数的集合更大的。

    考虑实数，实数是关于数字系列的所有点。实数有时被指为"连续数"，反映它们的连续的性质：在一个实数和下一个实数之间没有空。康托尔能够来证明实数不能与自然数一一对应放的：甚至在你创建一个用实数配对的无限自然数列表后，总可能来想到另一个不在你列表上的实数的。由此，他得出了实数集合是大于自然数集合的结论。因此，第二种的无限大诞生：不可数的无穷大。

    康托尔弄不清楚的是是否存在一个无限大的中间大小------某些可数自然数和不可数实数的大小之间的东西。他没有猜到，一个现在被称为连续假说的猜想。

    1900年，德国数学家大卫·希尔伯特做出了一个数学中最重要的23个问题的列表。他把连续假说放在最上。马利亚里斯说，"它看上去像是一个显然很紧急的要回答的问题"。

    一个世纪以来，这个问题已经证明了对数学家们的最大的努力它自己是几乎唯一的抵抗。确实介于两者之间的无限大存在吗？我们可能永远不会知道。.

强制出去

    整个20 世纪的上半，数学家们通过研究出现在许多数学领域中的各种无限集合试图解决连续假说。他们希望了通过比较这些无穷大，他们可能会开始理解可能的在自然数大小和实数大小之间的非空空间。

    许多比较被证明是难来画的。在20世纪60年代，数学家保罗·科恩解释了为什么。科恩开发了一种叫做"强制的"展示连续假说是独立于数学公理的方法-----那就是，它不能在集合理论的框架内被证明。（科恩的工作被库尔特·哥德尔1940年的表明连续假说不能在通常的数学公理内反驳的工作补充）。

    科恩的工作使他在1966年获得菲尔兹奖（数学的最高荣誉之一）。随后数学家们用强制来解决许多在以往半个世纪摆出的无穷大之间的比较，证明这些也不能在集合理论的框架内被回答。（具体而言，则尔梅洛-弗兰克尔集合理论加上选择公理。）

    然而，一些问题仍然存在，包括一个来自20世纪40年代关于是否p等于t的问题。P和t都是精确的自然数的子集集合大小的最小的量的无限阶（并看似唯一的）。

    两种大小的细节没有太多的问题。更重要的是数学家们很快就弄清楚了关于p和t的大小的两件事。第一，两个集合都大于自然数。第二，p总是小于或等于t。因此，如果p小于t，那么p将是一个中间的无限大------某些自然数大小和实数大小之间的东西。连续假说应该是错误的。

    数学家们倾向于假设p和t之间的关系不能在集合理论框架内证明，但他们也不能独立于这个问题成立。几十年来，p和t之间的这种关系仍然在这个不确定的状态。当马利亚里斯和谢兰发现了一种来解决它的办法时，它只是因为他们正在寻找某些别的东西。

一个复杂性的秩

    约在保罗·科恩正在强制连续假说超越数学达到的同时，一个非常不同的工作系列正在模型理论领域发展。

    对一个模型理论家，一个"理论"是定义一个数学的领域的公理或规则的集合。你能想到模型理论为一种来分类数学理论的方式------一种数学的源代码的探索。麦迪逊的威斯康星大学数学系的名誉教授杰罗姆·凯斯勒说，"我认为人们感兴趣于分类理论的原因是他们想要理解真的是什么正在导致某些在数学的非常不同的领域中事情的发生"。

    1967年，凯斯勒引入了现在称为的凯斯勒的秩，这力求在它们的复杂性的基础上分类最小的复杂的和那些最大的复杂的技巧。凯斯勒说，"这是一个小的起始点，但我的在这一点上的感觉是会有无限多的类的"。

    对一种复杂的理论它意味的并不总是显而易见的。在这个领域中很多工作是被一种理解这个问题的渴望部分动机的。凯斯勒描述复杂性为能在一个理论中发生的事情的范围------而更多的事情能发生的理论是比更少的事情能发生的理论更复杂。

    在凯斯勒引入了他的秩后十年多，谢兰发表了一本有影响力的书，其中包括了显示在复杂性中有自然的发生跳跃的重要一章------从复杂程度较低的理论区分更复杂的理论的分界线。在那之后，30多年关于凯斯勒的秩没有取得什么进展。

    然后，在她的2009年的博士论文和其他的早期论文中，马利亚里斯重新打开了关于凯斯勒的秩工作并提供了它作为一个分类程序的力量的新证据。2011年，她和谢兰开始一起工作来更好的理解秩的结构。他们的目标之一就是按照凯斯勒的标准辨明更多的使一个理论最大的复杂的属性。

    马利亚里斯和谢兰特别瞄准两个属性。他们已经知道了第一个引起最大的复杂性。他们想要知道是否第二个也做一样的。随着他们工作的进展，他们意识到了这个问题是平行于是否p和t是相等的问题的。在2016 年，马利亚里斯和谢兰发表了60页的论文解决了这两个问题： 他们证明了这两个属性是同样的复杂的（它们都造成最大的复杂性）并且他们证明了p等于t。

    马利亚里斯说，"不知何故一切排起了队，这是一个得到有效解决的事情的星座"。

    今年7月，马利亚里斯和谢兰被授予豪斯多夫勋章，集合理论中的最高奖之一。这个荣誉反映他们的证明的性质出奇的强大、令人惊讶。大多数数学家已经预期了p小于t，并且一个这种不相等性的证明在集合理论框架内不可能的。马利亚里斯和谢兰证明了两个无穷大是相等的。他们的研究还揭示了p和t之间的关系比数学家们已经意识到的有远更多的深度。

    康奈尔大学的数学家贾斯汀·摩尔说，"我认为人们想到了是否偶然两个基数被证明为相等的，这个证明也许会正在令人惊讶，而它会是一些短的、聪明的并不涉及任何真实的机制的论据"，他已经发表了一个马利亚里斯和谢兰的证明的概述。

    相反，马利亚里斯和谢兰通过在模型理论和集合理论之间开辟一条路径证明了p和t是相等的已经正在打开一个这两个领域的研究新前线。他们的工作也最终让一个数学家曾希望会帮助解决连续假说的问题休息。然而，专家之间最强烈的感受是这个显然的无法解析的命题是假的： 尽管无限大以很多方式是奇怪的，但如果没有比我们已经发现了的许多更多的无限大大小的话是最太奇怪的。

    许可从量子杂志转载，量子杂志是西蒙斯基金会的一个独立发行部门，其使命是用涵盖数学和物理身体和生命科学的研究进展和趋势提高公众的科学理解。

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