度量数据中心趋势的各种方法。假设我们有某个属性X，如salary，已经对一个数据对象集记录了它们的值。令x1，x2，…，xN为X的N个观测值或观测。在本节的余下部分，这些值又称（X的）“数据集”。如果我们标出salary的这些观测，大部分值将落在何处？这反映数据的中心趋势的思想。中心趋势度量包括均值、中位数、众数和中列数。

数据集“中心”的最常用、最有效的数值度量是（算术）均值。令x1，x2，…，xN为某数值属性X（如salary）的N个观测值或观测。该值集合的均值（mean）为

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这对应于关系数据库系统提供的内置聚集函数average(SQL的avg())。

例2.6　均值。假设我们有salary的如下值（以千美元为单位），按递增次序显示：30，31，47，50，52，52，56，60，63，70，70，110。使用（2.1）式，我们有

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因此，salary的均值为58000美元。

有时，对于i=1，…，N，每个值xi可以与一个权重wi相关联。权重反映它们所依附的对应值的意义、重要性或出现的频率。在这种情况下，我们可以计算

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这称做加权算术均值或加权平均。

尽管均值是描述数据集的最有用的单个量，但是它并非总是度量数据中心的最佳方法。主要问题是，均值对极端值（例如，离群点）很敏感。例如，公司的平均薪水可能被少数几个高收入的经理显著推高。类似地，一个班的考试平均成绩可能被少数很低的成绩拉低一些。为了抵消少数极端值的影响，我们可以使用截尾均值（trimmed mean）。截尾均值是丢弃高低极端值后的均值。例如，我们可以对salary的观测值排序，并且在计算均值之前去掉高端和低端的2%。我们应该避免在两端截去太多（如20%），因为这可能导致丢失有价值的信息。

对于倾斜（非对称）数据，数据中心的更好度量是中位数（median）。中位数是有序数据值的中间值。它是把数据较高的一半与较低的一半分开的值。

在概率论与统计学，中位数一般用于数值数据。然而，我们把这一概念推广到序数数据。假设给定某属性X的N个值按递增序排序。如果N是奇数，则中位数是该有序集的中间值；如果N是偶数，则中位数不唯一，它是最中间的两个值和它们之间的任意值。在X是数值属性的情况下，根据约定，中位数取作最中间两个值的平均值。

例2.7　中位数。让我们找出例2.6中数据的中位数。该数据已经按递增序排序。有偶数个观测（即12个观测），因此中位数不唯一。它可以是最中间两个值52和56（即列表中的第6和第7个值）中的任意值。根据约定，我们指定这两个最中间的值的平均值为中位数。即http://tc/maxwidth.2048/tc.service.weibo.com/www_2cto_com/f1cfa9f5ebc659bb90c861f87a1ce34c.jpg。于是，中位数为54000美元。

假设我们只有该列表的前11个值。给定奇数个值，中位数是最中间的值。这是列表的第6个值，其值为52000美元。

当观测的数量很大时，中位数的计算开销很大。然而，对于数值属性，我们可以很容易计算中位数的近似值。假定数据根据它们的xi值划分成区间，并且已知每个区间的频率（即数据值的个数）。例如，可以根据年薪将人划分到诸如10000～20000美元、20000～30000美元等区间。令包含中位数频率的区间为中位数区间。我们可以使用如下公式，用插值计算整个数据集的中位数的近似值（例如，薪水的中位数）：

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其中，L1是中位数区间的下界，N是整个数据集中值的个数，46(freq)l是低于中位数区间的所有区间的频率和，freqmedian是中位数区间的频率，而width是中位数区间的宽度。

众数是另一种中心趋势度量。数据集的众数(mode）是集合中出现最频繁的值。因此，可以对定性和定量属性确定众数。可能最高频率对应多个不同值，导致多个众数。具有一个、两个、三个众数的数据集合分别称为单峰的（unimodal）、双峰的（bimodal）和三峰的（trimodal）。一般地，具有两个或更多众数的数据集是多峰的（multimodal）。在另一种极端情况下，如果每个数据值仅出现一次，则它没有众数。

例2.8　众数。例2.6的数据是双峰的，两个众数为52000美元和70000美元。

对于适度倾斜（非对称）的单峰数值数据，我们有下面的经验关系

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这意味：如果均值和中位数已知，则适度倾斜的单峰频率曲线的众数容易近似计算。

中列数(midrange）也可以用来评估数值数据的中心趋势。中列数是数据集的最大和最小值的平均值。中列数容易使用SQL的聚集函数max()和min()计算。

例2.9　中列数。例2.6数据的中列数为http://tc/maxwidth.2048/tc.service.weibo.com/www_2cto_com/8448f63239a626923d187492028381fe.jpg美元。

在具有完全对称的数据分布的单峰频率曲线中，均值、中位数和众数都是相同的中心值，如图2.1a所示。

在大部分实际应用中，数据都是不对称的。它们可能是正倾斜的，其中众数出现在小于中位数的值上（见图2.1b)；或者是负倾斜的，其中众数出现在大于中位数的值上