几何与函数的综合试题研究

1.解题的主要策略和方法：

试题是一道几何与函数的综合题，突出对数形结合、函数思想的应用和考查。试题让学生在运动中探究问题的本质，发现变量之间互相依存的函数关系，改变了中学数学原来的“静止”状态，把“运动”的观点与思想渗透到传统的数学知识内容之中，培养学生的数学能力。试题第（1）问运用三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余等几何知识给予解答；第（2）问根据图形的面积关系，运用勾股定理列出函数关系式，然后用配方法求最值；第（3）问已知函数值S，求对应的自变量t的值。

2.试题的知识载体：

试题主要考查了正方形、全等三角形、二次函数及一元二次方程等基础知识，考查演绎推理能力和数形结合的数学思想。

3.试题的原型：（2006年佛山市课改实验区中考试题）

已知：在四边形ABCD中，AB=1，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH. 设四边形EFGH的面积为S，AE=x(0≤x≤1).

(1) 如图1，当四边形ABCD为正方形时，

求S关于x的函数解析式，并求S的最小值S ₀；

在图2中画出中函数的草图，并估计S=0.6时x的近似值(精确到0.01)；

(2) 如图3，当四边形ABCD为菱形，且∠A= 时，四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

4.编制的试题：

如图，在边长为4cm的正方形中，点 分别按

的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形的面积为 ，运动时间为．

（1）试证明四边形是正方形；

（2）写出关于 的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小？最小值是多少？

（3）是否存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

5.试题的详细解答：

（1） 点在四条边上的运动速度相同

∴ AE＝BF＝CG＝DH

在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

 且AB＝BC＝CD＝DA

∴EB＝FC＝GD＝HA

∴AEHBFECGFDHG   （S.A.S）

∴EH＝FE＝GF＝HG   (全等三角形的对应边相等)

∠AEH＝∠BFE    （全等三角形的对应角相等）

∴四边形EFGH是菱形。 （四条边相等的四边形是菱形）

又 ∠BEF ＋∠BFE＝90°

∴∠BEF＋∠AEH＝90°

∴∠FEH＝180°－（∠BEF＋∠AEH）＝90°

∴四边形EFGH为正方形。（有一个角是直角的菱形是正方形）

 （2）  运动时间为t（s），运动速度为1cm/s

       ∴ AE＝tcm，AH＝(4－t)cm，

  方法1： 由（1）知 四边形EFGH为正方形，

∴

即

当

方法2：由（1）知，AEHBFECGFDHG

∴

∴

      即

当

（3）存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8.

∴       ∴

当或3时，四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比是5：8。

6.试题编制的过程分析：

（第一稿）：在边长为1cm的正方形中，点分别按的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．

（1）在运动中，点所形成的四边形 为（　*　）

Ａ．平行四边形     Ｂ．矩形      Ｃ．菱形        Ｄ．正方形

（2）当点运动到何处时，四边形EFGH的面积最小？并说明理由。

（3）当运动时间等于多少秒时，四边形的面积是正方形ABCD面积的？

说明： 把原题改编成图形运动类试题，使得试题比较灵活，展现形式活泼、新颖；

增加第一问，并以选择题的形式出现，这样有利于引起学生的兴趣，使试题的门槛降低了；

删除原题的第二问，另外设置一个与前二问有关联的问题，以形成递进关系。另外，这一问也可考查学生对一元二次方程的掌握情况。

（第二稿）：在边长为4cm的正方形 中，点 分别按 的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形的面积为 ，运动时间为．

（1）试证明四边形是正方形；

（2）写出关于的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小？最小值是多少？

（3）是否存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。

说明： 把“边长为1cm”改成“边长为4cm”，这样便于学生计算，在配方时尽可能地不出现分数；

把原来的选择题设计成一道几何证明题，这取材于义务教育课程标准实验教材书（华师大版）初中三年级（九年级）（下）第27章《证明》例2，目的在于引导教师在教学过程中要重视教材，注意课本的典型例题及其解法。这不但可以考查几何演绎推理能力，而且为第二问的解答作铺垫；

第二问改编后，使得问题更加简明，目的性更强，便于学生理解和解答；

将第三问改编成存在型问题，同样使试题形式活泼、新颖，同时还能更好地考查学生的思维能力与探索创新能力。

7.学生的答题情况分析：

选择九年（1）、（2）两个班90名学生进行试题检测，检测结果如下表：

	0分	1---4分	5---8分	9---13分	14分
人数	9	25	15	29	12
百分比	10%	27．8%	16．7%	32．2%	13．3%

绘制成统计图如下：

（注：本试题满分为14分）

从统计图表来看，本试题具有较好的区分度，不同程度的学生都有不同的收获，其中优等生表出较强的思维能力、分析问题解决问题能力以及良好的思维与书写习惯。现将学生在解题过程中存在的主要问题列举如下：

（1）在求证第一问时，有些学生只证明了四边相等，没有证明一个角等于

90°；也有些学生只证明一组边对应相等，而没有证明四条边都相等。

（2）也有极少数学生用A.A.A来判定两个三角形全等；

（3）列出函数关系式后，配方时出错，常见的错误有：

     

     

（4）在求最值时，不会用配方法，而是直接令t=0，求S的值；

（5）书写不规范，比如：AEH＝BFE＝CGF＝DHG，（将“”写成“＝”）

 （将字母写错）

（6）在求函数关系式时，有些学生把它设成 ，然后再用待定系数法求解，也有少部分同学写成 ；

8.试题的拓展与变式：

变式1：在试题的基础上还可以追加一问：

（4）若将条件“以1cm/s的速度匀速运动”改为“点E、G以1cm/s的速度匀速运动，点F、H以2cm/s的速度匀速运动。”那么四边形EFGH的面积有最大值或最小值吗？若有，请求出这个值，若没有，请说明理由。

参考答案：

∴四边形EFGH的面积有最小值，最小值为7，此时 。

变式2：还提出下面一个问题：

（5）在运动过程中，连结EG，试猜想线段EG一定会经过哪一点，并说明理由。

参考答案：易证四边形AECG是平行四边形，AC、EG是对角线，所以EG一定经过AC的中点。
    变式3：已知，如图，E、F、G、H按照AE＝CG，BF＝DH，BF＝nAE（n是正整数）的关系，分别在两邻边长为a，na的矩形ABCD各边上运动，设AE＝x，四边形EFGH的面积为S。

    （1）当n＝1，2时，如图，如图，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使

    （2）当n＝3时，如图，求S与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）探索S随x增大而变化的规律，猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置使

    （3）当n＝k（k≥1）时，你所得到的规律和猜想是否成立？为什么？

   参考答案：（1）当n＝1时，如图，要使

       则E、F、G、H四点应恰好为各对应边的中点；

    当n＝2时，如图，要使  

     仍必须有E、F、G、H为矩形ABCD各边中点。

（2）当n＝3时，如图，由题意可得，

，要使

，  即点E为AB中点，

    同理，点F、G、H也应分别是BC、CD、DA的中点

    即当E、F、G、H运动至矩形ABCD各边中点，有

   （3）当n＝k（k≥1）时，上述规律和猜想是成立的。

    理由： 

         

   

9.试题对教学的指导意义：

在命制试题的过程中，我感觉到在初三复习备考中，首先要把七至九年级的数学教材系统梳理几遍，根据各自的习惯，构建有自己特色的知识网络体系，做到随时可以清楚的回忆相应的知识板块与相应的解题策略；重视各重点知识块的连结点与交汇点，这通常是命制综合题，考查数学能力目标之所在。

其次，熟练掌握课本中的典型例题和习题，仔细分析解题思路，思维方法及蕴涵的数学思想，因为综合题也常常是通过对教材中典型问题的深化和发展形成的。因此，数学复习应该以教材为主，其他参考资料为辅，重视教材中典型例题的一般解题思路，重视这些题目的变式训练。

最后，通过自己不断地对解题后的反思和总结，能进一步理解问题的本质、命题者的意图，优化解题过程，探索规律，形成有自己独特的解题风格，提高自己的数学能力。