对行星质量、成分及密度差异起因的定量新解释

赵菊初

 [摘要]   本文首先列出了各行星与本问题有关的各种参数，并对有关假说进行了简介、评述和质疑。然后根据笔者在以往研究中推导出的关于星云物质因内摩擦作用而向外移动速度的计算公式，进一步推导出其径向质量流量的计算公式，并据此分别算出了判断各种气体及尘粒质量流量及径向移动速度相对大小的有关数据；最后根据这些数据圆满说明了现在各行星质量、成分及密度的分布情况；从而为这一困扰天文学界长达几个世纪的世界难题，找到了理论计算与实际情况几乎完全吻合的定量解释。

关键词：类地行星；类木行星；小行星带；氢、氦物质；冰物质

对本文涉及的问题所提出的解释及假说虽很多，但还存在很多争议和分歧意见。本文拟在下面先简要介绍有关研究的现状及存在的问题，然后通过理论分析和计算对上述问题进行定量的新解释。

1.       行星质量、成分及密度的有关参数

有关数据见表1。

http://s4/mw690/002N2r44zy6ZcTlnmN573&690

2.       对有关假说的简介与评述

现在有一种假说对水星含铁量高达66%的异常情况的解释是，它曾遭遇其它星体的严重撞击，导致失去了密度较低的一部分外壳，因此留下了密度及含铁量相对较多的部分。但据报导，用以解释水星含铁量特别大的“碰撞说”模型，遇到的问题是，这些原类地行星的初始轨道一定要有很大的偏心率才能相撞，它不能解释类地行星随后怎么能形成今天这样相当稳定且接近圆形的轨道。偏心率去除的假说之一认为，类地行星所在的气体盘尚未被太阳驱离时，残余气体的“引力拖拉”终将降低行星的能量，平滑化它们的轨道。但反对的意见认为，如果存在这样的气体，一开始它就会防止类地行星的轨道变得如此大的偏心率。因此，这种假说很难自圆其说。其它假说更无法找到观测证据，也经不起定量计算的检验，这里不再赘述。

近年来，对太阳系化学演化过程的3种主要理论模型，即热凝聚模型、冷聚集模型和等离子体凝聚模型^[4]，都对行星成分和密度的差异未能作出合理的解释^[5][6]，而且提出者之间仍存在着较明显的分歧与争议。实验证明，压力降低可使冰物质的冰点降低；观测已发现，在类木行星的大气中都含有少量冰物质的气态成分。例如，木星大气中约含1%左右的其他气体，其中包括甲烷、水蒸气、氨气等，其表面探测温度值为125K；天王星与海王星大气中含气态甲烷分别高达2.3%及2%，还发现二者冰物质的含量都随高度降低而增加，而二者大气温度却反常地随高度降低而降低，底层温度分别为49K及38K，远低于冰物质在常压下甲烷的冰点及沸点（分别为90.5K及111.5K），更远低于氨及水的冰点（分别为198K及273K）。由于星云盘中含有较多具有强烈温室效应的甲烷，能阻挡热能的辐射；而现在天王星和海王星高层大气的周围几乎都是真空，其辐射散热条件比当时星云盘内部的散热条件要好得多，故现在天王星外围的温度会远低于当时星云盘内部的温度。这说明，在整个星云盘的演化时期内，冰物质很可能都处于气态而从未凝固过。从而可说明用各轨道区域冰物质凝固条件不同，来解释行星成分及质量差别也是证据不足的。更何况，上述三种模型用太阳风对各种气体粒子及尘粒的驱赶与分选作用，或以密度不同的物质进入太阳系，来解释各行星成分及密度的差异，还存在非常严重的矛盾。

观测表明，木星的石铁质核心的质量约为地球质量的10～15倍，平均约占其总质量的4%；另据报导^[7][8]，原始太阳系星云中所含直径为10微米以下的尘粒约占总质量的0.4%~1%，它们是行星石铁物质的唯一来源。土星的石铁质核心的质量约为地球质量的9.5～19倍，平均约占其总质量的15%。这说明木星与土星的石铁质成分远多于原始星云，由此可以断定，在木、土区可能出现了以下两种情况之一：①有大量石铁物质从内侧迁移至该区域，②或者有大量氢氦物质向外逃离该区域。但这两种情况都是现有观点无法解释得清的。

如果说是由于太阳风把天、海区的氢、氦吹走了，致使天王星和海王星的氢氦含量很少，那么就要出现一个疑问，即天海区那么多冰物质又来自哪里？如果说也是太阳风将它们从木土区吹来的，那么又要出现一个疑问，即太阳风为什么不把更容易吹走的氢、氦也从木土区一起吹走？据观测，天王星和海王星的冰物质含量很接近，平均都为78%左右；由此可算出其冰物质总含量约等于24个地球的质量；而木星和土星的冰物质含量都在2%以下；由此还要出现一个更大的疑问，即太阳风为什么有选择性的将很难吹走的冰物质几乎全部吹到天海区，而将很容易吹走的氢、氦几乎全部保留在木土区？如果按上述假说认为的那样，木土区的冰物质都因温度很低而凝固成为“冰”的颗粒，那么，它们绝无可能再被吹到天海区。如果按上述假说认为的那样，是太阳风将类地区的氢、氦及冰物质全部吹走了，致使类地行星都由石铁物质组成，但尘粒的质量比一般分子至少大14个数量级以上，太阳风是绝无可能把它吹走的，因此也就起不了使尘粒按密度分异的作用；那么还要出现一个疑问，即类地行星含铁量及真实平均密度为什么明显自内向外递减？还有一个疑问，即据观测及计算表明，木星与土星的石铁核质量占所有行星石铁含量的83%以上，难道它也是随同氢、氦被太阳风一起吹到木土区的？太阳风按什么机理能具有如此之大的本事？

如果说是密度不同的物质从外太空进入太阳系而引起行星成分及密度的差异，那么就要出现以下无法解释的矛盾。计算表明，外太空物质或星体撞入太阳系的概率是非常小的，这是导致很多太阳系成因的“灾变说”被否定的主要原因；此外，这样进入太阳系的物质分布是随机的，因而无法解释行星成分及密度分布的规律性。

3.  对行星质量、成分及密度差异成因的定量新解释

为此需先按参考文献[2]的原理，计算星云物质因内摩擦作用而向外移动的速度及质量流量。然后再对此问题进行定量解释。

3.1       星云物质向外移动速度及质量流量的计算

如图1所示；由于其中距原始太阳距离r愈大的轨道区域，星云物质的平均密度愈低，自身的轴向引力及太阳引力的轴向分量也愈小，故星云盘厚度H随着增大^[1]。

http://s6/bmiddle/002N2r44zy6ZcRMiaTre5&690

星云物质因内摩擦作用通过如图1所示，半径为r宽度为H的环形断面向外的总流量可按下式计算：

http://s12/mw690/002N2r44zy6ZcMxoea77b&690
式中Q：通过环形断面的总流量（kg/s)；r：环形断面的半径（m）；v：通过环形断面的流速（m/s)；ρ：星云物质密度（kg/m³)。

式中v可按参考文献[2]的公式(8)计算；将它代入上式后可得：

http://s2/mw690/002N2r44zy6ZcMxnNZv81&690      若能定量地算出流量q，就可为定量地解释行星成分、密度及质量差异创造条件。由上式可以看出，决定流量q的唯一参数就是粘度η；故下面来分析和估算η的径向分布规律。  

根据笔者在《行星自转状态形成机理的新解释》一文中，通过分析与计算发现，在金星形成时期其轨道区域星云粘度η只要达到100Pa·s数量级，就能圆满解释金星为什么能逆向自转。由于金星轨道区域离太阳较近，其星云物质具备大规模电离的条件，故按参考文献[5]所述原理，当时要达到这样高的粘度也是完全可能的。近期出版的美国《国家科学院学报》上发表的文章（科学人网站2012-07-3）指出：太阳的等离子体运动速度约比之前预计的要慢100倍，这就是等离子体的粘度比我们原来估计的高得多的间接证据。因此，我们可采用这一粘度值作为估算星云粘度径向变化规律的参照点。

由于对各处星云物质的温度及所受太阳辐射强度，以及二者与电离程度与粘度的函数关系，目前我们都无法进行定量计算，故η的径向分布规律只能在合理假设条件下按上述参照点进行估算。

已知星云所受太阳辐射强度与所处轨道半径r的平方成反比；再计入温度降低及星云遮挡辐射的影响，假设星云粘度与r的立方成反比；那么，可得各轨道半径r处质量流量q的计算公式：

http://s7/mw690/002N2r44zy6ZcPy4QsKe6&690
式中  r₀：金星的轨道半径（m），为0.723AU=1.08×10⁸m；η₀：金星轨道处星云的粘度，已取为100Pa·s。

按上式及各行星已知轨道半径算出的相应区域星云的估算的粘度η及质量流量q列于表2。

 

http://s14/mw690/002N2r44zy6ZcTl5uKF8d&690

从上表可以看出，质量流量q是向外急剧减少的；但这只是考虑太阳辐射强度及温度影响估算的结果；实际上在天海区由于星云物质很稀薄，宇宙射线对其电离及粘度的影响很可能超过太阳辐射的影响。考虑这一因素的影响，天海区的粘度及质量流量很可能自里向外小幅增大。上表的计算的q值虽不精确,误差可能较大,但q值向外急剧减少的总趋势则是确凿无疑的。如果按图1考虑星云盘厚度H向外逐渐增大的影响，按（2）式计算的总流量Q向外降低的速率要明显减小。

 

但由于尘粒的质量比一般分子大14个数量级以上，完全失去了分子运动的特性及直接依靠内摩擦力来获得角动量而向外移动的能力，只能依靠伴随气体粒子的碰撞作用获得角动量，来类似“粒子布朗运动”那样实现缓慢的径向移动，所以表2中的质量流量中主要包含的是气体物质，并不反映尘粒流量的多少。尘粒获得碰撞角动量而向外移动速度的大小取决于两个因素，一是气体粒子密度与尘粒粒子密度之比，该比值愈大，尘粒被气体粒子碰撞的频率及所获得的角动量将成正比增大；二是气体与尘粒伴随的时间，伴随时间愈长，碰撞总次数就愈多，所获得的角动量也就愈多。故下面按此因素来计算尘粒总质量流量。

对于处在星云盘中的单个尘粒，从气体粒子碰撞所获得的动量增量将与上述粒子比值、断面积与时间增量dt的乘积成正比，动量增量再乘以所处轨道半径r就可得到对太阳的角动量增量dj；故可得：

http://s12/mw690/002N2r44zy6ZcMx7hH50b&690

式中  ξ：比例常数（kg·m^－1·s^－2）；z₁：气体分子粒子密度（个/m³）；z₂：尘粒粒子密度（个/m³）；t：时间（s）；d：单个尘粒的直径（m）。

     单个尘粒质量Δm可按下式计算：

http://s2/mw690/002N2r44zy6ZcMx7zRnd1&690

式中  ρ₀：尘粒密度（kg/m³）。

      单位质量（1kg）的尘粒所获得的角动量增量dj₀可按下式计算：

http://s10/mw690/002N2r44zy6ZcMxb0ud89&690

      单位质量的尘粒所受太阳引力与其离心力达到平衡时，其角动量增量dj₀可按下式计算：

http://s10/mw690/002N2r44zy6ZcMxsFsJ49&690

式中  G：引力常数；M：太阳质量(kg)。

      将（8）式代入上式可解得：    

http://s12/mw690/002N2r44zy6ZcMxbTKz5b&690

式中微商dr/dt 就是尘粒径向移动速度V（m/s）。如图1所示，通过星云盘半径为r宽度为1m的环形断面向外的尘粒总质量流量可根据（8）式及（10）按下式计算：

http://s1/mw690/002N2r44zy6ZcQxfq2480&690

式中  q₁：尘粒质量流量（kg/s）。

    分析上式可知，尘粒质量流量q₁之所以与尘粒粒子密度z₂无关，是因为z₂增大时，虽可使q₁成正比增大，但按（10）式可知，速度dr/dt却与其成反比减小，二者相消即产生与其无关的结果；它之所以又与粒子密度ρ₀无关，是因为密度小的尘粒速度V虽然大了，即通过单位面积的粒子数增多了，但因每个尘粒的质量小了，所以尘粒总质量不会增大。例如，对相同直径的尘粒来说，1微克的尘粒在单位时间内通过单位面积的数量为100个，那么，0.5微克的尘粒就会通过200个,但二者通过的质量流量却是相同的；然而，低密度尘粒数会因此比高密度尘粒增多，即二者粒子数之比会增大，其平均密度就会相应减小；所以这并不妨碍按密度大小产生分异的作用。同时从上式可以看出，尘粒质量流量与r的2.5次方成正比,即向外急剧增大,这与气体质量流量向外急剧减少刚好相反。

3.2       对行星质量差异的解释

上述情况说明，气体质量流量向外急剧减少而尘粒质量流量却急剧增大，这对行星的吸积的质量将产生以下影响：

(1)    由于类地行星主要由尘粒物质组成，故按（11）式计算尘粒质量流量，就能解释类地行星的质量大小分布规律。现按该式计算小行星平均轨道处与地球轨道处所通过的尘粒质量流量的比值ε为例，来解释类地行星质量的分布规律。由（11）式式可得：

http://s1/mw690/002N2r44zy6ZcQxgRFe60&690

式中带下标a的为地球的参数，带下标b的小行星带的参数。已知地球轨道半径为r_a=1AU，小行星带为r_b=2.7AU；则按（5）式及表2 的有关参数可算出气体流量的比值，q_a/q_b≈20；这说明单位时间内流入地球与小行星带轨道之间区域的气体物质比流出的要多20倍左右，所以随着时间的推移，该区域的气体物质会愈积愈多，从而使气体粒子比z_1b/z_1a急剧增大，若再考虑气体与尘粒伴随时间的增长，保守地假设该比值的平均值为1.5，则由（12）式可算得尘粒质量流量比值ε≈18。由此可见，如果假设从地球轨道处单位宽度上迁移出的尘粒物质为1个地球质量，那么，从小行星带迁移出的尘粒物质就应等于18 个地球的质量。这就可以解释为什么地球、金星及水星总质量比火星与小行星带的总质量大得多。但应指出，这里的计算可能误差较大，只能大体说明这种趋势。

(2)    从表2可以看出，木土区的气体自身质量流量及流速已变得很小，又因气体与尘粒之比大幅减小，故驱赶尘粒的速度将大幅降低。例如，按现在土星的成分来计算，其冰物质与氢、氦总质量仅为尘粒（即石铁核）的5.7倍；而在类地区（包括小行星带），若不考虑后面所述原始星云塌缩过程的影响，该比值应为99才对，即使考虑塌缩过程中氢、氦被大量分异沉降的影响，该比值至少也应为20。因此，流入木土区的尘粒数量会比流出量多得多，从而使该区域能存积大量尘粒；加之它在该区域停留的时间较长，使它来得及吸积成石铁核心，使它们最终保留在该区域，来不及进入天海区。这就可圆满解释为什么木土区的石铁固体核总质量高达类地行星总质量的10多倍。石铁核增大有利于吸积附近存在的大量氢与氦；也可解释木星和土星的总质量为什么特别大。

(3)    由于上述原因，使天海区从木土区获得的尘粒很少，故其石铁核也很小，分别约为0.55及1个地球的质量，其石铁核虽小,但因能吸积周围大量存在的分子量较大且更容易吸积的冰物质,故可解释二者为什么分别能达到14.6个及17.2个地球的质量。

(4)    计算表明，在地球与火星平均轨道处（r =1.262AU）及小行星带与木星平均轨道处(r =3.95AU）的质量流量q，分别为531.7kg/（s·m）及17.32kg/（s·m）。若设两处星云盘厚度H等于其轨道半径等于0.1r（相当于星云盘两侧面的夹角为6°左右）,设行星形成时间t为现在公认的1亿年（等于3.15×10¹⁵s）；则在此期间流出两轨道区的气体物质总质量应等于0.1rqt；由此可算出分别为3.18×10²⁸kg及3.32×10²⁷kg。前者约为类地行星总质量的2千倍以上；后者约为类木行星总质量的1.23倍。在类地区，H值比假设值减小很多倍的可能性不太大，这说明类地区的气体物质迁移出去的时间可能要短得多。在类木区加上原已存在的物质，也可能在不足1亿年内得到足够形成行星的物质。这说明依靠内摩擦作用向类木区迁移及提供形成类木行星所需物质是完全可能实现的。  

3.3       对行星成分及密度差异的解释

3.3.1       对类地行星成分及密度差异的解释

     从（10）式可以看出，密度ρ₀较小的尘粒将以较快的速度向外迁移，从而实现尘粒按密度大小分异的作用，故可圆满解释为什么类地行星的含铁量及密度自内向外依次有规律地减少；根据陨星成分的统计资料可以估算出，小行星带所有小行星平均含铁量约为8%，远低于火星的含铁量（33%），这也符合上述规律。但因该区域气体物质向外迁移速度很快，故可解释类地行星分异的程度并不彻底。

3.3.2       对类木行星成分及密度差异的解释

  为解释此问题，需先计算各种气体成分向外迁移的质量流量。但应指出，（3）式是根据单一气体模型推导出来的，原则上它只适用于单一气体。但星云物质是由不同分子组成的混合气体，其粘度计算涉及的问题极为复杂^[3]，至今对其过程及机理的了解还很少；现在对其粘度的计算，只有在一定假设条件下，并根据实验得出的经验公式；这对本文的计算没有用处；因为，我们在此感兴趣的不是计算混合气体的真实粘度，而是要了解其中每一种气体粒子在剪切作用下吸取能量的相对大小。所以只得提出以下假设或猜想：“对于混合气体，在受到剪切作用时，各种分子因内摩擦作用而获得的动量，与其单一气体在同样剪切条件下获得的量值相等（或成正比）”。那么，按（5）式计算各种气体的质量流量q时可按相应的单一气的粘度来计算。从参考文献[3]的有关公式的推导过程可以看出，该假设或猜想具有其合理性，同时按其计算的结果与现有观测结果吻合得非常好，这说明该假设可能比较接近实际情况。按以上假设由（3）式算出的星云盘中常见分子态气体在常温下的理论径向质量流量及有关参数列于表3。

http://s11/mw690/002N2r44zy7sF0IlyA29a&690
       应该指出，表3所列质量流量q是按分子态气体计算出来的，但星云盘中的气体实际上都不同程度产生电离现象；在相同辐射强度及温度条件下，气体电离程度与表中所列电离势有关，电离势愈大则其电离程度愈低，粘度η及其质量流量相对值A也就愈小；这说明气体的实际质量相对流量应与电离势的相对值B成反比；所以比值A/B应能大体反映各种气体相对质量流量的大小。 由（4）式可以看出，q与气体径向移动速度dr/dt成正比，所以表3所列比值A/B又能大体反映气体的相对径向移动速度的大小；由表中数值可以看出，氢、氦移动速度最小，冰物质移动速度约大一倍，二氧化碳、二氧化硫及氖的移动速度更大一些，氙则达最大值；它们在相同时间内移动的距离也就与上述速度成正比。这可圆满解释它们在太阳系里现在的分布规律：即在所有行星中，99%以上的氢氦物质分布在木星与土星中，大约75%的冰物质分布在远得多的天王星及海王星中，表3所列其它4种物质的丰度则远小于原始太阳星云，其绝大部分不知去向，很可能已逃出太阳系。

还应指出，上表的质量流量值是在星云物质处在气态的条件下算出的，但如前所述，有一种假说认为，在木星轨道区域以外，由于其温度低于冰物质的冰点，它们都将凝固成为“冰”的颗粒；果真如此的话，以上计算对于冰物质将不能成立。但有充分证据说明，该假说是不能成立的。

观测发现^[1]，氖在原始星云中的含量非常丰富，与铁的含量差不多，但现在太阳系中却已成为稀有气体。还发现，太阳中氙的丰度高达地球上海水的156倍，为地壳中的58倍；土星上的甲烷含量比木星多，而氨的含量则比木星少。目前，很多研究者对上述各种反常现象都感到迷惑不解，但根据表3所列比值A/B的判据都容易作出圆满的解释。

观测还发现，海王星的石铁核质量约比天王星大1倍，其总质量比天王星约大18%，这与行星质量总体分布规律不符，按本文观点可作如下解释：如前所述，天海区所受宇宙射线对其电离程度的影响可能超过太阳辐射，这将使其气体粘度、气体与尘粒的质量流量，都自天王星向外逐渐增大；根据前面的分析计算可以证明，粘度η只要稍微增大一点，上述情况就可得到圆满的定量解释。

4.  结语

尽管（3）式、（4）式及（5）式都是在某种假设条件下，才得以应用于星云混合气体或推导出来，但其假设都有一定的合理性，而以这些公式所算出的比值A/B（见表3）作为判据，能同时解释几乎所有已观测到的不解之谜，这说明上述假设很可能与实际情况比较接近；也说明本文对此问题的探讨已比其它假说向前迈进了一步，也许可从中找到最终解决的突破口。但由于问题的复杂性，其中难免存在缺点、错误和矛盾之处，恳切希望有关部门及专家给以宽容、支持和批评指正。

参考文献：

[1]   戴文赛，天体的演化，科学出版社，1977 (P125、P126)

[2] 赵菊初，太阳系角动量分布异常的起因探讨，中科院科学智慧火花栏目，2011-12-02

[3] 钱学森，物理力学讲义，科学出版社，1962 (P307、P308、P311)

[4] 赵菊初，类地行星真实相对平均密度的计算, 中科院科学智慧火花栏目,2013-01-14

[5] 赵菊初，地球电离层动力粘度的计算及论证, 中科院科学智慧火花栏目, 2013-06-23