一、 尊重
       [案例1]《百分数的意义》教学
       讲台上放着三个透明杯子，里面分别放了10克、20克和50克的水。老师用汤勺向三个杯子里加糖，糖的数量依次为2克、3克和5克。
       师：怎么样才能知道哪个杯子里的糖水更甜些呢？
       （生说。）
       其中有一个学生：让我上来喝喝就知道了。
       教师A：你就知道喝。老师是让你用数学的方法去判断。哪位同学来说？
       教师B：很好！这种方法最简单易行了。除了用口尝外，我们还能用什么方法知道哪个杯子里的水更甜些呢？
       [案例2]《找规律》教学
       屏幕上出现一幅图画。商店门口挂了很多灯笼，红、黄、蓝三种颜色有规律地排列着。其中一部分被一辆停在商店门口的汽车给遮住了。
       师：你能知道被汽车挡住的灯笼，分别是什么颜色吗？
       （生说）
       其中有一个学生：只要把汽车开走就知道了。
       教师A：（没理睬这位学生）哪位同学再来说？
       教师B：对啊！只要把汽车开走，不就都清楚了吗？！在汽车还没开走之前，我们也能看出来吗？
       两个案例都注重了从学生的生活经验出发。但是在具体的处理过程中，A教师与B教师对生活经验的认识还是有差距的。A教师注重的还是知识的内在逻辑体系，而忽视了学生的情感状态以及经验状态。从学生的生活经验出发，首要的一条就是要尊重学生的生活经验。让我们牢牢记住前苏联教育家阿莫纳什维利的一句话吧：“儿童回答教师提问的精确性，主要取决于儿童自己的经验的逻辑性，而不在于事物本身的逻辑性。”
       [案例3]《除法的初步认识》
       A教学：
       师：把6个桃子平均放到3个盘子里，该怎样分呢？
       仔细观察课本上的插图，你能用小棒代替桃子，也试着这样分分吗？
       （生用小棒分）
       师：同学们看，把6个桃子平均放到三个盘子里，要一个一个地分。先拿3个桃子分别放到3个盘子里，然后再拿三个桃子……
       B教学：
       师：这有6个桃子，要平均放到3个盘子里。你会放吗？
       用小棒代替桃子，试试看！
       （生用小棒放）
       师：谁来说说，你是怎样放的？
       生1：我是先拿2个放在一个盘子里，然后再拿2个放在第二个盘子里……
       生2：我是拿起6个小棒，然后一个一个地放到盘子里去……
       生3……
       师：放的方法，我们可以多种多样，但是结果都应是怎样的呢？
       从生活经验出发，指的是学生自己的生活经验而非教师的生活经验，更不是教师的“教学经验”。要尊重学生的经验，让他们尽可能地把经验充分地表达出来，而不是一开始教师就规定好了“前进的路线”，让学生的经验与学习相隔离。
       二、激活
       [案例4]《比例尺》的教学
       A教学：
       师：同学们，什么是比例尺呢？请看这幅地图。这两个城市之间的距离，实际上是有500千米，而图上的距离却只有2厘米。……
       B教学：
       师：同学们，观察一下咱们的课桌面是个什么样的形状。你能把它画在纸上而不走样吗？我们来个比赛，看谁画得又快又好，愿意吗？
       生：愿意。
       师：什么才叫不走样呢？
       生回答。
       师：怎样才能不走样呢？……
       知识是有一个体系的，但它的表现形式却不一定要那么严肃和充满逻辑。尽可能地对教材进行一些加工处理，让学生的学习从熟悉的生活开始，可以使学习过程更加亲切些，更加具有挑战性些。
       [案例5]《圆的认识》教学
       A教学：
       师：请同学们拿出桌子上的圆形纸片，把它对折，再对折，再连续对折两次。然后打开。你发现了什么了吗？
       生：发现了很多折痕。
       生：这些折痕都经过一个点。
       ……
       师：用笔把这些折痕描出来。量量看，这些线段的长度都相等吗？
       生量后，回答：都相等。
       师：这些线段，我们称它为直径。直径有哪些特征呢？
       ……
       B教学：
       师：同学们都认识了圆。那你们能想办法画出一个圆吗？
       生画。有的用硬币、墨水瓶、钢笔套等作为工具画。也有的用圆规作工具画。
       师：好！一会儿工夫，大家就画出了一个个漂亮的圆形图案。你们是怎样画出来的呢？愿意交流一下吗？
       生交流。
       师：真不错。老师这里有这样两条线，用它也能画圆吗？
       （学生建议。）
       师：好！我就来试试看。（用一条皮筋线系上粉笔，在黑板上画圆，有意让皮筋一会儿长一会儿短）
       师：同学们，不行啊！这画出来的是圆吗？
       （生建议。长度要固定……）
       师：那老师换一根线。这次再试试看。
       （有意拉拉，长度不变。再画，故意移动定点）
       师：同学们，还是不行啊！
       （生建议。）
       师：老师明白了，画一个圆时，至少要注意两点……
       ……
       在此基础上，总结画圆的要领，并引出圆心、半径和直径。
       有效的学习总是在经验的基础上进行的。教学的过程，就是要成为不断地激活学生经验的过程。只有在具有一定的自主空间里，只有在不断地对话和刺激中，学生沉睡的经验才有可能被唤醒而处于积极状态，不断地同化、调整或重构。
       [案例6]《分与合》
       A教学：
       师：小朋友，7可以分成几和几呢？
       生：7可以分为2和5；
       生：7可以分为3和4；
       ……
       师：很好！跟老师读，7可以分为2和5……
       B教学：
       师：小朋友，帮老师思考一个问题。地上放着两只盘子，里面放了些米。现在有7只小鸡去吃米，想象一下，小鸡吃米可能会有哪些种情况呢？
       你能在纸上画出来吗？
       生画。
       师：咱们交流一下。
       生1：一边4只，一边3只；
       生2：一边6只，一边1只；
       生3：一边7只，一边0只；
       ……
       师：小朋友们真聪明。现在这7只小鸡吃饱了肚子，要坐到这桌子边休息了（出现一张长方形的桌子）。你们猜猜，它们坐的情况可能是怎样的呢？
       ……
       数字是抽象的，但与实际生活联系起来，它就会变得活泼可爱起来了。给数字赋予生活的意义（最好是“拟人化”的），让孩子对数学的理解多一些形象上的依托，也许我们的数学会容易和有趣得多。
       三、提升
       [案例7]《角的初步认识》
       师：同学们已经初步认识了角。生活中哪些地方有角呢？
       生：黑板上；
       生：钟面上；
       ……
       生：还有墙角、桌角。
       A教师：那是角吗？请你再看看书上是怎么说的。搞清楚后，再回答。
       B教师：你看这位小朋友可真会联想。讲到角，就想到了我们的墙角和桌角。这可是我们日常生活中经常用到的词语啊！
       让我们来观察比较一下，这里的角和我们今天学习的角，有没有什么不同呢？
       生观察并说。
       师：是啊！它们两者有很多相似的地方，但也有很多的不同。我们看，从一个墙角上，可以看出几个和我们书上画的一样的角呢？
       生：三个。
       师：从一个桌角上看呢？
       生：也是三个。
       ……
       学生头脑中已经有着许多和“学校数学”内涵不同但名称相同的概念，有着很多被称为“日常数学”或“民俗数学”的知识。从学生的生活经验出发，就必须要研究这些知识，了解孩子们已有的实际认知结构，并努力地促进二者的相融，不断地提升学生的生活经验。
       [案例8]《加和减》的教学
       师：13-9等于多少呢？小朋友们算算看。
       生算。
       师：谁愿意来交流一下？
       生1：我一个一个地去减，最后剩下4个；
       生2：我先从10个里面减去9个，……
       生3：我先减去3个……
       生4：因为9+4=13，所以……
       ……
       A教师：小朋友们真聪明。每个人都有自己的方法。好，就按照你们喜欢的方法，再计算下面的题目：15-9 17-9
       B教师：小朋友们真聪明。每个人都有自己的方法。这些方法中，哪种方法算起来更简单些呢？谁来说说。
       生说。
       师：小朋友们都发表了各自不同的意见。这样吧，老师有个建议，下面这道题（15-9），你们试着用三种不同的方法去算，然后再看看自己最喜欢哪种方法，好吗？
       ……
       提倡算法多样化，在某种程度上就是要给每个孩子以更大的空间，将自己的算法个性化地表达出来。这种个性化的算法，与孩子的经验是紧密相联的。但教学如果仅仅停留在这一点上，是远远不够的。试想，一个孩子如果不去思考、比较和体验其他同学的算法，而只是满足于自己的最初经验之上，他的思维能得到发展、能力能得到提高吗？
       从经验出发的同时，还需思考怎样让经验得到提升，这是数学的本质所在。

小学数学教学优秀案例(一)
      （一）平均数
      吴：你们喜欢什么球类运动？
      生1：我喜欢足球。
      生2：篮球。
      生3：乒乓球。
      吴：由于受到场地的限制，我们只能在这里进行一次拍球比赛，你们看怎么样？
      生：好。
      吴：那我们以这里为界，一分为二，这边算一队，那边算一队。第一件事，先给自己的队起一个自己喜欢的名字，然后派一个代表把名字写在黑板上。第二件事，咱们得商量商量，这么多小朋友参加比赛怎么个比法，你们得出点招儿。听懂了吗？
          （学生七嘴八舌商量开了，一分钟后，一个同学在黑板上写了“胜利队”。另一对也写了“吴正队”）
      吴 :吴正是什么意思？
      生：因为您的课讲得特别好，我们用您的名字，一定能赢。
      吴：行行行。队名产生了，那咱们怎么比呢？
      生：选出每个队最厉害的一位参加比赛。
      吴：那你们选吧，再挑一个裁判，每队再请一个小朋友纪录。
             预备，开始！20秒后，吴老师喊停，然后统计：“吴正队”：30，“胜利队”：29。
            下面我宣布，本次比赛胜利者为“吴正队”。“胜利队”服不服气？
      “胜利队”：不服气！
      吴：为什么？
      生：就一个人能代表我们吗？应该每队再选几个。
      吴：我建议每队再选三个人，好吗？
           （每队三人继续比赛，老师把每个人的拍球数写在黑板上。)
      吴：下面用最快的速度算出“胜利队”和“吴正队”的总数各是多少，报数。
      生;118,124.
      吴：现在胜利者是“吴正队”，可以吗？
      生：不可以。
          （这时，吴老师走到胜利队同学面前。）
      吴：别急，虽然现在咱们落后，但吴老师决定加入“胜利队”，欢迎吗？
      胜利队：欢迎！
      吴：现在把吴老师拍的22个加进来，算一算一共多少个？
      生;140个。
      吴;下面我宣布，今天的胜利者是“胜利队”。
      生：不同意！
      吴：为什么？
      生;胜利队有5次拍球机会，我们只有4次，不公平。
      吴;哦，在人数不等的情况下，我们还用总数这个统计量来比较，显然不公平，那么，在人数不等的情况下，我们能不能比出两个队总体的拍球水平呢？
         （学生开始思考，相互交流。）
         （终于有一个声音出现了：在人数不等的情况下，可以先求平均数。）
      吴：怎样求平均数呀？
      生;就是用拍球的总数，除以拍球的人数。
      点评：排球是孩子喜欢的游戏，吴老师把游戏引进课堂的时候，在许多环节上都进行了改造：让学生自拟队名、自定比赛规则，是要培养学生的参与意识，是为了激发学生内在的学习动力；教师选择加入，是为了加深学生对平均数意义的体会，从而激发学生对平均数知识学习的需要。实际上，几乎每个环节都自然的指向对平均数的理解。一个原生态的生活情境，是难以有如此明显而丰富的教学意义的。
      吴正宪小学数学优秀教学案例（二）
      二 分 之 一
           
      “把一个圆分成两份，每一份一定是它的1/2吗？”在学习1/2时，这个问题搅起了课堂的波澜。每个同学经过独立思考都纷纷发表了自己的意见，有的同意，有的不同意，无形之中就形成了两大阵营。正方、反方分别选出两名代表站在台前，一场唇枪舌战即将开始。
            
      吴老师顺手递给一边一张圆纸片，宣布：“同意不同意都要提出问题，如果能问得对方心服口服，同意了你的观点，就是胜利者。这张纸可以折，可以撕。下面的同学两人一组，先讨论一下。”
       
            
      讨论过后，同学们把目光集中到讲台前，吴老师对座位上的学生说：“我们请正方和反方的代表发表自己的意见，可以吗？我们静静的听，然后还可以发表自己的意见，看那位同学最会倾听别人的发言。”辩论开始。正方同学把圆从中间对折，问：“这一半不是1/2?既然你们都承认，为什么不给老师画勾？”大有先声夺人之势。
             反方同学把圆随意撕了一小块下来，问：“这圆是不是两部分？”
             正方：“是。”
             反方：“这两半都是圆的1/2吗？”
             正方：“不是。”
             反方：“既然不是，为什么你们还认定把一个圆分成两份，每一份都一定是1/2呢？”好一个咄咄逼人的反问。
             正方仍然不服气：“我们怎么就得到1/2呢？”
             坐着的同学开始按捺不住了，举手发言。一个说：“这个圆可以折成1/2，也可以不折成1/2。”真是一语中的。
            
      另一个说：“如果一个圆平均分成两份，每份是1/2,但这里说分成两份，怎么分都行。”他在“分成两份”上特别加重了语气。理越辩越明，几个回合下来，大家就达成了共识：这句话错就错在“一定”上，如果一定是1/2的话，前面应该加上“平均”这个词。这是对分数本质意义的认识。
            
      点评：数学是其他自然学科的皇后，良好的数学素养离不开周密、严谨的思维。当然，这种严谨的思维习惯，不是靠教师的严厉逼出来的，而是要让学生在切身的体验中、在解决问题的活动中慢慢养成。教师所能做的职能是引导。
      
      吴正宪小学数学优秀教学案例（三）
      小括号
         
      刚刚认识了小挂号可以改变原有运算顺序的规则后，突然有一位同学提出：“我认为小括号没有什么了不起的，没有它的存在，照样可以解决实际问题。”一边说一边走到黑板前把“12×（4+3）”式子改写成了“12×4+12×3”，一脸不喜欢的样子：“反正我不喜欢小括号。”如果学生体会不到小括号的作用，这节课岂不白上了？吴老师思考着如何把这节课引向深处。突然，他看到了讲台上摆放的同学们为灾区捐的书，灵机一动，一个教学思路产生了。他不慌不忙地提出一个问题：“王红同学积极支援灾区，她有92本课外读物，自己留下32本后，把剩下的送给5个小朋友，平均每个小朋友得到几本？请列综合算术解答。”吴正宪特意请那位同学板演并讲解。过了一会儿，那位同学不好意思地说:“我在算式中画了一个小括号，表示先求92与32的差，最后再除以5。”吴正宪故意问：“这个小括号有什么了不起，不写它不是也可以解决问题吗？”“这个小括号非写不可，不然就得先算32÷5这一步了，不符合题目要求。”
      那位同学着急地说。一位同学抢过话头：“你现在是不是和大家一样也喜欢小括号了？”“小括号挺好的。”那位同学感慨地说。
             点评：看似枯燥的数学知识，不再是由教师灌输给学生，而是学生自己体

 

      吴正宪小学数学优秀教学案例（四）
      课上，学生四人一组围桌而坐。桌面上摆放着水杯、可乐瓶、圆形纸片、刻度尺、绳子和剪刀。吴老师说：“龙潭湖公园有一个圆形花坛，为了保护花草，准备沿花坛围一圈篱笆，需要多长的篱笆呢？你们能帮助解决这个问题吗？请用手中的工具，小组合作探索周长的计算方法。”话音一落，学生们就忙开了。他们兴致勃勃的设想着各种方法，全身心投入到问题的探索之中。
      过了一会儿，小组代表开始发言。A组抢先说：“我们小组是把圆形纸片立起来放在刻度尺上滚动一圈，就测出了它的长度。”
      吴老师肯定了他们积极动手、动脑参与学习，但同时提出：“如果有一个很大的圆形水池，要求它的周长，能用你们小组的方法把水池立起来在刻度尺上滚动一圈吗？”
      “是啊，行吗？”A组的同学陷入了沉思。
      接着，B组代表有几分得意地向大家推荐自己小组的做法：“我们研究了一个好方法，先用绳子在水池周围绕一圈，再量一量绳子的长度，不就是水池的长度了吗？”
      “好！好！这的确是个不错的方法。”吴老师称赞道。这话在B组同学的脸上洒下了一片灿烂。
      停顿片刻，吴老师拿出了一端系有小球的线绳，在空中旋转了一圈，又旋转了一圈，问：“小球走过的地方形成了一个圆，要想求这个圆的周长，还能用你们的方法吗？”同学们摇摇头，再次陷入沉思。
      “我们又发现了一种求圆周长的方法。”一个兴奋的声音从教室里掠过，C组的同学发言了：“将这张圆形的纸对折三次，这样圆形的周长就被平均分成8段，我们测量出每条线断的长度是2厘米，8段是16厘米，也就是圆的周长。”
      很有创意，吴老师竖起大拇指，“你们用折纸的方法求出这个圆的周长，很了不起。但是用滚动的方法、绳绕的方法、折纸的方法只能求出某些圆的周长，都有局限性。我们能不能找到一条球圆周长的普遍规律呢？
      学生的思维又活跃起来，把对圆周长的探索推向了一个新的高潮。
      经过一番思考，学生们提出了这样一个问题：“是什么决定了圆周长的长短？圆的周长到底与什么有关系？”观察、操作、实验，同学们终于发现圆的周长是它的直径的三倍多一些。规律找到了，同学们沉浸在成功的喜悦之中┄┄
      点评：吴老师善于创造绚丽的思维波澜景观，她总是恰到好处地打破学生的思维平衡，使学生原有的认识、经验受到挑战，形成适当的失衡，从而促使学生去探索、去创造，以寻找新的答案。如此循环往复，就使得学生的思维一步步深化，一步步逼近真理，一次比一次飞溅起更高的浪花。
      
      吴正宪小学数学优秀教学案例（五）
      在“分数的初步认识”这一课上，吴老师请部分同学到黑板上用画图的方式表示自己心目中的一半。学生按照自己的想象，划出了不同的1/2图。
      “同学们，你们知道有一种非常科学简单的表示方法吗？”在学生们七嘴八舌的猜测中，她自然而然的引出了1/2的概念，然后问：“那你们看1/2能不能代表你们画的这些图的意思呢？”“如果你认为它可以，就把你画的图擦掉，如果你认为1/2没有你画的图漂亮或不能代表，可以不擦掉。”多数同学都擦了，只有几位同学没有擦。没关系，吴老师等待着，让他们慢慢去体会。
      在临下课前，吴老师安排了一个环节，请两个同学到黑板前用画图的方法来表示5/100。画着画着，一个男孩对老师说;“画不了了，太麻烦了。”吴老师问：“那你说是画图好还是分数好？”“分数好。”看来他是真的体会到分数的价值了。另一位女同学还在埋头画她的5/100，吴老师又在分母上加了一个“0”，变成了5/1000。微笑着对同学们说：“她愿意画就画吧。”5/1000该怎么用画图表示呢？就让女孩继续想吧，最终她会感悟到用分数表示这个关系是又准确又简单的。
      点评：这种等待在课堂上是经常需要的。这是一份源自博爱的宽容。宽容让学生敢于展示真实的自我，勇于正视自己的不足，宽容让学生的智慧充分涌流。
      一个教师之所以博大，就在于它告别了强迫学生认同的习惯，学会了等待，学会了宽容。
      

[案例4]《多一些、少一些》教学
       教师出示选择题：
       苹果有60个，梨的个数比苹果少得多，梨有多少只？
       a 28 b 48 c 50
       师：应该怎样选择呢？
       生1：28只。
     师：还有不同意见吗？
       生2：48只。
       A教师：48只对吗？
       生3：不对，应该是28只。因为……
       B教师：你选48只，能说说你的想法吗？
       ……
       教师的作用不是评判，而是激励；教师需要的是倾听，而非主观臆断。学生在学习中应该有犯错误的空间，更应该有表达自己的权利。即使我们认为学生的答案是绝对错误的时候，多问一句“你是怎样想的”，又费多大力气呢？简单的一句问话，也许会给我们带来许多意料不到的惊喜。
       三、 是填空，还是选择？
       [案例5]《分数的意义》教学
       A教学：
       师：请同学们拿出有关材料，我们在操作中学习分数的知识。
       把一张纸平均分成2份，表示出它的12 。
       生：……
       师：把这条彩带折成8等份，表示出它的38
       生：……
       师：拿出这捆小棒（6根）的23
       生：……
       B教学：
       师：同学们，老师要求大家带一些小物品到教室来，你们都带来了吗？都有些什么呢？
       生：我带了纸张、小棒……
       生：我带了橡皮泥、小圆片……
       师：真好。大家带来了这么多物品，你们能分别拿出每样物品的23 来吗？
       生：……
       师：你们能自己先想一个分数，然后再用每样物品的一部分表示出这个分数吗？
       生：……
       [案例6]《三角形面积》练习
       A练习：三角形的底是3厘米，高是4厘米，它的面积是多少？
       B练习：画一个面积为6的三角形。你能画出几种？
       固定的材料，固定的方法，固定的结果，何以构建个性化的学习？把空间增大，让教学开放，需要我们关注每个教学细节。只有当学生真正地有了“自决权”的时候，个性学习才会有可能。
       [案例7]家庭作业的布置
       A教师：今晚回家，做练习×的第×到第×题。
       B教师：同学们可以继续选定自己的家庭作业。可以做今天学的内容，也可以做明天将要学的内容。可以写数学日记，也可以作预习笔记……
       大量的统一的家庭作业，对于很多基础好的同学来说，其实是一种精力浪费，他们完全可以把精力花在更有价值的学习上。而对于基础较差的同学，又是一项沉重的负担。为何不让他们各得其所呢？相信他们，给他们自己以选择的机会和责任，对于孩子个性与主动性的培养，对于孩子良好学习习惯的养成，都会有很大的益处。
       12、怎样评价学生的数学学习
       夏青峰
       评价的方式，在很大程度上影响甚至决定了学习的方式。作为一线教师，我们不能总是在等待着高考、中考的变革，而应该从自我做起，在自己力所能及的范围之内改革评价，让孩子能真正地享受数学的学习。
       一、是甄别，还是激励？
       [案例1]《应用题》教学
       师：这道题该怎样解答呢？谁愿意把你的解题过程写到黑板上来？
       （一学生上台在黑板上书写，其他方面都写对了，唯有在写单位时忘记了加括号）
       A教师：同学们，他的解法对吗？
       生：对。
       师：对？仔细看看，他丢掉了什么？
       生：丢掉了括号。
       师：是啊，还是太粗心了。（随手在黑板上画了个“×”）
       B教师：××同学，你能向同学们解释一下你的解题过程吗？
       生说。
       师：同学们，你们赞同他的解法吗？
       生：……
       师：真好，××同学的解法很有道理。我们再完整地看一下他的书写过程，按照规定，这里写单位时好象应该……？
       生：加上括号。
       师：××同学，你愿意上来补写一下吗？
       生上台在黑板上添上括号。
       师：真好！（随手在黑板上写了个“优”）
       ……
       严格不等于挑剔，求全责备的教学只会换来孩子们对学习的自卑。《美国数学课程标准》把“对自己的数学学习有信心”作为数学教育的第二大目标，能给我们一些启迪吗？评价不是甄别，评价最应该发挥的功能就是激励。
       [案例2]《计算题》教学
       师：这些计算题，同学们会算吗？作在草稿本上，看谁又对又快。
       生计算。
       A教师：好，老师报一下答案。大家自我批改一下。
       师报答案，生批改。
       师：好，作错了的同学请举手。
       几个学生缓缓地举起手来。
       师：××同学，说说你错在什么地方？为什么错了？
       该生很不情愿地站起来，低着头小声地说道：我把运算顺序弄错了。
       师：知道了，下次改正。
       师：（眼睛又看向另外一位同学）你呢？说说你又为什么错了？
       B教师：哪位同学愿意交流一下自己的答案？
       一生报答案，其他同学判断对与错。
       师：全部作对的同学请举手。
       很多学生很快地举起手来。
       师：大家都很不错。如果自己哪道题作错了，现在把它订正过来，并在傍边写出错误的原因，待会老师再单独与你们交流，好吗？
       ……
       诸如A教师所采用的“暴光式”等评价方法，在目前的课堂中仍是大量存在，甚至还被称赞为“当堂问题当堂解决”的好方法。如果我们的教师与学生进行一下换位，其中的滋味又当如何呢？
       [案例3]《思考题》教学
       A教师：昨天的“每日一题 ”，很多同学都积极地开动脑筋，想出了很多办法。其中××同学的解法最好，他真是我们班最聪明的同学！
       B教师：昨天的“每日一题 ”，很多同学都积极地开动脑筋，想出了很多办法。其中××同学的解法很独特，他真是越来越聪明了。
       ……
       表扬一位同学，不能以打消其他所有同学的自信心为代价。激励，更多地要关注纵向发展而非横向比较。
       二、是知识，还是能力？
       [案例4]《统计知识》考试题
       A练习:
       观察下列统计图（关于降水量的条形统计图，图略）
       1、 该地区5月份的平均降水量是多少？
       2、 该地区6月份的平均降水量是多少？
       3、 该地区5月份的平均降水量相当于6月份的百分之几？
       ……
       B练习：
       上面是一个画好的统计图，请观察这个图，回答以下的问题⑴：
       1、 你认为这个图可能用来表示什么？
       2、 按你的想法给这个图起名。
       3、 写下根据这个统计图你所想到的任何事情。
       ……
       评价学生对书本知识的理解是重要的，但评价学生的数学创造力和想象力更为重要。从知识考试扩展到能力考试，是数学教育应当探索的重点课题。
       [案例5]《长方体表面积》的考试题
       A习题：
       一个教室长8米，宽6米，高3.5米，用石灰粉刷四周墙壁，扣除门窗面积20平方米。问粉刷部分面积是多少平方米？
       B习题⑵：
       你班的教室墙壁需要粉刷，要求用两种涂料粉刷两层。为了准备与一个公司谈合同，你需要事先做一些准备。请计算出粉刷教室所要花费的资金。
       完成这样的问题，你需要计算涂料的桶数和所需要的费用。为此至少需要做下面的事：
       1、 测量并计算出教室墙壁的面积；
       2、 计算出一桶涂料能粉刷多大的面积；
       3、 计算出涂两层涂料所需要的桶数。
       ……
       打破纸笔测验一统天下的局面，适当地安排一些开卷考试题，让学生在开放的实践活动中，综合运用各种知识解决具体的情景问题，对于学生数学学习也许会更有引导与促进作用。
       [案例6] 有关考试题的比较
       这里有几道题，A类型和B类型，究竟哪一种对孩子数学思维的发展，才更为有利呢？
       1、A、下面哪些数是质数？哪些数是合数？81、2、53、111、……
       B、小明说，91与93都是质数，因为它们的个位上的数都是奇数。你认为呢？能说出理由吗？
       2、A、三角形的底是3厘米，高是4厘米，它的面积是多少？
       B、画一个面积为6平方厘米的三角形。你能画出几种？
       3、A、把一个长240厘米、宽100厘米的长方形分解为10个长为60厘米的小长方形。小长方形的宽为多少？
       B、把一个长240厘米、宽100厘米的长方形分解为10个长为60厘米的小长方形。试着把它画出来。
       4、A、把化成分数、小数。
       B、（图：把一个长方形，按长边10等份、宽边4等份分成若干个小长方形，上面画出一些阴影部分）你能分别用分数、小数和百分数解释上面的阴影部分吗？
       5、A、×= ×= ……
       B、你能把×在方格中表示出来吗？
       ……
       发挥评价的引导功能，让学生的学习淡化记忆与演练，而强化一种有联系、有现实意义、有挑战性的活动，学生的数学素养将会日益提高。
       三、是结果，还是过程
       [案例7]《分数乘法》单元教学
       A教学：
       按照教学进度，一课一课地教下去，每课有作业。整个单元教完以后，进行单元测试，记下每位同学的单元考试成绩。
       B教学：
       也是按照教学进度，一课一课地教下去，每课有作业。但是在单元学习之前，向学生宣布：每位同学都可以不按照老师的教学进度，自学该单元知识。如果自我感觉对该单元知识已经掌握，随时都可以向老师申请单元考试。考试包括三项内容：
       1、 当老师。向全班同学讲解今天（按常规进度）所学习的内容，要求同学们都能听明白，并能回答老师与同学的提问。
       2、 出试卷。出一份该单元的测试题，要求能全面考察该单元的知识点。老师给予定性评价。
       3、 做考题。一份闭卷，老师从学生出的试卷里或题库里抽取。一份开卷，考察综合运用该单元知识解决实际问题的能力。
       三项考察都获通过的同学，可以不做老师布置的常规作业，上课可以看课外书籍或自学下一单元知识。
       同时，老师准备的试卷至少分A、B、C三种，每种的难度系数不一样。针对不同思维水平的同学，老师有意识地抽取相应的试卷让其考。不同的学生在对单元知识掌握的程度上可以不一样。
       ……
       学生的学习有“时间差”与“路径差”，我们不能以同样的试卷、同样的进度来评价不同的人。让评价适应学生并促进学生，而非学生适应统一的评价。
       [案例8]《素质报告单》
       A教师：在素质报告单的数学栏目里，写上该同学的分数。分数的依据是期末考试成绩。
       B教师：同样也在素质报告单的数学栏目里，写上该同学的分数。分数的依据是单元考试的平均成绩、期中考试成绩和期末考试成绩按照一定比例的折合。
       C教师：在一张特制的素质报告单的数学栏目里，写的不是分数，而是一段评语。素质报告单放在学生的《成长档案袋》里。学生的《成长档案袋》里，一般还含有以下材料：
       1、 学生的单元测试卷和期中、期末试卷。
       2、 学生的1—2本作业本。
       3、 学生自己做的兴趣作业。
       4、 学生的实践活动作业报告。
       5、 学生自己出的试卷。
       6、 学生的数学日记。
       7、 本学期数学学习总结。
       ……
       学生的数学学习状况，仅仅通过一个分数去描述，是很不全面的。探索表现性的评价方式，淡化结果，关注过程， 是学生数学学习成效评价的一个重要选择。

怎样让学生经历数学的过程

 

数学新课标，无论是在前言部分，还是在目标部分，都多次提到了让学生“经历……的过程”。如何理解该理念，落实此要求？本人愿结合一些实例谈点体会，并求教于同行。

一、学生有需要吗？

[案例1]《简单的统计》教学.

其间都有让学生走下座位采访听课老师的环节，但两位老师的处理方式不一样。

A教师说：“同学们，我们刚才已对全班同学进行了荤菜口味的统计，大部分同学都喜欢吃炸鸡腿。可是同时吃饭的还有我们的老师呀，成人的口味是不是和我们儿童的口味一样呢？大家说怎么办？（学生马上建议去采访老师）

B教师说：“同学们，我们刚才进行了一些统计活动，现在你们看，台下有很多老师，你们敢去采访他们，对他们进行一些统计吗？小组商量一下，我们可以去统计什么？”

同样是下台采访老师，一个是由于解决问题的需要而去采访和统计，一个是为了统计而去统计，哪一个效果更好呢？还是让学生的学习活动从需要开始吧！

[案例2]《平行四边形面积》的教学。

教师先进行了一些割补的渗透。尔后出示一平行四边形，引导学生求面积，求到面积后，也有两种不同的学习过程。

A教学：（平行四边形纸片，给出了底和高的数据。）

师：谁来说说你是怎么求的？

生：我把平行四边形象这样剪开。（拿着一平行四边形纸片，并演示）拼过来就是长方形了，这个长方形面积就是它的面积。

师：小组讨论一下，平行四边形的底与高和长方形的长与宽有什么关系？面积呢？

生：（讨论、汇报略）

师：所以平行四边形的面积就等于？

生：底乘以高。

B教学：（平行四边形纸片，没有给出数据）

师：谁说说你是怎样求的？

生：（汇报同A过程，加了一些进行测量的话，略）

师：好！你们都会求了！那再试试桌子上的第二块平行四边形纸片，它的面积是多少呢？看谁最快。

（生继续剪拼、测量）

师：谁再说说面积是多少？你是怎样做的？

生：（汇报略）。

师：咱们再比赛，看谁最快地求出第三块平行四边形纸片的面积。

（生继续剪拼、测量，有个别同学开始不剪，直接测量了。）

师：这位同学最快，你能说说你为什么会这么快？

（生回答，意思是不要剪，直接想象出长方形。略）

师：你在脑海中完成了拼剪的动作。好！再来一次，求出第四块的面积，看谁最快。

（大部分学生不再去剪拼，而是直接测量了。）

师：好！大家都快起来了！你们是怎样做的？

（生汇报略）

师：那也就是，只要测量出这个平行四边形的什么，就可以求出它的面积？

生：底和高。

师：为什么呢？

同样是推导平行四边形的面积公式，一个是在教师的引导下，通过观察得出的，另一个是在情急的状态下，急中生智，由学生自己想出来的，由于需要而主动地进行了比较，发现了规律。引导学生经历数学过程，就要多一些这些“迫切需要”的情景！

二、学生在体验吗？

[案例3]《长方体的认识》教学

A教学：（先认识生活中的长方体）

师：拿出你的长方体，观察一下它有几个面？面又有什么特征呢？

（生观察，并汇报）

师：再看看，它的棱又有何特征呢？

（生继续观察汇报）

师：长方体还有几个顶点？

生：8个。

师：谁来完整地说说长方体的特征？

B教学：（先认识生活中的长方体）

师：好！同学们都认识了长方体，那你能用橡皮泥做出一个长方体吗？

（生动手做，并展示、汇报和交流）

师：大家的长方体作品真漂亮。（出示一长方体框架）这是一长方体框架，你们有本事，也能把它给做出来吗？

（生动手做，并展示、交流。）

师：老师想请教一下，你们刚才用了几根小棒，用这些小棒有什么特别的要求吗？另外用橡皮泥捏了几个点呢？

（生汇报交流，师板书棱的有关特征。）

师：冬天到了，你能象老师这样，给框架穿上衣服吗？（出示一个用纸做面，包好了的长方体）想想看，应用剪刀剪出怎样的纸片？

（生操作、汇报、交流）

师：刚才剪出的纸片又有什么特点呢？

通过观察去认识与通过体验去认识，认识的深度是不一样的，参与的情感也是不一样的，留下的印象更是不一样的。

[案例4]《年月日》的教学

A教法：

师：同学们，拿出你的年历卡。数一数看，一年有几个月？一个月又有多少天呢？哪几个月是31天？哪几个月又是30天呢？

B教法：

师：同学们，你知道一年有几月，一月有几天吗？

（生汇报略）

师：真好！继北京申办奥运成功后，上海申办世博会又取得成功，全中国人都在期盼着2008年和2010年的到来，你能把2008年或2010年的年历卡提前设计出来吗？想想看，应注意些什么？

（老师提供出2008年和2010年的元月1日是星期几的数据。）

学生头脑中已有很多关于年、月、日的知识，如其让他们再对着年历去观察、去发现，还不如让他们先把已有的知识运用起来，在创造性的设计活动中去感悟、去体验很多新的知识点。

三、能再创造吗？

[案例5]《分数的意义》教学练习

A练习：

1、是表示把（   ）平均分成（   ）份，表示这样（   ）的数。

2、判断：把一个苹果分成8份，其中的3份，占苹果的    。

3、下面阴影部分的面积是整个图形的   吗？（图略）

B练习：

阴影部分是   吗？说明理由！

你能在下面的图形中表示出更多的   吗？

理解，是重要的。能够将知识创造性地运用，能够让知识不断地生成和发展，是一种更深层次的理解。

[案例6]《三角形的面积》教学练习

A练习：

1、求下面各三角形的面积（单位：厘米）

 

底	5	18	9	21
高	4	20	6	8
面积

2、下列三角形的面积是多少？（各个不同的三角形，给出底和高。图略）

B练习：

1、你能画几个面积为8平方厘米的三角形吗？试试看？

2、你能设计出几个面积为8平方厘米的平面图形吗？试试看？

代入数据的运用，与创造设计的运用，哪一个对学生的思维发展更有帮助呢？

[案例7]《圆柱体》教学总结

 A总结：

师：今天我们学了什么知识？哪位同学能把今天所学的知识完整地总结一下？

（生总结略）

B总结：

师：今天这节课，大家表现得真棒。可惜今天张强同学生病缺席了，你们愿意通过电话把今天所学的内容告诉他吗？

生：愿意！

师：那想一想，怎样讲，才能让张强同学脑海中一下就能浮现出圆柱体的形象呢？还有哪些注意点要转告他呢？

知识不能简单地复制到脑中，要把书本知识转化为自己的知识并能创造性地表达出来，教师需要不断地提供机会。

2、《11到20各数的认识》片段：

一：创设情境，导入新知：

[电脑：机器猫]

师：小朋友，你们看，谁来了？

猫：小朋友，你们好，我叫小叮当，今天我想跟你们一快儿学习，你们愿意吗？

猫：太好了，我在学校里也是一个好孩子，已经得到很多小红花了，不信你们数数。

师：小朋友，我们一起来数一数小叮当得到了多少朵小红花，好吗？举起右手，一边打手势一边数。[数到10]

[电脑演示10朵花，第11朵打问号]

师：再往下数就要用到比10更大的数了，今天，我们就来学习比10更大的数，[课题：11—20各数的认识]然后再帮小叮当把小红花数完。

二、实践操作，初步认识11—20各数。

1、建立计数单位“十”的概念。

师：老师为你们每人准备了一些小棒，就在小盆里，数一数你有几根小棒，在桌上排成一排。（小盆里都是12根小棒）

学生汇报，指名2人把小棒拿到讲台上数一边。……

思考：

1、很多时候，我们都注重创设情景，激发兴趣，引出课题。但是正当学生饶有兴趣的时候，我们的教学却嘎然而至，匆忙把学生引入另外一个话题。教学中，我们能否把一个话题做充分一点，以问题为出发点，让孩子切切实实地去解决问题，而不是素材变来变去。为什么这样变，只有教师知道，学生反正跟着后面跑。

2、无疑，数到10，对于学生来说是旧知识了。但是数到11、12，就一定是新知识吗？书本上是新知识点，但孩子的认知结构却未必如此。如果我们试着让孩子数下去呢？至少我们会了解他们真实的知识储备。从孩子的实际出发教学，需从每个细节做起。

3、什么是有价值的数学？

价值是抽象的、相对的和发展的，我们很难给有价值的数学下个准确的定义。但是通过对一些案例的比较分析，我们或许可以从中找到一些启发与感悟。

 [案例4]《工程问题》教学
       A教学：
       师：咱们来个比赛，下面这几道题，看谁解答得最快。
       1、 修一条长250米的公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
       2、 修一条长150米的公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
       3、 修一条长1000米的公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
       4、 修一条公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
       [案例5]《分数的意义》教学
       A教学：
       （电脑屏幕上出示一幅图，图上画了六只熊猫）
       师：把这六只熊猫平均分成三份，每份占整体的几分之几呢？（电脑显示平均分成三份）
       生1：13
       生2：23
       生3：……
       师：我们仔细看看，这虽然是两只熊猫，但是它占整体的几份啊？
       ……
       B教学：
       师：咱们来个快速抢答，好吗？
       把8支铅笔平均分给2位同学，每位同学得的铅笔数是？（生：4支）
       把10支铅笔平均分给2位同学，每位同学得的铅笔数是？ （生：5支）
       把这个文具盒里的所有铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是？
       生：是1/2。
       师：为什么是1/2 呢？
       生1：因为把它平均分成了2份。
       生2：因为不知道有几支铅笔，我们可以把它看作一个整体。
       师：每位同学得到的铅笔数就是这个整体的？
       生：2份中的1份，就是1/2。
       师：真好！如果把它平均分给5位同学呢？10位呢？50位呢？（生答略）
       师：可是这个文具盒里只有6支铅笔。（拿出6支铅笔）
       现在把它平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数还能用1/2表示吗？
       生：能！
       师：为什么还能呢？这不是3支了吗？
       生1：这3支也是2份中的1份。
       生2：1/2也就表示这里的3支。
       师：也就是说，把6支铅笔看成一个整体，把它平均分成2份，每一份中的3支铅笔占这个整体的？（手拿铅笔演示）
       生：1/2。
       师：如果把8支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔还能用1/2表示吗？
       （生答）
       师：如果是100支铅笔呢？1000支铅笔呢？5吨苹果呢？
       ……
       学生对于解答工程问题的困难，不在于“工作总量、工作时间、工作效率”数量关系的理解上,而在于把具体的工作总量用抽象的“１”表示、把具体的工作效率用抽象的分数来表示。同样，学生对于理解“把很多物体看成一个整体来平均分”的困难，是在于把握“份数”与“个数”之间的关系。如果我们直接就把问题呈现在学生面前，让学生去理解，有时很难突破难点。反之，对材料进行一定程度的加工，让学生在“体验”中去感悟知识的本质，往往会达到事半功倍的效果。
       教师要发挥引导作用，就必须要深入分析学生的思维，精心组织材料。淡化“告诉”，强化“体验”与“感悟”。
       [案例6]《分数的意义》教学
       （概括分数的意义）
       A教学：
       师：同学们，刚才我们写出了很多分数。我们来观察一下这些分数。它们分别都是把一个物体、一个图形、一个计量单位以及许多物体组成的整体平均分的。这些我们都可以用一个词来概括。书上用的是什么词？
       生：单位“1”。
       师：对啦。哪些东西可以用单位“1”来表示呢？
       生回答。
       师：单位“1”的“1”为什么要加双引号呢？
       生回答。
       师：把单位“1”平均分，可以2份，也可以是3份、4份……。我们也能用一个词来概括吗？
       生：若干份。
       师：分数可以表示这样的1份，也可以是2份、3份……书上就概括为？
       生：一份或几份。
       师：明白这几个词的意思了吗？
       生：明白了。
       师：那好。我们共同来把分数的意义齐读一遍。
       ……
       B教学：
       师：说说下列分数所表示的意义。（出示：57 ）
       生1：把一组红旗平均分成7份，表示这样的5份的数。
       生2：把一个蛋糕平均分成7份，表示这样的5份的数。
       生3：把一个整体平均分成7份，表示这样的5份的数。
       师：到底把一个什么平均分呢？我们能不能用一个词概括一下？
       生1：用一个单位。
       生2：用一个整体。
       师：反正都是一个什么！就用“1”吧！书上称为？
       生：单位“1”。
       师：好的。说说下列分数所表示的意义。
       师出示38 。（生说）
       师再出示： ，
       生：把单位“1”平均分成……（这里有几种不同的声音出现），表示这样的3份的数。
       师：为什么大家在这个地方的声音有些不整齐了？
       生：因为它平均分成的份数不确定。
       师：平均分成的份数不确定，用什么词来概括？
       生：若干份（师板书，生完整说一遍意义）。
       师再出示： ，谁又能说说它所表示的意义呢？
       生：把单位1平均分成9份，表示这样若干份的数。
       师：真好！用若干份来代替不确定的份数。可是好象与前面有重复的感觉。能换一个词吗？
       生：一份或几份。
       师：它要么表示的是这样的1份，要么表示的是这样的几份，用这个词，同意吗？（师板书，生齐读）
       师：再出示 ，怎么样，再说说！
       生：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份或者几份的数。
       师：这就是分数的意义！
       ……
       如其让学生去理解书本上的概念，还不如让学生去创造自己的概念，并让书本概念与自己的概念能够相融。如何能让学生“水到渠成”地创造出概念，是教师作为一个引导者必须努力探索的课题。
       11、怎样让学生的数学学习更富有个性
       夏青峰
       《数学课程标准》指出：“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。”怎样让学生的数学学习活动更富有个性呢？
       一、 是控制，还是服务？
       [案例1] 《分数大小的比较》教学
       A教学：
       师：25 和35 谁大呢？
       生：35 大。
       师：同意吗？
       生：同意。
       师：我们看，25 的分数单位是？有几个这样的分数单位？
       生：分数单位是15 ，有2个15 。
       师：35 的分数单位是？有几个这样的分数单位？
       生：分数单位是15 ，有3个15 。
       师：因为3个15 比2个15 大，所以？
       生：35 比25 大。
       师：谁能把刚才的话连起来说一遍？
       生：25 的分数单位是15 ，有2个15 ；35 的分数单位也是15 ，有3个15 ；因为3个15 比2个15 大，所以35 比25 大。
       师：谁能仿照刚才的说法，说说38 与58 的大小？
       ……
       B教学：
       师：25 和35 谁大呢？谁能用你最喜欢的方法说说理由？
       生1：35 大。因为3份总比2份大。
       生2：一个是2个15 ，另一个是3个15 。肯定3个15 比2个15 大。
       生3：我们画画示意图就知道了。（到黑板上画）这表示35 ，这表示25 ，很明显35 比25 长。
       生4：……
       师：真好！我们可以有很多理由说明35 比25 大。这两个分数有什么相同点与不同点吗？
       生：分母相同，分子不同。
       师：分母相同就说明了什么？分子不同呢？
       生：分母相同说明每份数相同，分子不同说明含有的份数不一样
       师：这样比较分母相同的分数大小的时候，我们只要怎样？
       生：看分子。
       ……
       我们总喜欢循循善诱，而很多时候，我们的这种循循善诱是在一种“打乒乓”式的问答中进行的。在“启发”的光环下，教师的思维代替或控制了学生的思维。学生还需要自己个性化的想法吗？真正的教学，是要把学生带入一个“渔场”，让他们有一个探索的空间与交流的阵地，而不一定就是要提供多少现成的“鱼”或“渔”。
       [案例2]《小数的性质》教学
       通过人民币单位的换算、长度单位的换算等例子，老师在黑板上写出了三个算式：
       0.3=0.30=0.300
       0.5=0.50=0.500
       1.8=1.80=1.800
       A教学：
       师：请同学们仔细观察上面的三个算式，并思考下面的问题：
       1、 从左往右看，你发现了什么？
       2、 从右往左看，你又发现了什么？
       3、 你能得出什么结论吗？
       B教学：
       师：黑板上出现了这样的三个算式。
       1、 你也能写出几个和它相类似的算式吗？并说说几个数之间为什么可以画等号。
       2、 你能写出多少个这样的算式？为什么？
       你能用语言把你的发现描述出来吗？
       ……
       我们好象是引导学生在主动发现规律。但深究其实质，学生需要动多少脑筋呢？面对一个数学现象（或问题情景）时，我们老师能不能“少规定些路线”、“少插一些路标”，而让学生自己去探索、体验和感悟呢？
       二、 是抱怨，还是赏识？
       [案例]《角的认识》教学
       师：谁能到黑板上画一个角？
       （一学生在黑板上画了一个角，但是他画角的时候并没有按照规定从一个顶点出发）
       A教学：
       师：同学们，他画得对吗？
       生：对！
       师：对？！你们注意到了他画角的顺序吗？角的两条边应是什么线？
       生：射线。
       师：射线应怎样画？这样画行吗？（用手比划）
       生：不行。
       师：那他画得对吗？
       生：不对！
       ……
       B教学：
       师：感谢这位同学，为我们画出了一个角。（面向画角的那位同学）你能谈谈体会吗？
       生：我画出了一个顶点、两条边。
       师：一个角有几个顶点？几条边？
       生：一个顶点、两条边。
       师：好极了。大家都能画出角吗？
       生：能！
       师：老师有个建议。想想看，角的两条边分别是什么线？
       生：射线。
       师：既然是从一点引出的两条射线（用手比划），我们画的时候最好按什么样的顺序画呢？
       ……
       C教学：
       师：感谢这位同学，为我们画出了一个角。（面向画角的那位同学）你能谈谈体会吗？
       生：我画出了一个顶点、两条边。
       师：一个角有几个顶点？几条边？