基本要求

公理是对诸基本概念相互关系的规定，这些规定必须是必要的而且是合理的。因此，一个严格完善的公理系统，对于公理的选取和设置，必须具备如下三个基本要求：

相容性

这一要求是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理。反之，如果能从该公理系统中导出命题A和否命题非A(记作-A)，从A与-A并存就说明出现了矛盾，而矛盾的出现归根到底是由于公理系统本身存在着矛盾的认识，这是思维规律所不容许的。因此，公理系统的无矛盾性要求是一个基本要求，任何学科，理论体系都必须满足这个要求。

独立性

这一要求是指在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理的数目减少到最低限度。

完备性

这就是要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分支的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分支的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成一些命题的证明没有充足的理由。

从理论上讲，一个公理系统的上述三条要求是必要的，同时也是合理的。至于某个所讨论的公理系统是否满足或能否满足上述要求，甚至能否在理论上证明满足上述要求的公理系统确实存在等，则是另外一回事了。应该指出的是，对于一个较复杂的公理体系来说，要逐一验证这三条要求相当困难，甚至至今不能彻底实现。

方法运用

1．要积累大量的经验、数据和资料，对这些经验资料进行分析归纳，使之系统化，最后上升为理论。因为公理系统的建立是以大量的事实为基础，以丰富的经验和已有的科学知识为前提的，设此无彼。

2．数学公理化的目的是要把一门数学整理成为一个演绎系统，而这一系统的出发点就是一组基本概念和公理。因此，要建立一门数学的演绎系统，就要在第一步的基础上，从原有的资料、数据和经验中选择一些基本概念和确定一组公理，然后由此来定义其它有关概念并证明有关命题。选取的基本概念是不定义概念，必须是无法用更原始、更简单的概念去确定其涵义的，也就是说，它是高度纯化的抽象，是最原始最简单的思想规定。

3．在确定了基本概念和公理之后，就要由此出发，经过演绎推理，将一门数学展开成一个严格的理论系统。也就是说，对系统中的每一概念予以定义，而每一个定义中引用的概念必须是基本概念或已定义过的概念；对其它每一命题都给予证明，而在证明中作为论据的命题必须是公理或者已经证明为真实的定理。因此，一门数学的演绎系统就是这门数学的基本概念、公理和定理所构成的逻辑的链条。

在上述过程中，从认识论的角度来看，任何公理系统的原始概念和公理的选取必须反映现实对象的本质和关系。就是说，应该有它真实的直观背景而不是凭空臆造。其次，从逻辑的角度看，则不能认为一些概念和公理的任意罗列就能构成一个合理的公理系统，而一个有意义的公理系统必须是一个逻辑相容的体系。

示范作用

任何一门科学都不仅仅是搜集资料，也决不是一大堆事实及材料的简单积累，而都是有其自身的出发点和符合一定规则的逻辑体系。公理化方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用。例如牛顿在他的《自然哲学的数学原理》巨著中，系统地运用公理化方法表述了经典力学理论体系；本世纪40年代波兰的巴拿赫完成了理论力学的公理化；爱因斯坦运用公理化方法创立了相对论理论体系。狭义相对论的出发点是两个基本假设：相对性原理和光速不变原理。爱因斯坦以此为前提，逻辑地演绎出四个推论：“尺缩效应”、“钟慢效应”、“质量增大效应”和“关系式”．这些就是爱因斯坦运用公理化方法，创立的狭义相对论完整理论体系的精髓。